第五章：一元函数的导数及其应用章末重点题型复习（16题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章：一元函数的导数及其应用章末重点题型复习 题型一 导数定义中的极限运算 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 2．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 3．（23-24高二下·江苏南通·月考）已知函数，则 . 4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数在上存在导数，且，则 . 题型二 导数的基本运算 1．（24-25高二上·江西丰城·期中）设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（23-24高二上·天津·期末）若函数，则 . 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）（多选）下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 题型三 利用导数求曲线的切线 1．（23-24高二上·天津·期末）曲线在点处的切线方程为 . 2．设函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 4．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数在处的切线方程过点，则m的值为 . 题型四 根据切线条数求参数 1．（23-24高三上·江苏徐州·月考）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东·开学考试）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高二上·江西·月考）（多选）若过点 可作 3 条直线与函数 的图象相切， 则实数 可能是（    ） A． B． C． D． 题型五 曲线的公切线问题 1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 3．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 4．（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 题型六 导函数与原函数图象 1．函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北邢台·期末）（多选）已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 题型七 用导数求函数的单调性 1．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 2．（23-24高二下·北京东城·期末）设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 3．（23-24高二下·天津·期中）设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间． 4．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 题型八 由函数的单调性求参数 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建龙岩·期末）若函数在上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 4．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ． 题型九 函数的极值与最值概念 1．（23-24高二下·新疆·月考）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 2．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 3．（23-24高二下·江苏苏州·月考）（多选）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 4．（23-24高二下·广东广州·期末）（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ） A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 题型十 用导数求函数的极值 1．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 2．（23-24高二下·甘肃定西·月考）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 3．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 4．（23-24高二下·天津河东·期中）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的极值点的个数． 题型十一 由函数的极值求参数 1．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知函数在处取得极大值，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数无极值，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 题型十二 用导数求函数的最值 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西咸阳·月考）函数的最小值为 . 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 4．（23-24高二下·山东淄博·期中）设函数，曲线在点处的切线斜率为1. (1)求a的值； (2)设函数，求的最小值. 题型十三 由函数的最值求参数 1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 题型十四 构造法解函数不等式 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·月考）已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东·期末）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 题型十五 导数与函数的零点综合 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为 . 3．（23-24高二下·河南漯河·月考）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围， 4．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 题型十六 导数与不等式综合 1．（23-24高二下·湖北荆州·月考）若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 3．（23-24高二下·湖北孝感·月考）已知函数. (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 4．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章：一元函数的导数及其应用章末重点题型复习 题型一 导数定义中的极限运算 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，故选：B 2．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【解析】.故选：B. 3．（23-24高二下·江苏南通·月考）已知函数，则 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 又由. 故答案为：. 4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数在上存在导数，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 又，所以， 故答案为：. 题型二 导数的基本运算 1．（24-25高二上·江西丰城·期中）设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【解析】两边对求导，得，即， 所以，累乘可得．故选：D. 2．（23-24高二上·天津·期末）若函数，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 得到，解得， 故答案为：. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）（多选）下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【解析】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，故D错误.故选：ABC. 4．（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【解析】（1） （2） （3） （4），则 （5） 题型三 利用导数求曲线的切线 1．（23-24高二上·天津·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 2．设函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【答案】 【解析】令，则，则， 所以，所以曲线在点处的切线斜率为． 故答案为： 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【解析】设过点与曲线相切的切点坐标为， 由求导得：，则切线方程为， 于是，整理得，解得， 所以所求切线的斜率为1.故选：C 4．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数在处的切线方程过点，则m的值为 . 【答案】2 【解析】根据题意知，， 因为，， 根据点斜式可以写出切线方程为， 因为切线方程过点，代入到， ，解之可得. 故答案为：2 题型四 根据切线条数求参数 1．（23-24高三上·江苏徐州·月考）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设切点为， 由已知得，则切线斜率，切线方程为 直线过点，则，化简得 切线有且仅有条，即， 化简得，即，解得或故选：C 2．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是.故选：B. 3．（23-24高三上·山东·开学考试）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由函数，可得， 设切点坐标为，所以， 所以切线方程为， 所以，即， 因为过点作该曲线的两条切线， 所以关于的方程有两个不同的解， 即关于的方程有两个不同的解，所以.故选：D. 4．（23-24高二上·江西·月考）（多选）若过点 可作 3 条直线与函数 的图象相切， 则实数 可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设切点为， 因为，， 所以切线方程为，又切线过， 则，整理得， 所以令，则， 令得， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取极小值，当时，取极大值， 由可知当时， 所以函数的图象大致如图，    由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 此时过点可作3条直线与函数的图象相切， 由此可知，BCD符合题意，故选：BCD 题型五 曲线的公切线问题 1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为.故选：A 2．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【解析】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故，解得 ， 故 故答案为：1 3．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】和分布求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 故答案为：. 4．（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 【答案】3 【解析】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 题型六 导函数与原函数图象 1．函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C，故选：B． 2．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知当或时， 当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 且的图象关于原点对称，即为奇函数， 设为偶函数，即，所以，所以为奇函数， 即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数， A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意； C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C 3．（23-24高二下·河北邢台·期末）（多选）已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABD 【解析】由题意得． 由图可知有3个零点，则，令，得或或． 当时，，若，则，不符合题意． 当时，，则或时，， 当或时，符合题意，A，B正确． 由图可知，，得，C错误． 因为当时，，所以在上单调递减，D正确．故选：ABD 4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【解析】因为， 由图象知，时，，又，所以当时，， 即在上单调递减， 当时，，又，所以当时，， 即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B． 题型七 用导数求函数的单调性 1．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【解析】由可得， 令, 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得； 因此可得在的单调递减区间是和.故选：D 2．（23-24高二下·北京东城·期末）设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；(2)递增区间为，递减区间为. 【解析】（1）依题意，，又，则，解得， 所以. （2）由（1）知，的定义域为R，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 3．（23-24高二下·天津·期中）设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】（1）由题意得的定义域为，又， 因为．所以，解得． 所以实数的值为1. （2）因为，， 则， 令，得， 与在区间上的情况如下： 0    0 + 递减 极小值 递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 4．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 题型八 由函数的单调性求参数 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 所以函数在R上是单调递增的充分条件是的非空子集. 只有B选项符合.故选：B. 2．（23-24高二下·福建龙岩·期末）若函数在上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，在上单调递减， 所以在恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为， 所以的最小值为.故选：B. 3．（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 4．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得，由，得， 函数在上递减，在上递增，即不是单调函数，因此； 当时，由，得，由，得或， 在上递减，在上递增，不是单调函数，因此； 当时，恒成立，在上递增，不符合题意； 当时，由，得，由，得或， 在上递减，在上递增，不是单调函数，因此， 所以a的取值范围为或. 故答案为：或 题型九 函数的极值与最值概念 1．（23-24高二下·新疆·月考）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 【答案】A 【解析】对于A，由图可知，当时，；当时，. 所以为函数的极小值点，故A正确； 对于B，由图可知，当时，， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，由图可知，当时，，当且仅当，， 所以在上单调递增，故C错误； 对于D，由图可知，当时，单调递增，所以，故D错误.故选：A. 2．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 3．（23-24高二下·江苏苏州·月考）（多选）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 【答案】ABC 【解析】对A：由图可知，，故A正确； 对B：由图可知，当时，恒成立， 故函数在上单调递减，故B正确； 对C：由图可知，当时，，当，， 故函数在处取得极大值，故C正确； 对D：由图可知，当时，恒成立， 故在上单调递增，无最大值，故D错误.故选：ABC. 4．（23-24高二下·广东广州·期末）（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ） A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 【答案】ABC 【解析】由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数， 即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以A、B正确； 若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值；所以D不正确； 函数可能没有零点，所以C正确．故选：ABC．    题型十 用导数求函数的极值 1．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 【答案】D 【解析】由，得， 令， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以时，函数有极大值为故选：D 2．（23-24高二下·甘肃定西·月考）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【解析】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值．故选：D. 3．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 【答案】(1)；(2)极大值为，极小值为. 【解析】（1）因为， 所以， ， 切线过点， , 由导数的几何意义可知，斜率, . （2）由（1）知，，可得， ， 令，则，解得或， 当或时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为. 所以函数的极大值为，极小值为. 4．（23-24高二下·天津河东·期中）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的极值点的个数． 【答案】(1)；(2)3个 【解析】（1）因为函数， 所以， 因为在点处的切线方程为， 所以，即．解得． （2）由（1）知，，所以， 令， 所以， 令，解得或， 所以与的关系列表如下： 0 + 0 － 0 + 0 － 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 所以在区间和上单调递增；在区间和上单调递减； 因为当时，，所以存在，使得， 又因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的一个极小值点； 当时，单调递减，且，所以存在，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的一个极大值点， 当时，单调递增，又，所以存在，使得， 所以在上单调递减，上单调递增，所以是的一个极小值点， 当时，，所以在上单调递增，无极值点； 综上，在定义域上有3个极值点． 题型十一 由函数的极值求参数 1．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， 又 在 处取得极小值10， 则有 ，可得 ， 解得， 或， 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极小值； 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极大值，不合题意. 所以，， 则有故选：C. 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知函数在处取得极大值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 因为函数在处取得极大值，所以， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以，所以.故选：B 3．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数无极值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，则， 若函数无极值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【解析】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为. 故答案为： 题型十二 用导数求函数的最值 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由于，则， 令,即，解得，,即，解得， 因此在单调递增，在单调递减， 故，故选：B 2．（23-24高二下·陕西咸阳·月考）函数的最小值为 . 【答案】 【解析】,令,得或, 当或时，，当时，， 所以的极大值为， 极小值为， 因为，， 所以. 故答案为： 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)；(2)最大值为10，最小值. 【解析】（1）由，得， 由题意可得，即，解得. （2）由（1）可得， ， 令，可得或，所以在区间上，随的变化情况如下表： 0 2 3 0 0 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10 由上表可得在区间上的最大值为10，最小值. 4．（23-24高二下·山东淄博·期中）设函数，曲线在点处的切线斜率为1. (1)求a的值； (2)设函数，求的最小值. 【答案】(1)1；(2)1 【解析】（1）由题意得的定义域为，， 因为，所以，解得． （2）因为，的定义域为， ， 令，得， 与在区间上的情况如下： x 0 0 递减 极小 递增 所以在的单调递减区间为，单调递增区间为； 所以. 题型十三 由函数的最值求参数 1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为，故选：D 2．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，则，由， 换元可得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 因为函数的最小值为0，所以有解， 当时，不符合题意，当时，则，即有解. 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以或. 综上，的取值范围为. 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是.故选：B 4．（22-23高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在区间上既存在最大值，也存在最小值， 结合图像可知：. 故答案为：. 题型十四 构造法解函数不等式 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为.故选：D 2．（23-24高二下·辽宁·月考）已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 则， 所以在上单调递减． 因为当时，， 所以当时，；当时，． 由于当时，且，所以； 当时，且，所以； 当时，因为， 令，得，所以在上恒成立．故选：C． 3．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 则，且不恒为， 所以在上单调递增. 又因为偶函数，所以， 所以. 又， 所以不等式等价于， 根据函数的单调性可知，解得， 所以不等式的解集为.故选：B. 4．（23-24高二下·山东·期末）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型十五 导数与函数的零点综合 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个实根， 令，， 则，令，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 故时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 因为， 故当与在上只有一个交点时，．故选：B． 2．（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时，， 又时，，则函数图象如图，    关于x的方程有3个不等实根，即函数与直线有3个交点， 由图象可知，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·河南漯河·月考）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围， 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：，， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 由可得， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上为减函数，且， 当时，，则，所以，函数在上单调递增， 当时，，则，所以，函数在上单调递减， 所以，， 当时，，当x无限趋向于0时，无限趋向于负无穷， 由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. 4．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)或 【解析】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）函数的定义域为， 由得， 因为函数有且只有一个零点，可设， 则函数与的图象有且只有一个交点， ， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 经分析可得函数的大致图象如图所示： 又函数与的图象有且只有一个交点，所以或，即或， 综上所述：实数a的取值范围是或. 题型十六 导数与不等式综合 1．（23-24高二下·湖北荆州·月考）若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，即， 所以．设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在单调递减；在单调递增，则； 设，则，则在上单调递减， 又，所以， 所以，所以的最大值为．故选：D 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得：切点，， 则，设切线方程：，化简得：. （2）要证：，即证：， 令，则， 又，则在单调递减， 所以，即，则得证． 3．（23-24高二下·湖北孝感·月考）已知函数. (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），即. 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，即的取值范围为； （2）由（1）可知当时，， 即，所以， 所以要证，只需证. 令，，所以， 所以在上单调递增，即在0时取最小值， 所以，故， 所以当时，. 4．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式： 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）， 当时，不等式显然成立， 当时，恒成立，令，则 因此时，，时，， 所以在单调减，在单调增， 所以当时，， 当时，恒成立，令，此时恒成立， 所以在单调减，而时，且， 所以当时，， 综上. （2）方法1：由（1）知恒成立当且仅当时等号成立 ， 所以，当且仅当时成立， 所以 所以. 方法2：设， 则，设， 则， 当时，， 当时，， 当时， 所以在上恒成立，所以在上递增 ， 又，所以在上，在上， 所以在上是减函数，在上是增函数，所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$