检测08 数列（能力卷）- 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测08 数列（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，，且，则（    ） A．－1 B．2 C．－2 D． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．21 B．19 C．12 D．42 5．（22-23高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江西赣州·期末）设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．使得成立的最小自然数是20 C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·二模）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（    ） 是公比为的等比数列. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且公差.则以下结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若成等比数列，则 10．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中的最小项为 11．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项数均为，下列正确的有（    ） A．数列和数列的距离为 B．若，则 C．若，则 D．若，，数列和的距离小于，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足，则 . 13．（2024·四川·一模）已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 14．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式. 17. (15分) （24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18. (17分) （24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 19. (17分) （23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A B A C C ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 2．A 【分析】根据递推公式，可得数列为周期为的数列，从而可解. 【详解】根据题意，， 则， 所以数列为周期为的数列， 则. 故选：A 3．B 【详解】在等差数列中， 故选：B. 4．A 【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解. 【详解】是等差数列，，即，所以 故公差，， 故选：A 5．B 【分析】判断出数列是等比数列，由此列不等式，从而求得的最小值. 【详解】依题意可知， ， 则，又， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 由得，其中， 解得，因此的最小值为. 故选：B. 6．A 【分析】依题意，先令，可得，再令，结合，可得，进而判断出数列是以首项为，公比为的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值. 【详解】因为对，，都有， 所以令，有，则有， 令，有， 又因为，所以， 因为， ，且， 所以，即， 所以， 则，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ， 故选：A. 7．C 【分析】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B，根据为递减数列即可判断C，由的关系及的符号可判断D. 【详解】由公差为可知，等差数列为递减数列且， 对A，，故A错误； 对B，因为，所以，所以，故B错误； 对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确； 对D，由B知，且，所以， 因为，，若，则，且， 即，即，而，， 显然矛盾，故不成立，故D错误. 故选：C 8．C 【分析】由题意知：，，得，再依次结合选项求解即可. 【详解】由题意知：， ， 因为数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 对于①，，得，故①正确； 对于②，，故②正确； 对于③，， 当时，，所以，故③正确； 对于④，， 此时，所以是公比为的等比数列，故④错误， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，得到数列是以为首项，为公比的等比数列，进而求得，从而得解. 9．ABD 【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，故，所以，故A正确， 由可得，故，故B正确， 若，则，且单调递减，故的最大值为或，故C错误， 若成等比数列，则，即，解得或（舍去），D正确， 故选：ABD 10．ACD 【分析】利用等差数列及，判断出， ，再利用等差数列和等差数列前项和的性质逐项判断即可. 【详解】若，则， 所以，即等差数列为递减数列， 对于A，由，知等差数列前7项为正数，其余项为负数， 故当时，最大，故A正确； 对于B，， 故 所以使得成立的最小自然数不是，故B错误； 对于C，， 则，故C正确； 对于D，当或时，；当时，； 由，所以中最小项为， 故D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】根据数列距离的定义求两数列的距离判断A，结合数列，的递推关系证明两数列具有周期性，判断B，利用基本不等式求，由此求，判断C，由条件求，结合周期性可求，，由此判断D. 【详解】对于A，根据数列距离的定义可得： 数列和数列的距离为，A正确； 对于B，设，其中，且，由， 所以，，，， 则， 因此数列中的项周期性重复，且间隔项重复一次， 所以，，， 设，其中，且，由， 所以，，，， 则， 因此数列中的项周期性重复，且间隔项重复一次， 所以，，， 所以若，则，B正确； 因为，其中，且， 所以， 所以， 所以若，，C错误； 所以数列中，，，，，， 故中，，，，，， ， 所以项数越大，数列和的距离越大， 由，可得， ， 所以时，， 故的最大值为； 所以数列和的距离小于，则的最大值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 12．/0.8 【分析】通过递推公式，得出为周期数列，且周期为，可得，即得答案. 【详解】解：因为， 所以，，， 所以为周期数列，且周期为， 所以. 故答案为： 13． 【分析】根据题意可得数列为等差数列，设出公差及首项，再结合与，从而可求解. 【详解】由，所以，所以数列为等差数列， 并设其公差为，首项为，又因为， 即，解得， 因为，所以，， 所以. 故答案为：. 14．①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 15．（1）；（2）． 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）通过解不等式进行求解即可. 【详解】（1）当时，为等差数列，设公差为. . （2）由（1）得，， ，，，…，， . 17．(1)， (2)，. 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 18．(1)，，，， (2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析 (3) 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或． 综上，符合条件的数列组合有： ，，，，． （2）（ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 19．(1) (2)不存在，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案. （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行列式分析,属于难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测08 数列（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，，且，则（    ） A．－1 B．2 C．－2 D． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．21 B．19 C．12 D．42 5．（22-23高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江西赣州·期末）设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．使得成立的最小自然数是20 C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·二模）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（    ） 是公比为的等比数列. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且公差.则以下结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若成等比数列，则 10．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中的最小项为 11．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项数均为，下列正确的有（    ） A．数列和数列的距离为 B．若，则 C．若，则 D．若，，数列和的距离小于，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足，则 . 13．（2024·四川·一模）已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 14．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式. 17. (15分) （24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18. (17分) （24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 19. (17分) （23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$