检测07 数列（基础卷）- 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

检测07 数列（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·浙江·二模）记为非零数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 10．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（    ） A．为等差数列 B． C． D．当时，有最大值 11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为满足，则的通项公式为 ． 13．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知是公比为的等比数列，若，则 . 14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16. (15分) （24-25高二上·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 17. (15分) （24-25高三上·河北承德·开学考试）已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，. (1)求的通项公式； (2)求数列的最大项的值. 18. (17分) （24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19. (17分) （24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测07 数列（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·浙江·二模）记为非零数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 10．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（    ） A．为等差数列 B． C． D．当时，有最大值 11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为满足，则的通项公式为 ． 13．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知是公比为的等比数列，若，则 . 14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16. (15分) （24-25高二上·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 17. (15分) （24-25高三上·河北承德·开学考试）已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，. (1)求的通项公式； (2)求数列的最大项的值. 18. (17分) （24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19. (17分) （24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C B C C C BCD AD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】运用递推公式求出前4项，即可解题. 【详解】，则.即. ,， . 故. 故选：B. 2．C 【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可. 【详解】因为, 所以的等差中项为. 故选：C. 3．A 【分析】由题意可得，根据求解即可. 【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 4．C 【分析】根据等差数列的基本量的计算即可求解. 【详解】由， 故，则， 由得，故，故公差为， 故选：C 5．B 【分析】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】设等比数列的公比为q， 则由，，得， 解得， 故， 故选：B 6．C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 7．C 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 8．C 【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断. 【详解】因为等比数列满足， 又，所以，A错误； ，即,B错误； 当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确； 由题意得，，则,D错误. 故选：C. 9．BCD 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 10．AD 【分析】根据等差数列的定义判断出为等差数列，求出、逐项判断可得答案. 【详解】由得， 且， 所以是以首项为公差为的等差数列，故A正确； 所以，故B错误； ，故C错误； ， 因为时，所以当时有最大值，为，故D正确. 故选：AD. 11．AB 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，故 ，故A正确； 对于B，若是等比数列，则当时，， 且，则； 当时，，舍去，故B正确； 对于C，若，则，， ，故，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，若，则, 此时，不满足，故D错误. 故选：AB 12． 【分析】根据给定条件，利用的关系求出通项公式. 【详解】数列的前项和，当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 13．25 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故答案为：25 14． 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 15．(1) (2) 【分析】（1）采用累乘法直接求解即可； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）由题意知：当时，， ； 当时，满足； 综上所述：. （2）由（1）知：， . 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可知公差为，且，结合等差数列的通项公式运算求解. 【详解】（1）因为， 可得，即， 所以是以公差为的等差数列． （2）由（1）知的公差为， 又因为，即，可得， 所以． 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式可以求出的通项公式，再结合等差数列的通项公式，通过解方程组求出的通项公式； （2）利用作差比较法判断数列的单调性，再利用单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以， 即，. （2）由上可知，. 所以令， 则有， 当时，， 即数列从第一项起一直增加到第10项， 当时，， 即数列从第10项开始递减， 因此为数列的最大项，， 所以数列的最大项的值为. 18．(1) (2). 【分析】（1）由解的方式解出，进而解出； （2）分类讨论去除绝对值解出即可. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 得， 整理得：， 所以为首项是，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以当时，，当时，； 所以当，， 当时，， 而， 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得，然后利用错位相减求和法求得. 【详解】（1）由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 当时，. 当时，由， 得， 两式相减得，也符合， 所以. 所以， 所以， 两式相减得， 两边乘以得. 学科网（北京）股份有限公司 $$