2025年九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第5讲一次方程（组）及应用

第二章　方程（组）与不等式（组） 第5讲　一次方程（组）及应用 一元一次方程(组)的应用： 一元一次方程: 等式的性质： 性质1：等式两边加（或减）同一个代数式，所得结果仍是① ⁠ 性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（除数不为② ），所得结果仍 是等式 定义：只含有③ 未知数，并且未知数的最高次数都是④ ，系数不 等于零的⑤ ⁠方程 等式　 0　 一个　 1　 整式　 解一元一次方程的一般步骤：1.去分母；2.⑥ ；3.移项；4.⑦ ⁠ ；5.未知数的系数化为1 ◆温馨提示：判断一元一次方程的四个条件是：1.只含有一个未知数（元）；2. 未知数的次数都是一次；3.未知数的系数不能为0；4.分母中不含未知数.这四个 条件缺一不可. 去括号　 合并 同类项　 二元一次方程(组)的解法： 代入消元法：当方程组中某一个未知数的系数是1或－1时，用代入消元法较简单 加减消元法：1.当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，方程左右两 边分别相减或相加，消去一个未知数 2. 当同一未知数的系数不同也不互为相反数时，可通过找系数最小公倍数变 成系数相同或互为相反数，再采用加减消元法较为合适 【随手一练1】若关于x，y的二元一次方程ax＋by－2＝0的两个解分别是x＝ 5， y＝3，x＝－1， y＝－3， 则a，b的值是（　B　） A. a＝1，b＝0 B. a＝1，b＝－1 C. a＝－1，b＝1 D. a＝1，b＝2 ※三元一次方程组的解法： 三元一次方程组 二元一次方程组 B 一元一次方程一次方程（组）的实际应用： 一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型及等量关系： 行程问题公式：路程＝速度×⑧ ⁠ 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程 追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程 流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水 工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间 甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率，通常把工作 总量看作“⑨ ⁠” 时间　 1　 ◆名师点拨：解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化 为一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时， 要结合方程组的特点，灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或－1时， 宜采用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂 时，宜采用加减消元法解. 一元一次方程一次方程（组）的应用: 一次方程（组）的实际应用: 【随手一练2】（2023·岳阳一模）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中 有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问 鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常快捷地解决这个问题.在这个 问题中，鸡的数量为（　A　） A. 23只 B. 24只 C. 12只 D. 13只 A 1　方程（组）解的意义 　　已知一次方程（组）的解，求方程（组）中参数的值的方法：（1）代入 法：当已知方程（组）的解时，把解代入方程（组），得到新的方程（组），再 解新的方程（组），从而求出参数的值.（2）整体法：根据方程组中未知数的系 数的特点，利用整体思想求某些参数的值或代数式的值. 【例1】（2024·济南钢城区模拟）已知x＝2，y＝－1是二元一次方程组ax＋by＝7， ax－by＝1的解，则a－b的值为（　D　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【变式训练1】（2023·永州中考）关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为 x＝ 1，则m的值为（　A　） A. 3 B. －3 C. 7 D. －7 【变式训练2】（2024·临沂莒南模拟）已知关于x，y的二元一次方程组3x－y ＝4m＋1，x＋y＝2m－5的解满足x－y＝4，则m的值为（　B　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D A B 2　一次方程（组）的解法 　　解二元一次方程组时，选择方法的技巧：（1）当方程组中某一个未知数的 系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适.（2）当方程组中某一个方程的常数 项为0时，选用代入消元法较合适.（3）当两个方程中同一个未知数的系数互为 相反数或相等时，选用加减消元法较合适.（4）当两个方程中同一个未知数的系 数成倍数关系时，选用加减消元法较合适. 【例2】（2024·浙江中考）解方程组：2x－y＝5， 4x＋3y＝－10.　 【自主解答】 解：2x－y＝5，① 4x＋3y＝－10，②①×3＋②，得10x＝5， 解得x＝ ，把x＝ 代入①，得2× －y＝5， 解得y＝－4，所以方程组的解是x＝ ，y＝－4. 【变式训练3】（2024·济宁邹城一模）在解二元一次方程组6x＋my＝3，① 2x－ny＝－6②时，若①－②可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是 （　C　） A. m＝n B. mn＝1 C. m＋n＝0 D. m＋n＝1 C 【变式训练4】 一题多解（2023·常德中考）解方程组：x－2y＝1①， 3x＋4y＝23②. 解：方法1：由①，得x＝2y＋1， 把x＝2y＋1代入方程②，得3（2y＋1）＋4y＝23，解得y＝2， 把y＝2代入①，得x－4＝1，解得x＝5， 所以原方程组的解是x＝5，y＝2. 方法2：①×2＋②，得5x＝25，解得x＝5， 将x＝5代入①，得5－2y＝1，解得y＝2， 所以原方程组的解是x＝5，y＝2. 3　一次方程（组）的应用 　　（1）列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的等量关系，正确地列出 方程组.（2）设未知数可以采用直接设法，也可以采用间接设法.（3）一般地， 设几个未知数，就应列出几个方程，组成方程组.（4）要根据应用题的实际意义 检查求得的解是否合理，不符合题意的解应该舍去. 【例3】（2024·临沂沂水二模）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销 售单价进行了如下调整：甲地上涨10％，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地 比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元. （1）求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. （2）若调整销售单价后，该商品每年在甲地销售m件，在乙地销售n件，用含 有m，n的代数式表示调整后该商品在两地年销售总额. 【自主解答】 解：（1）设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价 为y元， 由题意，得y－x＝10， （y－5）－（1＋10％）x＝1，解得x＝40， y＝50. 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元. （2）销售总额＝（1＋10％）×40m＋（50－5）n＝（44m＋45n）元. 答：调整后该商品在两地年销售总额为（44m＋45n）元. 【变式训练5】数学文化　古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有 生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思 是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）.今有干丝 12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝 斤. 　 【变式训练6】 新情境（2024·山西中考）当下电子产品更新换代速度加快，废旧 智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收 其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760 克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼 出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克. 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克， 根据题意，得y＝x＋760，2.5x＝0.6y，解得x＝240，y＝1 000. 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克. 一次方程（组）的解法 1. （2022·潍坊中考，13，3分）方程组2x＋3y＝13， 3x－2y＝0的解为 ⁠ ⁠. x＝2　 y＝3　 2. 运算能力（2022·淄博中考，18，5分）解方程组：x－2y＝3， x＋ y＝ . 解：整理方程组，得x－2y＝3①， 2x＋3y＝13②，把y＝1代入①， ①×2－②，得－7y＝－7，解得y＝1， 得x－2＝3，解得x＝5，∴原方程组的解为x＝5，y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 一次方程（组）的应用 3. 数学文化（2024·威海中考，8，3分）《九章算术》是我国古老的数学经典著 作，书中提到这样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四 折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度.如 果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳 长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（　C　） A. 3x－y＝4　4x－y＝1 B. 3x＋4＝y　4x＋1＝y C. －y＝4 －y＝1 D. ＋4＝y　 ＋1＝y C 1 2 3 4 5 6 7 4. 数学文化（2024·泰安中考，8，4分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问 价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个， 若…，…，试问买甜果、苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组x＋y＝1 000， x＋ y＝999，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 （　D　） A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 D 1 2 3 4 5 6 7 5. 数学文化（2024·烟台中考，9，3分）《周髀算经》是中国现存最早的数理天 文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日 织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织 布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅 织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（　C　） A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺 C 1 2 3 4 5 6 7 6. （2021·烟台中考，15，3分）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛 书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字1～9分别填 入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都 是15，则a的值为 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 7. 阅读理解（2024·威海中考，21，9分）定义　我们把数轴上表示数a的点与原 点的距离叫做数a的绝对值.数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a －b（a≥b）.特别地，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a－0.当a ＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0－a. 应用　如图所示，在数轴上，动点A从表示－3的点出发，以1个单位长度/秒的速 度沿着数轴的正方向运动.同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位长度/秒的 速度沿着数轴的负方向运动. 1 2 3 4 5 6 7 （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ 解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度， 则｜（－3＋x）－（12－2x）｜＝3，解得x＝4或x＝6. 答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 （2）求点A，B到原点距离之和的最小值. 解：（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y， 则y＝｜－3＋x｜＋｜12－2x｜，当x≤3时，y＝｜－3＋x｜＋｜12－2x｜＝3－x＋12－2x＝－3x＋15，当x＝3时，y值最小，为6，当3＜x≤6时，y＝｜－3＋x｜＋｜12－2x｜＝－3＋x＋12－2x＝－x＋9，当x＝6时，y值最小，为3， 当x＞6时，y＝｜－3＋x｜＋｜12－2x｜＝－3＋x－12＋2x＝3x－15，无最 小值. 综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 $$