2025年九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第7讲一元二次方程及应用

第二章　方程（组）与不等式（组） 第7讲　一元二次方程及应用 一元二次方程及应用： 概念：只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② ⁠的整式方程 一般形式：③ ⁠ ◆温馨提示：一元二次方程必须满足的三个条件：1.是整式方程，等号两边都是 整式，即分母中不含未知数；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数是2. 一　 2　 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　 解法： 直接 开平方法 适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式 的方程 因式 分解法 一般步骤：（1）将方程的右边各项移到左边，使右边为0；（2）将 方程左边分解为两个一次因式的积；（3）令每个因式为0，得到两 个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方 程的解 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为1； （2）将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边； （3）两边同时加上一次项系数④ 的平方；（4）将方程化 成（x＋a）2＝b的形式；（5）若b≥0，则可以运用直接开平方法 求出方程的解；若b＜0，则原方程无解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是⑤ ⁠ ⁠ 用公式法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程的 一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；（2）若b2－ 4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac＜0，则原方 程无解 一半　 x＝ 　 根的判别式: 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是⑥ ⁠ （1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个⑦ ⁠ 的实数根 （2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个⑧ ⁠的 实数根 （3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）⑨ ⁠实数根 b2－4ac　 不相等　 相等　 没有　 ◆温馨提示：如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等的实数 根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号. 根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是 x1，x2，则x1＋x2＝ ⑩ 　－ 　，x1x2＝⑪ 　 　（课程标准调整为考查内容） － 　 　 一元二次方程及应用: 根与系数的关系: ◆名师点拨：1.运用根与系数的关系时必须注意两个条件：（1）方程必须是一 元二次方程，即二次项系数a≠0；（2）方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时 要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0. 2. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则求含有x1，x2 的代数式的值时，其方法是把含x1，x2的代数式通过转化，变为用x1＋x2，x1x2 的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值.解决此类问题时经常要运 用到以下代数式及变形： （1） ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2；（2） ＋ ＝ ；（3）（x1＋a） （x2＋a）＝x1x2＋a（x1＋x2）＋a2；（4）｜x1－x2｜＝ ＝ . 【随手一练1】如果x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，那么 ＋ 的值是（　B　） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 B 实际应用： 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型：平均增长率（下降率）问题1.增长率＝ ×100％2.增长前的量×（1＋增长率）增长次数＝增长后的量下降前的量×（1－下降率）下降次数＝下降后的量利润问题“每每模型” 进价a元、原售价 b元、销量m件、 利润w元，销量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件 设售价 为x元 x－a 提价：c （x－a）m－c ＝w 降价：c （x－a）m＋c ＝w 已知条件 所设未知数 每件利润 销量变化量 总关系式 进价a元、原售价b元、销量m件、利润w元，销量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件 设提（降） 价y元 提价：b＋ y－a （b＋y－a）m － ＝w 降价： b－y－a （b－y－a）m ＋ ＝w 已知条件 所设未知数 每件利润 销量变化量 总关系式 面积问题： 矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽均为x （1）如图①所示，S阴影＝（a－2x）（b－2x） （2）如图②所示，S阴影＝（a－x）（b－x） （3）如图③所示，矩形空白部分经平移与图②一样，S阴影＝（a－x）（b－x） 一元二次方程及应用实际应用: 常见类型: 面积问题 握手与互送名片模型（比赛问题）握手总次数＝ （n为人数）（单循环 比赛）名片总数＝n（n－1）（n为人数）（双循环比赛） 验根：1.检验方程的根是否正确 2.检验方程的根是否符合题意，不符合题意的根要舍去 注：不符合实际情况的根也应舍去 【随手一练2】（2023·济南槐荫区二模）如图所示，在一个长为15 m，宽为10 m 的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积 为104 m2，那么道路的宽为 m.　 2　 1　一元二次方程的解法 　　一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.这四 种解法各有自己的特点，如果观察不出它们的特点，找不出最恰当的解法，就会 使解题过程太繁琐以致出错.解决这一问题的关键是：首先理解并记住各种解法 适合的类型，其次理解并记住各种解法的选取顺序.具体如下： （1）若方程符合a（x－n）2＝m（ma≥0，a≠0）的形式，用直接开平 方法解方程比较简单；对于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）而 言，当b＝0时，用直接开平方法求解较好. （2）一般方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当c＝0时，用因式分解法比较 简单. 　　（3）一般方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当a，b，c不缺项且不易分解因 式时，一般采用公式法. 　　 （4）配方法也是一种重要的解题方法，当二次项系数为1，一次项系数为偶 数时，用该法比较简单. （5）对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为一般形式，应观察其特 点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，再化为一般形式求解. 【例1】（2024·泰安肥城一模）用配方法解一元二次方程：2x2＋3x－3＝0. 【自主解答】 解：2x2＋3x－3＝0，x2＋ x＝ ，x2＋ x＋ ＝ ＋ ，x＋ ＝ ， x＋ ＝± ，所以x1＝ ，x2＝ . 【变式训练1】 运算能力（2024·淄博高青一模）解方程：x2－14x＋21＝0. 解：由题知，a＝1，b＝－14，c＝21，所以Δ＝（－14）2－4×1×21＝112＞0， 所以x＝ ，故x1＝7＋2 ，x2＝7－2 . 2　一元二次方程根与系数的关系与　根的判别式 　　（1）利用根的判别式解题，通常将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），计算出b2－4ac的值，然后根据根的情况建立方程或不等式求解. （2）利用根与系数的关系解题，常见的变形有 ＋ ＝ ， ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2，｜x1－x2｜＝ 等. 　　易错警示：解题时不能忽视“b2－4ac≥0”这一隐含条件. 【例2】 推理能力（2024·淄博博山区一模）已知关于x的一元二次方程x2－ （2m－1）x－3m2＋m＝0. （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根. 解：（1）证明：∵Δ＝[－（2m－1）]2－4×1×（－3m2＋m） ＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝（4m－1）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根. （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且 ＋ ＝－ ，求m的值. 解：（2）由题意知，x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵ ＋ ＝ ＝ －2＝－ ， ∴ －2＝－ ，整理，得5m2－7m＋2＝0， 解得m＝1或m＝ . 【自主解答】 【变式训练2】（2023·河南中考）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情 况是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 【例3】（2023·东营中考）如图所示，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的 外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门 （建在EF处，另用其他材料）. （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请 说明理由. 3　一元二次方程的实际应用 【自主解答】 解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m. 根据题意，得x（72－2x）＝640， 化简，得 x2－36x＋320＝0.解得 x1＝16，x2＝20. 当x＝16时，72－2x＝40；当x＝20时，72－2x＝32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积 为640 m2 的羊圈. （2）不能，理由：由题意，得x（72－2x）＝650. 化简，得 x2－36x＋325＝0，Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0， ∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到 650 m2. 【变式训练3】（2024·泰安二模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵 守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量， 该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增 长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率. 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得150（1＋x）2＝216， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20％. （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售 量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月 销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价 应定为多少元/个？ 依题意，得（y－30）[600－10（y－40）]＝10 000， 整理，得y2－130y＋4 000＝0， 解得y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 解：（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 　一元二次方程的解法 1. （2022·临沂中考，8，3分）方程x2－2x－24＝0的根是（　B　） A. x1＝6，x2＝4 B. x1＝6，x2＝－4 C. x1＝－6，x2＝4 D. x1＝－6，x2＝－4 2. （2021·潍坊中考，4，3分）若菱形两条对角线的长度是方程x2－6x＋8＝0的 两根，则该菱形的边长为（　A　） A. B. 4 C. 2 D. 5 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. （2024·滨州中考，18，4分）解方程：x2－4x＝0. 解：∵x2－4x＝0，∴x（x－4）＝0，∴x＝0或x－4＝0，∴x1＝0，x2＝4. 一元二次方程根与系数的关系与根 的判别式 4. （2021·烟台中考，9，3分）已知关于x的一元二次方程x2－mnx＋m＋n＝ 0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. （2024·泰安中考，7，4分）关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数 根，则实数k的取值范围是（　B　） A. k＜ B. k≤ C. k≥ D. k＜－ 6. （2023·菏泽中考，6，3分）一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则 ＋ 的值为（　C　） A. B. －3 C. 3 D. － B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. （2024·山东中考，13，3分）若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实 数根，则m的值为 ⁠. 8. （2024·烟台中考，13，3分）若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m， n，则3m2－4m＋n2的值为 ⁠. 　 6　 9. （2022·日照中考，15，3分）关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个 不同的实数根x1，x2，且 ＋ ＝ ，则m＝ . 　　　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一元二次方程的实际应用 10. 几何直观（2022·德州中考，22，12分）如图所示，某小区矩形绿地的长、 宽分别为35 m，15 m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度 后，得到一个新的矩形绿地. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）若扩充后的矩形绿地面积为800 m2，求新的矩形绿地的长与宽. 解：（1）设将绿地的长、宽增加x m，则新的矩形绿地的长为（35＋x）m，宽 为（15＋x）m，根据题意，得（35＋x）（15＋x）＝800，整理，得x2＋50x －275＝0. 解得x1＝5，x2＝－55（不符合题意，舍去）， ∴35＋x＝40，15＋x＝20. 答：新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿 地面积. 解：（2）设将绿地的长、宽增加y m，则新的矩形绿地的长为（35＋y）m，宽 为（15＋y）m， 根据题意，得（35＋y）∶（15＋y）＝5∶3， 即3（35＋y）＝5（15＋y），解得y＝15. ∴（35＋y）（15＋y）＝1 500. 答：新的矩形绿地面积为1 500 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$