2025年 九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第3讲分式

第一章　数与式 第3讲　分式 分式分式的有关概念和性质 定义：形如 （A，B是整式，且B中含有① ，B≠0）的式子 字母　 ◆温馨提示：判断一个代数式是否为分式，只看未化简的式子的分母中是否含有 字母，即分母中含有字母的为分式.不能约分后再判断. 与分式有关的“三个条件”:分式 无意义的条件：B＝0、分式 有意义的条件：B≠0、分式 值为零的条件：A＝0且B≠0 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个② 的整式，分式 的值不变.用式子表示是： ＝ ， ＝ （其中M是不等于0的整式） 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值 不变分式的约分与通分 不等于0　 最简分式：分子和分母没有③ ⁠的分式 约分：概念：根据分式的基本性质将分子、分母中的④ ⁠约去 找公因式：1.分子、分母中能分解因式的，先分解因式、2. 取分子、分母相同 因式的最低次幂的积（数字因式取它们的最大公约数）作为公因式 公因式　 公因式　 通分： 概念：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为⑤ ⁠的分式 找最简公分母： 确立最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，取各分母系数的最小 公倍数、相同字母的最高次幂，以及所有单独出现的字母连同它的指数作为最 简公分母的因式，这样得到的积就是最简公分母、②如果分母中含有多项式， 就要把多项式进行因式分解，从系数、相同的因式、不同的因式三个方面来确定 同分母　 分式的运算 ： 分式的乘除法： · ＝ ； ÷ ＝ · ＝ 分式的乘方： ＝⑥ （n为整数） 分式的加减法： ± ＝ ， ± ＝ 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算⑦ ，再将除法化为乘 法，进行约分化简，最后进行加减运算.遇到有括号的，先算括号里面的 　 乘方　 ◆名师点拨：1.通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算 的繁琐，不易约分.2.最后结果的分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化 成最简分式或整式.3.分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根 据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算. 【随手一练】化简： · ＋ ＝ 　 　. 　 分式： 分式的运算： 1　分式有无意义和值为零的条件 　　1. 分式是否有意义关键是看分母是否等于0，等于0则无意义，反之则 有意义. 　　2. 求使分式值为0的字母的值.首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个 字母的值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值. 【例1】（1）（2024·济宁兖州区模拟）若分式 有意义，则x的值为 （　A　） A. x≠±3 B. x≠－3 C. x≠3 D. x≥－3且x≠3 （2）（2024·淄博高青二模）若分式 的值为0，则x的值是 ⁠. 【变式训练1】 （2024·枣庄台儿庄区期末）当x＝ 时，分式 无意义. A 2　 2　 解：由 ＝0，得2x2－8＝0且x－2≠0，解得x＝－2.当x＝－2时，分式的 值为零. 【变式训练3】推理能力　已知a，b，c是△ABC的三边，且a，b，c的取值 使分式 的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明理由. 解：等腰三角形.理由：∵a，b，c的取值使分式 的值为零，∴ab －ac＋c2－bc＝0，且a－b≠0， 则（a－c）（b－c）＝0，∴a－c＝0或b－c＝0，∴a＝c或b＝c， ∴这个三角形是等腰三角形. 解：由 ＝0，得2x2－8＝0且x－2≠0，解得x＝－2.当x＝－2时，分式的 值为零. 【变式训练3】推理能力　已知a，b，c是△ABC的三边，且a，b，c的取值 使分式 的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明理由. 解：等腰三角形.理由：∵a，b，c的取值使分式 的值为零，∴ab －ac＋c2－bc＝0，且a－b≠0， 则（a－c）（b－c）＝0，∴a－c＝0或b－c＝0，∴a＝c或b＝c， ∴这个三角形是等腰三角形. 【变式训练2】已知分式 ，当x取什么值时，分式的值为零？ 2　分式的化简求值 　　分式的化简求值题全都遵循“先化简，再求值”的原则.分式的化简，要牢 记运算法则和运算顺序，并能灵活应用.注意分式的运算结果应是最简分式或整 式.代入值时应注意字母取值范围的限制条件. 【例2】（2023·烟台中考）先化简，再求值： ÷a＋2＋ ，其中a是使 不等式 ≤1成立的正整数. 【自主解答】 解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ · ＝ . ∵ ≤1，解得a≤3. 又∵a是使不等式 ≤1成立的正整数，且a－2≠0，a－3≠0，a＋3≠0， ∴a＝1，∴原式＝ ＝－ . 【变式训练4】（2024·山东中考）先化简，再求值：1－ ÷ ，其中a＝1. 解：原式＝ ÷ ＝ × ＝a－3， 将a＝1代入，得原式＝1－3＝－2. 【变式训练5】 运算能力 先化简，再求值：x－ ÷ ，其中x＝ －1. 解：x－ ÷ ＝ · ＝ · ＝ . 当x＝ －1时，原式＝ ＝ ＝1－ . 1. （2021·淄博中考，13，4分）若分式 有意义，则x的取值范围是 ⁠. 2. （2024·济宁中考，12，3分）已知a2－2b＋1＝0，则 的值是 ⁠. x≠3　 2　 分式的概念及性质 1 2 3 4 5 6 7 8 3. （2024·威海中考，4，3分）下列运算正确的是（　C　） A. x5＋x5＝x10 B. m＋n2· ＝ C. a6÷a2＝a4 D. （－a2）3＝－a5 4. （2022·威海中考，7，3分）试卷上一个正确的式子 ＋ ÷★＝ 被 小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（　A　） A. B. C. D. C A 分式的化简及运算 1 2 3 4 5 6 7 8 5. （2024·威海中考，14，3分）计算： ＋ ＝ ⁠. 6. （2022·菏泽中考，13，3分）若a2－2a－15＝0，则代数式a－ · 的值 是 ⁠. 7. 运算能力（2024·烟台中考，17，6分）利用课本上的计算器进行计算，按键 顺序如下 ，若m是其显示结果的平方根，先化简： ＋ ÷ ，再求值. －x－2　 15　 解： ＋ ÷ ＝ － · ＝ · ＝ ，根据计算器可得m＝± ＝± ＝±2.∵4－2m≠0，∴m≠2，∴当m＝－2时，原式＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 数学文化（2024·滨州中考，19，7分）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数 学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不 凡的足迹.设a，b，c为两两不同的数且都不为0，称Pn＝ ＋ ＋ （n＝0，1，2，3）为欧拉分式. （1）写出P0对应的表达式. 解：（1）由题意可得P0＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）化简P1对应的表达式. 解：（2）由题意可得P1＝ ＋ ＋ ＝ － ＋ ＝ ＝ ＝ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$