2024-2025学年北师大版数学九年级上册期末压轴题复习

2024-2025年北师大版济南市九年级 期末压轴题复习 题型一：二次函数的图像与性质 1、如图，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,则下列五个结论：①b²>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④4a+2b+c>0;⑤3a+c<0,其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．其中正确的个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：二次函数求参数的取值范围 1、新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”,如：A(1,3), B(-2,-6),C(0,0)等都是“三倍点”.若二次函数y=-x²-x+c的图象在-3<x<1的范围内，至少存在一个“三倍点”,则c的取值范围是( ) A. -4≤c<5 B. -4≤c<-3 C. -≤c<6 D. -≤c<1 2、已知二次函数y=mx²-4mx+1,其中m>0.若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为( ) A. <m< B. C. D. 3、已知二次函数y=ax²-2ax+3(其中x是自变量),当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为( ) A.-1<a<0 B.a>3 C.a<-1或a>3 D.-1<a<0或0<a<3 4、对于任意的实数m、n,定义符号max(m,n)的含义为m,n之间的最大值，如max(3,2)=3,max(l,2)=2.定义一个新函数：，则y≥3时，x的取值范围为( ) A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或1≤x≤3 C.1≤x≤3 D.x≤-3或x≥3 题型三：几何翻折问题 1、如图所示，将矩形ABCD分别沿BE,EF,FG翻折，翻折后点A,点D,点C都落在点H 上.若AB=4,则GH= . 2、如图，在菱形ABCD中，AB=5.AD上有一点E,连接BE,将△ABE沿BE翻折使点A的对应点A'落在CD上，连接A'B,A'E.若A'C=3,则DE= . 题型四：几何动点问题 1、如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=2,动点P从点A出发向终点D运动，连接BP,并过点C作CH⊥BP,垂足为H.以下结论：①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为;③在运动过程中，BP扫过的面积等于2;④在运动过程中，点H的运动路径的长为,其中正确的有(填写序号) . 2、如图，AB=5,BC=10,以AC为斜边在AC的右侧作△ACD,其中∠ADC=90°,，当BD长度最大时，点D到BC的距离是 . 题型五：二次函数新定义 1、京剧是中国的一门传统文化艺术.如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G.点A,B,C,D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径，且AB=4,半圆圆心M的坐标为(1,0).关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是 (填序号). ①图形G关于直线x=1对称； ②线段CD的长为3+; ③图形G围成区域内(不含边界)恰有12个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ④当-4≤a≤2时，直线y=a与图形G有两个公共点； ⑤图形G的面积小于2π+8. 题型六：二次函数最值问题 1、如图1,抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D,求P坐标为何值时PD最大，并求出最大值； (3)如图②,将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y',y'与原抛物线相交于点M,点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点A,M,N,H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，直线y=x-3与x轴，y轴分别交于点B(3,0),C(0,-3),经过B,C两点的抛物线y=-x²+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P. (1)求该抛物线的解析式； (2)当0<x<3时，在抛物线上存在点E,使△CBE的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接AC,点N在x轴上，是否存在以B,P,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由. 3、如图1,已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3),其顶点为D(1,2). (1)求二次函数的表达式； (2)直线CD与x轴交于M,现将线段CM上下移动，若线段CM与二次函数的图象有交点，求CM向上和向下平移的最大距离； (3)若将(1)中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90°,得到抛物线G,如图2所示，直线y=-x+2与G交于A,B两点，P为G上位于直线AB左侧一点，求△ABP面积最大值，及此时点P的坐标. 4、抛物线y=x²-mx+m+1与y轴交于点A,顶点为D. (1)若抛物线过点B(-3,2),求抛物线顶点D和点A坐标； (2)如图，在(1)的条件下，连接AB,点N为线段AB下方抛物线上一点，求△ABN面积的最大值； (3)已知点P(2m+3,2),Q(1,3+m²),若线段PQ与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围. 题型七：角度的存在性问题 1、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0). (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上一点(不与点A重合),连接PC.当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，在对称轴上是否存在一点Q,连接PQ,将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°,使点P恰好落在抛物线上?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题型八：手拉手 1、如图1,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠ACB=60°,AC=2,点A,B₁为边AC,BC的中点，连接A₁B1,将△A₁B1C绕点C逆时针旋转α(0°≤a≤360°). (1)如图1,当α=0°时， ，BB1,AA₁所在直线相交所成的较小夹角的度数 为 ； (2)将△A₁B₁C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，(1)中结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)在△A₁B₁C绕点C逆时针旋转过程中， ①请直接写出的最大值； ②当A1,B1,B三点共线时，请直接写出线段BB₁的长. 2、在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,点E在射线BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG. (1)如图1,若E在线段BC上，连接AC,则tan∠ACB= ,= ; (2)如图2,若E在线段BC延长线上，当点F、B、D共线时，求线段BE的长； (3)如图3,若E在线段BC上，当EA=2EC时，在平面内有一动点P,满足PE=2EF,连接PA,PC,请直接写出PC+PA的最小值. 3、(1)已知△ADC为等边三角形，点B是线段AD上的动点，连接BC. ①如图1,AN=AB,∠DAN=60°,连接ND,延长CB交DN于点E.则ND和BC的数量关系是 ,ND和BC所夹的钝角∠NEC= °. ②如图2,点M是BC上任意一点，点N在点M的左侧，作AN==AM,∠MAN=60°,连接 BN.当点B运动到AD的中点时，求的值和∠NBC的度数. (2)如图3,已知△ADC为等腰直角三角形，∠DAC=90°,AC=4,点B,O分别是线段AD,AC的中点，连接BC.点M是线段BC上任意一点，点N在点M的左侧，作AN=AM,∠MAN=90°,连接BN,ON,当ON取最小值时，直接写出BM的长. 4、(1)问题发现：如图1,在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°, 连接AC,BD交于点M,填空：= ;∠AMB= ； （2）类比探究：如图2,在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°, 连接AC交BD的延长线于点M,请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； (3)延伸拓展：在(2)的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD =1,OB=,请直接写出AC的值. 5、如图，在矩形ABCD中，AD=nAB,点M,P分别在边AB,AD上(均不与端点重合),且AP=nAM,以AP和AM为邻边作矩形AMNP,连接AN,CN. (1)如图②,当n=1时，CN与PD的数量关系为 ； 【类比探究】 (2)如图③,当n=2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD,则CN与PD之间 的数量关系与(1)是否发生变化?若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由. 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，已知AD=4,AP=2,当矩形AMNP旋转至C,N,M三点共线时，请直接写出线段PD的长. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$