2025年九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第1讲实数

第一章　数与式 第1讲　实数 实数： 实数的分类： 按定义分：有理数整数:分数（有限小数或无限循环小数）、无理数无限不循环小数 按正负分:正数（大于0）① （既不是正数，也不是负数）、负数（小于0） （课程标准新增理解负数的意义） 0　 ◆温馨提示：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键点，归纳起来有 三类：1.开方开不尽的数，如 ， ， sin 60°等；2.有特定意义的数，如圆 周率π，或化简后含有π的数，如 ＋8等；3.有特定结构的数，如0.101 001 000 1…（每相邻两个1之间依次多一个0）等. 实数的有关概念及性质： 数轴: 三要素：原点、正方向、单位长度 ② ⁠与数轴上的点一一对应 数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数 实数　 相反数：实数a的相反数是③ ，零的相反数是零 a与b互为相反数⇔a＋b＝④ ⁠ 倒数：实数a（a≠0）的倒数是⑤ ⁠、实数a与b互为倒数⇔⑥ ⁠ 绝对值： 代数意义：｜a｜＝a（a＞0）0（a＝0）－a（a＜0）｜a｜具有非负性 （课程标准删除内容） 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的⑦ .离原点越远的数，绝对值就越大 －a　 0　 　 ab＝1　 距离　 【随手一练1】（2024·广州番禺区一模）实数a，b，c在数轴上的位置如图所 示，则下列各式正确的有（　C　） （1）abc＞0；（2）－c＞a＞－b；（3） ＞ ；（4）｜c｜＞｜a｜. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 名称 平方根 算术平方根 立方根 定义 若x2＝a，则x＝± 若x2＝a（x≥0）， 则x＝ 若x3＝a， 则x＝ 性 质 a＞0 2个（⑧ 数） 1个（正数） 1个（正数） a＝0 ⑨ ⁠ 0 0 a＜0 无 无 1个（⑩ 数） 互为相反　 0　 负　 实数： 平方根、算术平方根、立方根： ◆温馨提示：课程标准新增内容，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的 负整数）的立方根，如 ＝±9， ＝±8等. 科学记数法、近似数： 科学记数法：定义：把一个数N表示成a×10n（1≤a＜10，n是整数）的形式 表示方法：当N≥10时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一 个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含小数 点前的零） 实数： 近似数与精确度：近似数：将一个数四舍五入后得到的数 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 ◆温馨提示：用科学记数法表示数要注意单位换算，对于没有单位的数直接确定 a和n的值即可；对于有单位的数，要先换算计数单位（如：1万＝104，1亿＝ 108），然后再确定a和n的值. 【随手一练2】 新情境（2024·北京朝阳区模拟）2024年5月3日，我国嫦娥六号顺 利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号 早上嫦娥六号在月球背面的南极－艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384 000 000米，将384 000 000用科学记数法表示为（　B　） A. 38.4×107 B. 3.84×108 C. 3.84×109 D. 0.384×109 B 实数的大小比较： 数轴比较法：在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的 数⑪ ⁠ 类别比较法：负数＜0＜正数；两个负数比较大小，绝对值大的反而⑫ ⁠ 作差比较法：（1）a－b＞0⇔a⑬ b；（2）a－b＝0⇔a⑭ b； （3）a－b＜0⇔a⑮ ⁠b 倒数比较法：若 ＞ ，ab＞0，则a⑯ ⁠b 平方比较法：因为由a＞b＞0，可得 ⑰ ，所以我们可以把 与 的大小问题转化成比较a和b的大小问题 大　 小　 ＞　 ＝　 ＜　 ＜　 ＞　 实数： 实数的运算： 四则运算加法：同号两数相加，取⑱ 的符号，并把绝对值相加；绝对 值不相等的异号 两数相加，取绝对值⑲ 的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数 减法：减去一个数，等于加上这个数的⑳ ，即a－b＝a＋（－b） 乘法：两数相乘，同号得㉑ ，异号得㉒ ，并把绝对值相乘； 任何数与 0相乘都得0.即a·b＝ab，（－a）·（－b）＝ab，a·（－b）＝－ab（a＞0，b＞ 0）；a·0＝0 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的㉓ ，即a÷b＝a× （b≠0） 相同　 较大　 相反数　 正　 负　 倒数　 常见运算类型：乘方： ＝㉔ ，表示n个a相乘 零次幂：a0＝1（a≠0） 负整数指数幂：a－p＝㉕ 　 　（a≠0，p为正整数），特别地，a－1＝ －1的高次幂：－1的奇数次幂为－1，－1的偶数次幂为1 an　 　 混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减 （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行 （3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的 【随手一练3】计算： ＋｜3－ ｜＋ －1.570－2 cos 30°＝ 　 　. 　 1　相反数、倒数、绝对值 互为相反数的两数绝对值相同，符号不同.求一个数的相反数，只需改变这 个数的符号即可；求一个代数式的相反数，可将该代数式作为整体先用括号括起 来，并在括号前添加“－”号，再按去括号法则去括号化简. 　　绝对值同相反数一样，都既具有几何意义，又具有代数意义.因此求绝对值 的方法通常有两种.此外，除0外的实数均由性质符号和绝对值两部分组成，因 此，若是求一个实数的绝对值，将其性质符号去掉后，便得其绝对值. 求一个整数（或整式）的倒数，写成这个整数（或整式）分之一即可；求一 个分数（或分式）的倒数，只需调换分子和分母的位置（带分数先化为假分 数）.注意0没有倒数.互为倒数的两数符号相同. 【例1】（2024·烟台福山区一模）下列说法不正确的是（　B　） A. 3与－3互为相反数 B. －3与 为倒数 C. －1的立方根是－1 D. －1的绝对值是1 B 【变式训练1】（2023·资阳中考）数轴上点A到原点的距离为 ，则点A所表示 的数是（　C　） A. B. － C. 或－ D. 2 C 【变式训练2】（2024·九江柴桑区三模）下列各数中，倒数等于本身的是（　A　） A. B. 2 C. D. A 2　科学记数法 　　用科学记数法表示数的关键是确定a和n的值：a是整数位数只有一位的 数，即1≤｜a｜＜10；n是整数，n的绝对值等于从原数到a小数点移动的位数. 当表示较大数时，n是正整数；当表示较小数时，n是负整数. 【例2】 新情境（2024·琼海模拟）据统计，海南省2024年“五一”假日全省旅游 接待人数为332.37万人次，同比增长3.7％；旅游总花费43.65亿元，同比增长 3.1％.与2019年同口径对比，全省接待游客总人数增长61.0％，旅游花费增长 84.6％.数据“332.37万”用科学记数法表示为（　C　） A. 332.37×104 B. 33.237×105 C. 3.323 7×106 D. 0.332 37×107 C 【变式训练3】（2024·烟台中考）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有 0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一.已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于 多少纳米？将结果用科学记数法表示为（　B　） A. 0.15×103纳米 B. 1.5×104纳米 C. 15×10－5纳米 D. 1.5×10－6纳米 B 【变式训练4】（2024·上海中考）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱 片的容量约为2×105 GB，一张普通唱片的容量约为25 GB，则蓝光唱片的容量是 普通唱片的 倍.（用科学记数法表示） 8×103　 【例3】（2024·重庆永川区模拟）如果x是64的立方根，那么x的平方根 是 ⁠. 【变式训练5】（2024·天水清水三模）若 ≈0.598 1， ≈5.981，则x 为（　A　） A. 214 B. ±214 C. 2 140 D. ±2 140 【变式训练6】（2024·成都中考）若m，n为实数，且（m＋4）2＋ ＝ 0，则（m＋n）2的值为 ⁠. ±2　 A 1　 3　平方根、立方根 4　实数的运算 解此类题一般要先化简各项，再利用实数的运算顺序进行运算. 进行实数的 运算要注意两点：一是各项的准确化简，特别是负整数指数幂、特殊角的三角函 数值、绝对值的化简，有时需整体处理；二是全面观察算式特点，适时利用运算 律、去括号法则改变运算顺序，简化运算. 解：（ －π）0＋－ ＋2 sin 45°－｜1－ ｜＝ 1＋4＋2× －（ －1）＝1＋4＋ － ＋1＝6. 【变式训练7】（2024·陕西中考）计算： －（－7）0＋（－2）×3. 解：原式＝5－1－6＝－2. 【例4】（2024·眉山中考）计算：（ －π）0＋－ ＋2 sin 45°－｜1－ ｜. 【自主解答】 【变式训练8】 运算能力 计算：3tan 60°－ － ＋｜2－ ｜. 解：原式＝3× －2－2 ＋2－ ＝3 －2－2 ＋2－ ＝0. 5　实数的大小比较 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围.如“差值比较法”用于 比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大 小，还有“平方法”“倒数法”等，要依据数值特点确定合适的方法. 【例5】（2023·扬州中考）已知a＝ ，b＝2，c＝ ，则a，b，c的大小关 系是（　C　） A. b＞a＞c B. a＞c＞b C. a＞b＞c D. b＞c＞a C 【变式训练9】（2024·自贡中考）在0，－2，－ ，π四个数中，最大的数是 （　C　） A. －2 B. 0 C. π D. － 【变式训练10】 数学文化 （2024·安徽中考）我国古代数学家张衡将圆周率取值 为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小： ⁠ （填“＞”或“＜”）. C ＞　 实数的有关概念　　 1. （2024·滨州中考，1，3分）－ 的绝对值是（　C　） A. 2 B. －2 C. D. － 2. （2023·烟台中考，1，3分）－ 的倒数是（　D　） A. B. － C. D. － 3. （2024·烟台中考，1，3分）下列实数中的无理数是（　C　） A. B. 3.14 C. D. C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. （2024·威海中考，1，3分）一批食品，标准质量为每袋454 g.现随机抽取4个 样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.那 么，最接近标准质量的是（　C　） A. ＋7 B. －5 C. －3 D. 10 6. （2024·山东中考，3，3分）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡 公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（　C　） A. 0.619×103 B. 61.9×104 C. 6.19×105 D. 6.19×106 C C 4. （2021·青岛中考，2，3分）下列各数为负分数的是（　B　） A. －1 B. － C. 0 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. （2024·威海中考，2，3分）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大 学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中 心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光 量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色 取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理 的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将 “百万分之一”用科学记数法表示为（　B　） A. 1×10－5 B. 1×10－6 C. 1×10－7 D. 1×10－8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. （2024·烟台中考，4，3分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结 论正确的是（　B　） A. b＋c＞3 B. a－c＜0 C. ｜a｜＞｜c｜ D. －2a＜－2b B 9. （2023·烟台中考，11，3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导 航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位.目前，北斗定位服务日均使用量 已超过3 600亿次.3 600亿用科学记数法表示为 ⁠. 3.6×1011　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 实数的有关计算　 10. （2024·威海中考，3，3分）下列各数中，最小的数是（　A　） A. －2 B. －（－2） C. － D. － 11. （2024·山东中考，1，3分）下列实数中，平方最大的数是（　A　） A. 3 B. C. －1 D. －2 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. （2021·淄博中考，3，5分）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点 最高的液体是（　A　） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ ℃ －183 －253 －196 －268.9 A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 A 13. （2021·淄博中考，6，5分）设m＝ ，则（　A　） A. 0＜m＜1 B. 1＜m＜2 C. 2＜m＜3 D. 3＜m＜4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. （2023·烟台中考，14，3分）如图所示，利用课本上的计算器进行计算，其 按键顺序及结果如下： ① 按键的结果为4； ② 按键的结果为8； ③ 按键的结果为0.5； ④ 按键的结果为25. 以上说法正确的序号是 ⁠. ①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. （2024·滨州中考，10，3分）写出一个比 大且比 小的整数： ⁠. 16. （2022·烟台中考，13，3分）如图所示是一个“数值转换机”的示意图.若x ＝－5，y＝3，则输出结果为 ⁠. 2或3 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. （2022·威海中考，16，3分）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代 的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①所 示），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖 列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图②的 方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ⁠ （m＞0）. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. （2024·滨州中考，17，7分）计算：2－1＋（－2）×－ － . 解：2－1＋（－2）×－ － ＝ ＋1－ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$