第十三章轴对称（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十三章 轴对称（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若等腰三角形的两边长分别是5和10，则它的周长是（　　） A．20 B．25 C．20或25 D．以上都不对 2．已知一个等腰三角形 的两边长为5，7，另一个等腰三角形 的两边为 ， ，若两个三角形全等，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．4或5 D． 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC关于直线y＝1对称，已知点A的坐标是（3，4），则点B的坐标是（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，4） 4．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 5．如图， ，点B关于 的对称点E恰好落在 上，若 ，则 的度数为（　　） A．45° B． C． D． 6．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=　 　 8．如图，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F.若BC＝10cm，则△AEF 的周长为 　 　cm. 9．如图，△ABC中，∠A=60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB=50°，那么∠A′ED的度数为　 　． 10．如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为　 　． 11．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝9，AC＝5，则BE＝　 　． 12． 如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是lcm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当△PBQ是直角三角形时，t等于 　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长． 14．如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE.求证：BD=2CE. 15．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上． （ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1； （ 2 ）求 ABC的面积； （ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置） 16．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF． （1）求证：CD＝BE； （2）若AB＝12，试求BF的长． 17．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，． （1）求从海岛到灯塔的距离； （2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 . （1）求证： （2）求证： 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AB的中点，过点A作l1∥BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE. （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）试证明△BCE是等腰三角形. 20．已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证： （1）； （2）； （3）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． （1）特例证明： 如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； （2）拓展运用： 如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 22．如图，在 中， ， 垂足为 ， 为直线 上一动点(不与点 重合)，在 的右侧作 ，使得 ，连接 . （1）求证： ； （2）当 在线段 上时 ① 求证： ≌ ； ② 若 ， 则 ； （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数（直接写出结果） 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝ AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若等腰三角形的两边长分别是5和10，则它的周长是（　　） A．20 B．25 C．20或25 D．以上都不对 【答案】B 【解析】解：当等腰三角形的腰为5时, 三边为5, 5, 10, 5+5=10, 三边关系不成立, 当等腰三角形的腰为10时, 三边为5, 10, 10, 三边关系成立, 周长为5+10+10=25. 故答案为：B. 2．已知一个等腰三角形 的两边长为5，7，另一个等腰三角形 的两边为 ， ，若两个三角形全等，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．4或5 D． 【答案】B 【解析】解：∵等腰 的两边长为5，7， ∴ 的三边长为5，7，7；或5，5，7； 由题意得另一个等腰三角形的两边为 ， ，且与等腰 全等 （1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意； （2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意； （3）当3x-5=5时，解得 ，则2x-3= ，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意； 综上所述：x的值为4. 故答案为：B. 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC关于直线y＝1对称，已知点A的坐标是（3，4），则点B的坐标是（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，4） 【答案】C 【解析】解：∵△ABC关于直线y＝1对称， ∴点A和点B是关于直线y=1对称的对应点，它们到y=1的距离相等是3个单位长度， ∵点A的坐标是（3，4）， ∴B（3，﹣2）， 故答案为：C． 4．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】A 【解析】解：∵∠A=40°， ∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°， 又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2， ∴∠PBA=∠PCB， ∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°× =70°， ∴∠BPC=180°﹣70°=110°． 故答案为：A． 5．如图， ，点B关于 的对称点E恰好落在 上，若 ，则 的度数为（　　） A．45° B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接BE. ∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BE， ∴AB=AE，BC=EC， ∴∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA. ∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED. 设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x. ∴∠DAE=∠DAB-∠EAC-∠BAC= . ∵∠AED=∠EAC+ECA=x+y，∴∠D=x+y. ∵∠DAE+∠AED+∠D=180°，∴ +x+y+x+y=180°， ∴ =180°， ∴x= （180°-α）=90° . 即∠ACB=90° . 故答案为：D. 6．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∴，①正确，故符合要求； ∵，， ∴，④正确，故符合要求； 综上：正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=　 　 【答案】0 【解析】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称， ∴m+2=4，3=n+5， 解得：m=2，n=﹣2， ∴m+n=0， 故答案为：0． 8．如图，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F.若BC＝10cm，则△AEF 的周长为 　 　cm. 【答案】10 【解析】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， ∴AE=BE，AF=CF， ∴△AEF 的周长= AE+EF+AF =BE+EF+CF= BC =10cm. 故答案为：10. 9．如图，△ABC中，∠A=60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB=50°，那么∠A′ED的度数为　 　． 【答案】55° 【解析】解：∵∠A′DB=50°， ∴∠ADA′=180°﹣∠A′DB=180°-50°=130°， 由折叠性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°， ∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°. 故答案为：55°. 10．如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为　 　． 【答案】3 【解析】解：连接， ∵点与点关于对称， ∴为的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：3． 11．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝9，AC＝5，则BE＝　 　． 【答案】2 【解析】如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=9，AC=5， ∴BE= (9−5)=2. 故答案为：2. 12． 如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是lcm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当△PBQ是直角三角形时，t等于 　 　． 【答案】1或2 【解析】解：∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴AB=BC=3cm，∠B=60°， 设点P的运动时间为t（s），△PBQ是直角三角形， ∴AP=tcm，BQ=tcm， ∴BP=(3-t)cm， 若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ=90°或∠PQB=90°， 当∠BPQ=90°时，BP=BQ=t，即3-t=t，解得t=2； 当∠PQB=90°时，BQ=BP，即t=(3-t)，解得t=1， ∴当t为1或2时，△BPQ是直角三角形. 故答案为：1或2. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长． 【答案】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∵AD⊥DB， ∴∠ADB=90°， ∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠BDE， ∴DE=BE， ∵AB=5， ∴DE=BE=AE= AB=2.5 14．如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE.求证：BD=2CE. 【答案】证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图所示. ∵CE⊥BE， ∴∠BEC=∠BEF=90°. 又∵∠1=∠2， ∴∠F=∠BCE， ∴BC=BF， ∴CE=FE= CF，即CF=2CE. ∵∠F+∠2=90°，∠F+∠ACF=90°， ∴∠2=∠ACF. 又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴△BDA≌△CFA(ASA). ∴BD=CF. ∴BD=2CE 。 15．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上． （ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1； （ 2 ）求 ABC的面积； （ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置） 【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ； （3）如图所示，点P即为所求． 16．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF． （1）求证：CD＝BE； （2）若AB＝12，试求BF的长． 【答案】（1）证明：如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD， ∴△CDM是等边三角形， ∴CD=DM， 在△DMF和△EBF中， ， ∴△DMF≌△EBF（ASA）， ∴DM=BE， ∴CD=BE （2）解：∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC， ∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°， ∴BE=BF，DM=FM， 又∵△DMF≌△EBF， ∴MF=BF， ∴CM=MF=BF， 又∵AB=BC=12， ∴CM=MF=BF=4 17．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，． （1）求从海岛到灯塔的距离； （2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？ 【答案】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P， 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，， ∵， ∴， ∴在中，（海里）， ∵， ． ∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 . （1）求证： （2）求证： 【答案】（1）证明： ∵AB＝AE，D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC ∴∠C+∠DAC＝90°， ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠DAC＝90° ∴∠C＝∠BA （2）证明： ∵AF∥BC ∴∠FAE＝∠AEB ∵AB＝AE ∴∠B＝∠AEB ∴∠B=∠FAE 在△ABC和△EAF中 ∴△ABC≌△EAF（ASA） ∴AC＝EF 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AB的中点，过点A作l1∥BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE. （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）试证明△BCE是等腰三角形. 【答案】（1）证明：∵l1∥BC ∴∠EAB＋∠ABC＝180° ∵∠ABC＝90° ∴∠EAB＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90° ∵l2⊥CD ∴∠EBC＋∠DCB＝90° ∵∠EBC＋∠EBA＝90° ∴∠DCB＝∠EBA 在△AEB和△BDC中 ∴△AEB≌△BDC（ASA） （2）证明：由△AEB≌△BDC（已证）得AE＝BD ∵D为AB的中点，即AD＝BD ∴AE＝AD ∵∠ABC＝90°，AB＝AC ∴△ABC是等腰直角三角形 ∴∠BAC＝45°∴∠EAC＝90°－45°＝45° ∴∠EAC＝∠DAC 在△EAC和△DAC中 ∴△EAC≌△DAC（SAS） ∴DC＝CE 由（1）△AEB≌△BDC得BE＝CD ∴BE＝CE ∴△BCE是等腰三角形 20．已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）解：为的角平分线， ， 在与中，， （2）解：， ， ，， ， ，， 和为等腰三角形， ， ， ， （3）解：如图，过点作交的延长线于点， 平分，，， ， 在与中，， ， ， 在与中，， ， ， 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． （1）特例证明： 如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； （2）拓展运用： 如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， （2）解：存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形” 22．如图，在 中， ， 垂足为 ， 为直线 上一动点(不与点 重合)，在 的右侧作 ，使得 ，连接 . （1）求证： ； （2）当 在线段 上时 ① 求证： ≌ ； ② 若 ， 则 ； （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数（直接写出结果） 【答案】（1）证明：∵AB=AC，AH⊥BC， ∴∠AHB=∠AHC=90°， 在Rt△AHB和Rt△ACH中， ， ∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL）， ∴∠ABC=∠ACB （2）解：①如图1中， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE. ②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE； 理由：如图2中，∵AB=AC，AH⊥BC， ∴∠BAH=∠CAH， ∵∠BAH=∠CAE， ∴∠CAH=∠CAE， ∵AH=AE， ∴AC⊥DE （3） 解：∠ADB的度数为20°或40°或100°. 理由：①如图3中，当点D在CB的延长线上时， ∵CE∥AB， ∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC， ∵△DAB≌△EAC， ∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE， ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°. ②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ADB=180°-20°-60°=100°. ③当点D在BC 延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°， 综上所述，满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100° 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝ AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 【答案】（1）解： ． 证明：点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，经过1s后， ∴ ， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴ ， ∵AB＝BC＝AC＝12cm，BD＝ AB， ∴ 是等边三角形， ， ， ∴ ， 在 和 中， ∴ （SAS）． （2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴ ， ∵AB＝BC＝AC， ∴ 是等边三角形， ， ∵在 和 中， ∴ ， ∴ ； 在 中， ， ∵ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ （对顶角相等）． （3）解：设点Q运动时间是x秒，若 ，可列方程： ， 解得： ． ∵在 中， ， ， ∴当 秒时， 是等边三角形（任意角是 的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q运动 秒后，可得到等边 ． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$