第十三章轴对称（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列图案或文字中，是轴对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】∵第一幅图是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；第三幅图不是轴对称图形；第四幅图是轴对称图形；第五幅图是轴对称图形； ∴共有3个轴对称图形， 故答案为：B. 2．已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则 =（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣ D． 【答案】C 【解析】解：∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称， ∴a=2，b=3， 则 = =﹣ ． 故选：C． 3．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为(　　)。 A．9 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定 【答案】C 【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出△DEB的周长=AB，代入数据即可得解． ∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED， ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL)， ∴AC=AE， 又∵AC=BC， ∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB， ∵AB=6cm， ∴△DEB的周长=6cm． 4．如图，△ABC中，AB =AC，过点A作DA⊥AC交BC于点 D ．若∠B=2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A．18° B．20° C．30° D．36° 【答案】A 【解析】设∠BAD 的度数为x，∵DA⊥AC ∴∠BAC=90°+x， ∵AB=AC， ∴∠B= =45°- x ∵∠B = 2∠BAD ， ∴45°- x=2x 解得x=18°， 故答案为：A. 5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°， ∴∠ADC=90°， ∵DE⊥AB于点E，EA=2， ∴∠DEA=90°，∠DEB=90°， ∴∠BAD=60°，∠EDA=30°， ∴AD=2AE=4， ∴AB=2AD=8， ∴BE=AB﹣AE=8﹣2=6， 故答案为：C． 6．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为（　　）. A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示 ∵等边△ABC中AD⊥BC， ∴∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°， ∴PD= AP ∴ AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值 ∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 ∴BF即为PD＋BP的最小值 ∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示 ∵∠CAD=∠ABF=∠CBF =30° ∴AP= BP，PD= BP= AP ∵AD=12 ∴AP＋PD=12 ∴AP＋ AP=12 解得：AP=8 故答案为：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若与关于轴对称，则　 　． 【答案】 【解析】解：∵A（m，-3）与B（4，-3）关于y轴对称， ∴m=-4， 故答案为：-4． 8．如图，在中，，点E在的垂直平分线上，平分．若，，则　 　． 【答案】4 【解析】解：∵，平分，，， ∴ED=CD=1，AE=AC=3， ∵点E在AB的垂直平分线上， ∴BE=AE=3， ∴BD=BE+ED=4， 故答案为：4. 9．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为　 　. 【答案】60 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°. 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠DBE. ∵∠APE=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠ABP+∠DBE. 即∠APE=∠ABD. ∴∠APE=60°. 故答案是：60°. 10．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝　 　． 【答案】3cm 【解析】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF， ∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF． ∵DE∥BC， ∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF， ∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm， ∴DE=DI﹣EI=3（cm）． 故答案为3cm． 11．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为　 　． 【答案】9 【解析】解：如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N ∵AB=AC，AM⊥BC ∴ ∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC ∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90° ∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90° ∴∠MAC=∠NCE ∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE， ∴ ∴CM=EN=3 ∴ 故答案为：9. 12．如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……如此作下去，则第n条线段的长为 　 　． 【答案】 【解析】解： ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1， ∴AB=2BC=2， ∵B1C1垂直平分AC， ∴B1C1∥AC，AB1=CB1， ∴AB1=BB1， ∴CB1=AB1=BB1=AB=1， 同理可得：B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······， ∴=. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE． 【答案】证明：过点A作AF⊥BC于点F， ∵AB=AC， ∴BF=CF， ∵BD=CE， ∴DF=EF， ∴AD=AE． 14．如图，在直角 中， ， 的平分线 交 于点 ，若 垂直平分 ，求 的度数． 【答案】解： 平分 ， ， 又 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． ①画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； ②将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标． 【答案】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求 ②如图所示：△A2B2C2，即为所求， 点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）． 16．如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数． 【答案】（1）证明：∵AC=BC，∴∠B=∠BAC， ∵∠ACE=∠B+∠BAC， ∴∠BAC= ∠ACE， ∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF= ∠ACE， ∴∠BAC=∠ACF， ∴CF∥AB （2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B，∴∠ACF=∠ADF， ∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°， 又∵∠AGD=∠CGF， ∴∠F=∠CAD=20° 17．如图，已知，，，试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以（　　）． 又因为（已知）． 所以 ▲ ▲ （等式性质） 所以 在和中， ， 所以（　　）（完成以上推理过程） 【答案】解：因为（已知）， 所以（等角对等边） 又因为（已知） 所以（等式性质） 所以 在和中， ， 所以 故答案为：等角对等边： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B． （1）求证：CD＝CE； （2）若点A为CD的中点，求∠C的度数． 【答案】（1）证明：∵AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B， ∴∠CAE＝∠CBD＝90°， 在△CAE和△CBD中， ， ∴△CAE≌△CBD（ASA）． ∴CD＝CE； （2）解：连接DE， ∵由（1）可得CE＝CD， ∵点A为CD的中点，AE⊥CD， ∴CE＝DE， ∴CE＝DE＝CD， ∴△CDE为等边三角形． ∴∠C＝60°． 19．在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，若点为的中点，求证：； （2）如图2，若点为上任意一点，求证：． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作交于H， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：BF⊥AE； （3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由． 【答案】（1）证明：∵ BC⊥CA，DC⊥CE， ∴∠BCA=∠DCE=90°， ∴∠BCA－∠DCA=∠DCE－∠DCA ∴∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE(SAS). （2）证明：∵△BCD≌△ACE， ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠BCA=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°. ∵∠CBA=∠CBD+∠DBA=∠CAE+∠DBA ∴∠CAE+∠DBA+∠CAB=∠DBA+∠BAE=90°. ∴ BF⊥AE . （3）解：∠CFE＝∠CAB，理由如下： 过C作CH⊥AE交延长线于点H，CI⊥BF于点I， ∵△BCD≌△ACE， ∴BD=AE，S△BCD=S△ACE， ∴CH=CI， ∴CF平分∠BFH， BF⊥AE， ∴∠BFH=90°，∠CFE=45°. ∵BC⊥CA，BC=CA， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴∠CFE=∠CAB. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上． （1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________； （2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题： ①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________； ②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________． 【答案】（1）； （2）①，，；② 【解析】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D， 由题意知，，， ∵，， ∴， 在和中有， ∴ ∴，，， 故B点坐标为； 故答案为：； （2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接， ∵点B坐标为，且点B在第一象限 ∴，， ，， ①由题意知，， ∵，， ∴ 在和中有 ∴ ∴， ∵，， 故，， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形． ∴， ∵， ∴， 在和中有 ∴ ∴ ∴ 则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为， 故答案为：，，； ②由①可知，，，故有． 【分析】（1） 过B点作x轴垂线，垂足为D ，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，，即可求出答案. （2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线的定义可得，则，即，再根据等腰三角形判定定理可得也为等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. ②由①可知，，，故有，即可求出答案. （1）解：过B点作x轴垂线，垂足为D， 由题意知，，， ∵，， ∴， 在和中有 ∴ ∴，，， 故B点坐标为； 故答案为：； （2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接， ∵点B坐标为，且点B在第一象限 ∴，， ，， ①由题意知，， ∵，， ∴ 在和中有 ∴ ∴， ∵，， 故，， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形． ∴， ∵， ∴， 在和中有 ∴ ∴ ∴ 则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为， 故答案为：，，； ②由①可知，，，故有． 22．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。 （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠AEB的度数； （3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。 【答案】（1） ∵△ACD和△DCE为等边三角形 ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴在三角形ACD和三角形BCE中， AC=BC，DC=CE，∠ACD=∠BCE ∴△ACD≌△BCE （2） 根据（1）可得，△ACD≌△BCE ∴∠ADC=∠BEC ∵∠ADC+∠CDE=180°，∠CDE=60° ∴∠ADC=120° ∴∠BEC=120° ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60° （3） ，AE＝BE+2CM． 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC． ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME． ∵， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 六、解答题（本大题共12分） 23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足． （1）求点A、点B的坐标． （2）为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点R．求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 【答案】（1）解：∵满足， 且， ， 解得， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ， ； 且点在轴正半轴上， ； ②如图， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动； 如图，设直线与轴交于点，当时，最小， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，且. 又∵ 均是等腰直角三角形， ， 且． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列图案或文字中，是轴对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则 =（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣ D． 3．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为(　　)。 A．9 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定 4．如图，△ABC中，AB =AC，过点A作DA⊥AC交BC于点 D ．若∠B=2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A．18° B．20° C．30° D．36° 5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 6．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为（　　）. A．4 B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若与关于轴对称，则　 　． 8．如图，在中，，点E在的垂直平分线上，平分．若，，则　 　． 9．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为　 　. 10．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝　 　． 11．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为　 　． 12．如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……如此作下去，则第n条线段的长为 　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE． 14．如图，在直角 中， ， 的平分线 交 于点 ，若 垂直平分 ，求 的度数． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． ①画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； ②将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标． 16．如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数． 17．如图，已知，，，试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以（　　）． 又因为（已知）． 所以 ▲ ▲ （等式性质） 所以 在和中， ， 所以（　　）（完成以上推理过程） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B． （1）求证：CD＝CE； （2）若点A为CD的中点，求∠C的度数． 19．在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，若点为的中点，求证：； （2）如图2，若点为上任意一点，求证：． 20．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：BF⊥AE； （3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上． （1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________； （2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题： ①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________； ②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________． 22．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。 （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠AEB的度数； （3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。 六、解答题（本大题共12分） 23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足． （1）求点A、点B的坐标． （2）为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点R．求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$