期末真题必刷常考提升60题（考题猜想，17种必考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

期末真题必刷常考提升60题（考题猜想，17种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．乘法公式（共4题） 1．（2024春•枣庄期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， ， 故选：． 2．（2023秋•启东市期末）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为 　　张． 【解答】解：，即， 要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片． ，即， 若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张， 故答案为：8． 3．（2023秋•大理州期末）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 　 　； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且．求这个长方形的面积． 【解答】解：（1）由图2可知，， 故答案为：； （2）①， ． ②令，， 则 ， ， 即． 故这个长方形的面积为． 4．（2023秋•郯城县期末）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：　 　； ． ． ． ． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，，求的值； ②计算：． 【解答】解：（1）第一个图形面积为，第二个图形的面积为， 可以验证的等式是：， 故答案为：； （2）①，， ， ， ； ②原式． ． 二．因式分解（共3题） 5．（2023秋•乌兰察布期末）已知、是的两边，且满足，则的形状是 　 ． 【解答】解：， ． ． 在中，， ． ，即． 是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 6．（2023秋•綦江区期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是 　 　；若一个“振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数” 的最小值为 　　 ． 【解答】解：，且，，，， 当，，，时，四位数最小， 故答案为：1001． 根据题意，得，，是正整数， ，， ，， 解得：，， ， ，， ，， ，， ，， ，， 解得：，， 故，，或，，，， 故当时，，或， 当时，，或， 当时，或， 当时，， 最小， ，，， 根据， 故， 故最小数是4114， 故答案为：4114． 7．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：　 　； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【解答】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 故答案为：； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； （3）证明：令， 原式 ， 将 还原， 原式， 因为无论为何值， 所以 即式子 的值一定是一个不小于1的数． 三．分式的运算（共2题） 8．（2023秋•潮安区期末）先化简，再求值：，其中． 【解答】解：原式 ， 当时，原式 ． 9．（2023秋•洮北区期末）先化简，再求值，其中． 【解答】解：原式 当时， 原式 四．分式方程（共7题） 10．（2023秋•竹溪县校级期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：； 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， ，， 去分母得，， 解得， 分式方程的解为非负数，且， 且， 且， 综上可知，的取值范围为且， 所有满足条件的整数为2，3，5，共有3个， 故选：． 11．（2023秋•夏津县期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 　 　． 【解答】解：关于的分式方程化为整式方程为：， 解得：，且， 方程的解为非负数， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 12．（2023秋•北流市期末）若关于的分式方程无解，则的值为 　 　． 【解答】解：去分母得： ， 整理得：， 当时，方程无解，故； 当时，时，分式方程无解， 则， 故关于的分式方程无解，则的值为：1或． 故答案为：1或． 13．（2023秋•宜都市期末）定义运算“※”：※，若5※，则的值为　 　． 【解答】解：当时，，， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，， 经检验，是原分式方程的解； 综上所述，或10； 故答案为：或10． 14．（2023秋•凉州区期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　． 【解答】解：方程两边都乘，得 原方程增根为， 把代入整式方程，得， 解得． 故答案为：． 15．（2024春•成华区期末）关于的分式方程有增根，则　 　． 【解答】解：方程两边同乘得：， 由题意得：是该整式方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 16．（2023秋•朝阳区期末）解分式方程： 【解答】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 五．分式方程的应用（共4题） 17．（2024春•安庆期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为17， 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 18．（2023秋•钢城区期末）“元旦”期间，某电商想购进、两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍． （1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进、两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？ 【解答】解：（1）设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意，得 ， 解这个分式方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则， 答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元； （2）设购进商品件，由题意得：， 解得：， 答：种商品至少购进30件． 19．（2023秋•十堰期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要天． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙队单独完成这项工程需要80天． （2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下： 由乙队独做需费用：（万元）； 甲队独做工期超过90天，不符合要求； 设甲、乙两队合作，完成这项工程需天， 由题意得：， 解得：， 需要施工费用 为（万元）， ， 由甲、乙全程共同完成更省钱． 20．（2023秋•五华区校级期末）第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐在市场出现热销．某商家第一次用33000元去购买吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客喜爱，很快售完，第二次又以40000元购进同款的吉祥物毛绒玩具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二次的1.1倍，且第二次比第一次多购进100套． （1）求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格． （2）商家以每套140元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出时，为快速销售决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于13200元，剩余的吉祥物毛绒玩具每套售价至少要多少元？ 【解答】解：（1）设第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具进价是元，则第二批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具进价是元，由题意，得 ， 解得，， 经检验是分式方程的解， 所以，（元 答：第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套的进价是110元； （2）设剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价元． 由（Ⅰ）知，第二批购进（套， 由题意，得， 解得，， 答：剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价至少要105元． 六．三角形内角和定理（共8题） 21．（2023秋•深圳期末）如图，在△中，是角平分线，，垂足为，点在点的左侧，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：（1），， ． 又是的角平分线， ． ． ， ． ． 故选：． 22．（2024春•宿城区期末）已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则　 　． 【解答】解：由折叠知：，． ，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 23．（2023秋•九原区期末）如图，在中，，，是的角平分线，点是边上一点，且． 求：的度数． 【解答】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 24．（2023秋•莘县期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）当，时，　　，　　； （2），求，的度数； （3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （3）利用（2）的结论即得结果． 【解答】解：（1），分别是，的平分线，，， ，，， ； ，分别是，的平分线， ， ； （2）在中，， ，分别是，的平分线， ， ； ，分别是，的平分线， ； ； （3）的值不变． 由（1）知，， ． 当的大小变化时，的值不变． 25．（2024春•西安期末）如图，在中，，，于点，与交于点． （1）求的度数； （2）若平分，平分，试说明． 【解答】解：（1）， ． ， ， ． （2）平分， ， ． 平分， ． ， ． ． 26．（2023秋•邹平市校级期末）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是 　 　． 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是 　　 ； 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，，理由是： 由折叠得：， ， ； 故答案为：； （2）如图2，猜想：，理由是： 由折叠得：，， ， ， ； 故答案为：； （3）如图3，，理由是： ，， ， ， ， ． 故答案为：（1）； （2）． （3）． 27．（2023秋•台江区期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中，， （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①与大小关系是 　 　； ②与的数量关系是 　　 ． （2）小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况． ①求当时，如图4所示，的大小； ②直接写出的其余所有可能值． 【解答】解：（1）①与大小关系是相等； ，， ， 故答案为：相等； ②与的数量关系是：； ，， ； （2）①过点作，如图4.1， ， ， ，， ； ②当时，如图4.2，则； 当时，如图4.3，则； 当时，如图4.4，则， ； 当时，如图4.5，则， ； 综上所述：的其余可能值为或或或． 28．（2023秋•东湖区校级期末）课本再现： （1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则 　 　，所以 　　．（填“”、“ ”或“” （2）实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：．”并作出了辅助线：作的平分线，在上截取，连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． （3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．并且他们还提出了一个新问题：如图3，在中，，那么，之间有怎样的数量关系？你的猜想是 　　（填“”、“ ”或“” ．请证明你的猜想． 【解答】（1）解：由三角形外角的定义可知， ，， 故答案为：；； （2）证明：是的平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图 在线段上取点，使得， ， ， ， ， 故， ， ， 即， 故答案为：． 七．三角形的外角性质（共3题） 29．（2023秋•萍乡期末）如图，在中，，是内角的平分线，是外角的平分线，是外角的平分线，以下结论不正确的是　　 A． B． C． D．平分 【分析】、由平分的外角，求出，由三角形外角得，且，得出，利用同位角相等两直线平行得出结论正确． 、由，得出，再由平分，所以，，得出结论， 、在中，，利用角的关系得，得出结论； 、用排除法可得结论． 【解答】解：、平分的外角， ， ，且， ， ， 故正确． 、由（1）可知， ， 平分， ， ， ， ， 故正确． 、在中，， 平分的外角， ， ， ，， ，， ， ， 故正确； 不妨设，选项正确，可以推出，推出，显然不可能，故错误． 故选：． 30．（2023秋•江门期末）如图：是的外角，平分，平分，且、交于点．若，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：平分，平分， ，． ． ， ． 故选：． 31．（2023秋•新宾县期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，点，分别在，上运动（不与点重合）． 探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）①若，则　　； ②猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； （2）拓展延伸：如图2，若，，求的度数． （3）在图1的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图，　　（用含的代数式表示） 【解答】解：（1）①，平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：45； ②不变化， 理由如下： 平分，平分， ， ， ， ， ， 的度数不发生变化； （2）由（1）②知：， ， ， ， ； （3）平分，平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 八．全等三角形的判定（共3题） 32．（2023秋•集贤县期末）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是　　 A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：． 33．（2023秋•商州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上运动（不与点重合），点在轴上运动（不与点重合），当以点、、为顶点的三角形与全等时，则点的坐标为　 　． 【解答】解：当点在轴负半轴上，点在轴负半轴上时，， ， ； 当点在轴负半轴上，点在轴正半轴上时，， ， ； 当点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上时，， ， ． 故答案为：或或 34．（2023秋•广安期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为 　 ． 【解答】解：由题意知，，，， 与全等，， 分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得，，即，解得； 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 九．直角三角形全等的判定（共2题） 35．（2023秋•九台区期末）如图，在△中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则　　． 【解答】解：在△中，， ， △△ ， ． 故填7． 36．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【解答】证明：， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ． 十．全等三角形的判定与性质（共8题） 37．（2023秋•茌平区期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是　　 A．2 B．5 C．7 D．9 【解答】解：于点，于点， ， 在△与△中， ， △△， ，， ， 故选：． 38．（2023秋•商丘期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是　 　． 【解答】解：过和分别作于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 则点的坐标是 故答案为 39．（2023秋•新抚区期末）如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 　 　． 【解答】解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 40．（2024春•道里区期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　　时，． 【解答】解：， ， 为边上的高， ， ， ， ， ， 过点作的垂线交直线于点， ， 在和中， ， ， ， ①如图，当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； ②当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，； 故答案为：2或5． 41．（2023秋•雨花区期末）如图，在△中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）线段的长度为何值时，△△？请说明理由； （3）在点的运动过程中，△的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 故答案为：；； （2）当时，△△， 理由：，， ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （3）当的度数为或时，△的形状是等腰三角形， ①当时，， ； ②当时，， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时，， ； 综上所述，当的度数为或时，△的形状是等腰三角形． 42．（2023秋•汉阳区校级期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； （2）过点作交于点，若，，求的长． 【解答】解：（1）， 证明：在和中， ， ， ， ，， ． （2）， ， ， ， ， ，， ， ， 的长为6． 43．（2023秋•蓬莱区期末）如图，在中，，，点是内一点，，，点是延长线上一点，． （1）求的度数； （2）线段，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【解答】解：（1），， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）， 理由如下：在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 44．（2023秋•颍泉区校级期末）在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． （1）如图1，当点在上时，填空： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【解答】解：（1），理由如下： 连接，如图1所示： ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 十一．全等三角形的应用（共2题） 45．（2024春•海州区校级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为证明在用到的条件是：，，， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法． 故选：． 46．（2023秋•遵义期末）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△△； （2）求两堵木墙之间的距离． 【解答】（1）证明：由题意得：，，，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：由题意得：，， △△， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 十二．角平分线的性质（共3题） 47．（2023秋•蜀山区期末）如图，已知，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，平分， ， ，， ， 过点作于点， 平分，，， ， 的最小值为． 故选：． 48．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在中，，是的平分线，于点，．则的面积为 　　． 【解答】解：作于， 是的平分线，， ， 的面积． 故答案为：9． 49．（2023秋•西峰区期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则长是　　． 【解答】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积为7， 的面积为， ， ， 故答案为：3 十三．等腰三角形的判定与性质（共3题） 50．（2023秋•东城区期末）如图，在△中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则△的周长为 　　． 【解答】解：为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， △周长为， 故答案为：10 51．（2023秋•宁安市期末）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则　　． 【解答】解：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 52．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． （1）请写出图1中线段，，之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于．那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【解答】解：（1），理由如下： 和的平分线相交于点， ，， 过点作平行线交、于、． ， ，， ，， ，， ， 即； （2），理由如下： 和的平分线相交于点， ，， 过点作平行线交、于、． ， ，， ，， ，， ， ． 十四．等边三角形的判定与性质（共2题） 53．（2023秋•乳山市期末）在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， △是等边三角形； （2）证明：△是等边三角形， ， ， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ． 54．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为 ． （1）当为何值时，△为等边三角形？ （2）当为何值时，△为直角三角形？ 【解答】解：（1）由题意可知，，则， 当△为等边三角形时， 则有，即， 解得， 即当时，△为等边三角形； （2）当时， ， ， 在△中，， 即， 解得； 当时， 同理可得， 即， 解得， 综上可知当为或时，△为直角三角形． 十五．含30度角的直角三角形（共2题） 55．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当△为直角三角形时，的值为　　 A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒 【解答】解：根据题意得：，， △为直角三角形，， 当，时，则， ， 解得：， 当，时，则， ， 解得：， 综上，当的值为3秒或秒时，△为直角三角形， 故选：． 56．（2024春•威海期末）如图，在△中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于　　 A．3 B． C．2 D． 【解答】解：过点作于． 在△中，，， ， ，， ， ， ． ，于， ， ． 故选：． 十六．多边形内角与外角（共2题） 57．（2023秋•都匀市期末）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ， 故选：． 58．（2024春•肥乡区期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若，，则　 　． 【解答】解：等边三角形的内角的度数是，正方形的内角度数是，正五边形的内角的度数是：， 则． 故答案为：． 十七．轴对称-最短路线问题（共2题） 59．（2023秋•微山县期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 【解答】解：如图，作于，交于，连接，， 在中，，， 是等边三角形， ，， ，， 点关于的对称点为点， ， ， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是6， 故选：． 60．（2024春•城关区校级期末）如图，在中，，，，，点是上一点，连接，点到的距离等于的长，、分别是、上的动点，连接，，则的最小值是 　　． 【解答】解：点到的距离等于的长， 是的平分线， 过点作交于点，再过点作交于点， ， ， 此时有最小值， 中，，，，， ， ， 故答案为：4.8． $$期末真题必刷常考提升60题（考题猜想，17种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．乘法公式（共4题） 1．（2024春•枣庄期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•启东市期末）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为 　　张． 3．（2023秋•大理州期末）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 　 　； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且．求这个长方形的面积． 4．（2023秋•郯城县期末）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：　 　； ． ． ． ． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，，求的值； ②计算：． 二．因式分解（共3题） 5．（2023秋•乌兰察布期末）已知、是的两边，且满足，则的形状是 　 ． 6．（2023秋•綦江区期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是 　 　；若一个“振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数” 的最小值为 　　 ． 7．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：　 　； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 三．分式的运算（共2题） 8．（2023秋•潮安区期末）先化简，再求值：，其中． 9．（2023秋•洮北区期末）先化简，再求值，其中． 四．分式方程（共7题） 10．（2023秋•竹溪县校级期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2023秋•夏津县期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 　 　． 12．（2023秋•北流市期末）若关于的分式方程无解，则的值为 　 　． 13．（2023秋•宜都市期末）定义运算“※”：※，若5※，则的值为　 　． 14．（2023秋•凉州区期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　． 15．（2024春•成华区期末）关于的分式方程有增根，则　 　． 16．（2023秋•朝阳区期末）解分式方程： 五．分式方程的应用（共4题） 17．（2024春•安庆期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 18．（2023秋•钢城区期末）“元旦”期间，某电商想购进、两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍． （1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进、两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？ 19．（2023秋•十堰期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由． 20．（2023秋•五华区校级期末）第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐在市场出现热销．某商家第一次用33000元去购买吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客喜爱，很快售完，第二次又以40000元购进同款的吉祥物毛绒玩具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二次的1.1倍，且第二次比第一次多购进100套． （1）求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格． （2）商家以每套140元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出时，为快速销售决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于13200元，剩余的吉祥物毛绒玩具每套售价至少要多少元？ 六．三角形内角和定理（共8题） 21．（2023秋•深圳期末）如图，在△中，是角平分线，，垂足为，点在点的左侧，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•宿城区期末）已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则　 　． 23．（2023秋•九原区期末）如图，在中，，，是的角平分线，点是边上一点，且． 求：的度数． 24．（2023秋•莘县期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）当，时，　　，　　； （2），求，的度数； （3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 25．（2024春•西安期末）如图，在中，，，于点，与交于点． （1）求的度数； （2）若平分，平分，试说明． 26．（2023秋•邹平市校级期末）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是 　 　． 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是 　　 ； 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由． 27．（2023秋•台江区期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中，， （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①与大小关系是 　 　； ②与的数量关系是 　　 ． （2）小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况． ①求当时，如图4所示，的大小； ②直接写出的其余所有可能值． 28．（2023秋•东湖区校级期末）课本再现： （1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则 　 　，所以 　　．（填“”、“ ”或“” （2）实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：．”并作出了辅助线：作的平分线，在上截取，连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． （3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．并且他们还提出了一个新问题：如图3，在中，，那么，之间有怎样的数量关系？你的猜想是 　　（填“”、“ ”或“” ．请证明你的猜想． 七．三角形的外角性质（共3题） 29．（2023秋•萍乡期末）如图，在中，，是内角的平分线，是外角的平分线，是外角的平分线，以下结论不正确的是　　 A． B． C． D．平分 30．（2023秋•江门期末）如图：是的外角，平分，平分，且、交于点．若，则等于　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•新宾县期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，点，分别在，上运动（不与点重合）． 探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）①若，则　　； ②猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； （2）拓展延伸：如图2，若，，求的度数． （3）在图1的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图，　　（用含的代数式表示） 八．全等三角形的判定（共3题） 32．（2023秋•集贤县期末）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是　　 A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 33．（2023秋•商州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上运动（不与点重合），点在轴上运动（不与点重合），当以点、、为顶点的三角形与全等时，则点的坐标为　 　． 34．（2023秋•广安期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为 　 ． 九．直角三角形全等的判定（共2题） 35．（2023秋•九台区期末）如图，在△中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则　　． 36．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 十．全等三角形的判定与性质（共8题） 37．（2023秋•茌平区期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是　　 A．2 B．5 C．7 D．9 38．（2023秋•商丘期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是　 　． 39．（2023秋•新抚区期末）如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 　 　． 40．（2024春•道里区期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　　时，． 41．（2023秋•雨花区期末）如图，在△中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）线段的长度为何值时，△△？请说明理由； （3）在点的运动过程中，△的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 42．（2023秋•汉阳区校级期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； （2）过点作交于点，若，，求的长． 43．（2023秋•蓬莱区期末）如图，在中，，，点是内一点，，，点是延长线上一点，． （1）求的度数； （2）线段，，之间有什么数量关系？请说明理由． 44．（2023秋•颍泉区校级期末）在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． （1）如图1，当点在上时，填空： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 十一．全等三角形的应用（共2题） 45．（2024春•海州区校级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•遵义期末）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△△； （2）求两堵木墙之间的距离． 十二．角平分线的性质（共3题） 47．（2023秋•蜀山区期末）如图，已知，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 48．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在中，，是的平分线，于点，．则的面积为 　　． 49．（2023秋•西峰区期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则长是　　． 十三．等腰三角形的判定与性质（共3题） 50．（2023秋•东城区期末）如图，在△中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则△的周长为 　　． 51．（2023秋•宁安市期末）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则　　． 52．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． （1）请写出图1中线段，，之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于．那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 十四．等边三角形的判定与性质（共2题） 53．（2023秋•乳山市期末）在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． 54．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为 ． （1）当为何值时，△为等边三角形？ （2）当为何值时，△为直角三角形？ 十五．含30度角的直角三角形（共2题） 55．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当△为直角三角形时，的值为　　 A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒 56．（2024春•威海期末）如图，在△中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于　　 A．3 B． C．2 D． 十六．多边形内角与外角（共2题） 57．（2023秋•都匀市期末）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为　　 A． B． C． D． 58．（2024春•肥乡区期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若，，则　 　． 十七．轴对称-最短路线问题（共2题） 59．（2023秋•微山县期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 60．（2024春•城关区校级期末）如图，在中，，，，，点是上一点，连接，点到的距离等于的长，、分别是、上的动点，连接，，则的最小值是 　　． $$