第十二章三角形全等培优与拓展练习　2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十二章三角形全等培优与拓展练习人教版2024—2025学年八年级上册 一、典型例题 例1.已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． （1）求证：BE＝AD； （2）求∠BPQ的度数； （3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长． 例2.如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（b，0），且a，b满足（a+b）2+|b﹣3|＝0，△ABC是等边三角形， （1）求点A，点B的坐标； （2）如图，在△ABC的外角平分线上有一点Q： ①连接CQ，当CQ最小时，求BQ的长度； ②在x轴上有一动点P使得∠CPQ＝60°不变，当PB＝2时，求点Q的横坐标． 例3.在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足（a﹣b﹣2）2+|b﹣3|＝0． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）如图1，作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC，求C点坐标； （3）如图2，点M在x轴负半轴上，分别以AB、BM为腰；点B为直角顶点，在第一、第二象限作等腰Rt△ABD，等腰Rt△MBE，连接DE交y轴于点F，试判断2OF﹣OM是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 例4.等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上． （1）如图1，若A（0，4），B（1，0），求C点坐标； （2）如图2，如图，以OA为直角边在y轴的左边作等腰Rt△OAD，AO＝AD，连接CD，试问A点在运动过程中△AOB与△ADC面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出S△AOB：S△ADC．若变化，请说明理由． （3）如图3，点A（0，2），E在x轴负半轴上的动点，且S△ABE＝8．以AE为边在第二象限作等腰Rt△DAE，连接CD交y轴于P点，问：在运动过程中△OCD的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 例5．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 例6．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 例7.如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，点D是AB边的中点，且AB＝2，点C是射线OB上的动点，连接CD，以CD为边作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接BE． （1）BD的值为 　 　；∠OAB的度数为 　 　； （2）如图1，若点C在线段OB上，过点C作CF∥OA交AB于点F，求证：∠CBE＝45°； （3）如图2，当点C在OB的延长线上时， ①判断∠CBE的值是否发生改变，请说明理由； ②若EB平分∠DEC，BE与CD交于点P，求PE的值． 例8.如图，直线MN一侧有一等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂直分别为点EF，∠CAB的角平分AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，满足AG⊥BG，延长AC，BG交于点D． （1）证明：CE＝BF； （2）求证：AC+CO＝AB； （3）若BG＝2，求线段AO的长度． 例9.如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0）且a、b满足|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0．E为线段上一动点，∠BED＝∠OAB，BD⊥EC，垂足在EC的延长线上，试求： （1）判断△OAB的形状，并说明理由； （2）如图1，当点E与点A重合时，探究线段AC与BD的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，当点E在线段AB（不与A、B重合）上运动时，试探究线段EC与BD的数量关系，证明你的结论． 二、课后拓展 1.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第1题图 第2题图 2．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．若为的中线，，，求的取值范围 ． 4．在平面直角坐标系中，点，，，，，如果与全等，那么点的坐标为 ． 5．如图，中，是高，点是上一点，，，点，分别是，上的点，且． （1）求证：； （2）探索和的关系，并证明你的结论． 6．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝7，AC＝5，求AE，BE的长． 7．如图所示，已知，，，；求证： （1）； （2）. 8．如图，在四边形中，//，，，点为的中点，点从点出发沿线段以1cm/s的速度运动至点，点从点出发，沿线段以2cm/s的速度连续做往返运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）. （1）当时， . 时， （用含的代数式表示）. （2）当≌时，求出所有满足条件的值. （3）当、停止运动时，，求、两点之间距离的取值范围. 9．（1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，，，，分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 图1 图2 图3 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，.轴上点从点出发，以1个单位长度每秒的速度向轴正半轴方向运动，轴上点从点出发，以2个单位每秒的速度向轴负半轴方向运动，、两点同时出发，运动时间为. （1）求证：≌； （2）若，当取何值时，，并求出此时与的位置关系； （3）点，为中点，证明：在点、点运动过程中，始终有. 提示：若点与点的坐标分别为：，，则线段的中点坐标为： 学科网（北京）股份有限公司 $$