3.7 二次函数表达式的确定-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 7　 二次函数表达式的确定(必考) 要点 1 待定系数法求表达式(必考,多与二次函数性质、实际应用结合) (1)二次函数:形如 y= ①　 ax2+bx+c　 (a,b,c 为常数且 a≠0)的函数,其中②　 ax2 　 是二 次项,③　 bx　 是一次项,c 是常数项,a 是二次项系数,b 是一次项系数. (2)二次函数表达式的三种形式 ①一般式:y=ax2 +bx +c(a≠0); ②顶点式:y=a(x-h) 2 +k(a≠0),顶点是(h,k); ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ,其中 x1 和 x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标 (3)用待定系数法确定二次函数表达式 ①已给出表达式 y=ax2 +bx+c(a≠0)时,a,b,c 中未知几个,则需要从题设中找出几个已 知点坐标代入列方程(组),求出待定系数的值; ②未给出表达式,可根据题设中的已知信息,巧设表达式. 已知条件 设函数表达式类型 还需条件 顶点为原点 y=ax2 图象上一个已知点(非原点) 顶点在 y 轴上 y=ax2 +c 图象上两个已知点 顶点在 x 轴上 y=a(x-h) 2 图象上两个已知点 图象过原点 y=ax2 +bx 图象上两个已知点(非原点) 顶点为(h,k) y=a(x-h) 2 +k 图象上一个已知点(非顶点) 已知对称轴 x=h 或最值 k y=a(x-h) 2 +k 图象上两个已知点 已知点(x1,0),(x2,0) y=a(x-x1)(x-x2) 图象上一个已知点(非 x 轴交点) 任意三点 y=ax2 +bx+c 无 温馨提示:当已知点(x1,n),(x2,n)在抛物线上时,可先求对称轴 x= x1 +x2 2 ,再设顶点式. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标 系 xOy,已知每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 均在网格交点上. 第 1 题图 (1)以 O 为顶点,经过点 B 的二次函数 的表达式为　 　 　 　 ; (2)经过点 A,B,顶点在 x 轴上的二次函 数的表达式为　 y=x2-2x+1 　 ; (3)求经过点 B,C,且对称轴是 y 轴的二 次函数的表达式; 解:设 y = ax2 +c,将(2,1)、(-1,-1)代入可 得: 4a+c=1, a+c=-1,{ 解得 a= 2 3 , c=- 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴二次函数的表达式为 y= 2 3 x2- 5 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 (4)求经过点 A,B,C 的抛物线的表达式. 解:设 y= ax2+bx+c,将(2,1)、(0,1)、(-1,-1) 代入可得: 4a+2b+c=1 c=1 a-b+c=-1 ì î í ï ï ïï ,解得 a=- 2 3 b= 4 3 c=1 ì î í ï ï ï ï ï ï ,∴二次函数的表达 式为 y=- 3 3 x2+ 4 3 x+1. 【思考】利用图中的信息,你还能给出怎样 的条件求一条抛物线的函数表达式? 试写 一写,并计算. 解:答案不唯一,如经过 B 、C 两点,且关于直线 x= 3 2 对称的抛物线的表达式为 y2 =- 1 3 (x- 3 2 ) 2 +13 12 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 要点 2 二次函数图象的变换(8 年 8 考,但 2023 年与 2022 年未考,对称考查 6 次,平移考查 2 次) (1)二次函数图象的平移 平移特点:(ⅰ)开口大小与开口方向均④　 不变　 ,即二次项系数⑤　 不变　 ; (ⅱ)函数图象上每一个点的平移规律都相同. 平移方式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 简记 向左平移 m(m> 0)个单位长度 y = a ( x +m ) 2 + b ( x +m )+c y=a(x +m -h) 2 +k 向右平移 m(m> 0)个单位长度 y = a ( x -m ) 2 + b ( x -m )+c y=a(x -m -h) 2 +k 左右平移:x 左加 右减 向上平移 n ( n > 0)个单位长度 y=ax2 +bx+c +n y=a(x-h) 2 +k +n 向下平移 n ( n > 0)个单位长度 y=ax2 +bx+c -n y=a(x-h) 2 +k -n 上下 平 移: 等 式 右 边 整 体 上 加 下减 (2)二次函数图象的对称 变换前 解析式 y1 =ax2 +bx+c 或 y1 =a(x-h) 2 +k 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 图示 54 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 变换前后的图 象特征对比 开口方向:相反 对称轴:不变 顶点:纵反横不变 与 y 轴交点:纵相反 与 x 轴交点:不变 开口方向:不变 对称轴:相反 顶点:横反纵不变 与 y 轴交点:不变 与 x 轴交点:横相反 开口方向:相反 对称轴:相反 顶点:横纵均相反 与 y 轴交点:纵相反 与 x 轴交点:横相反 a,b,c(或 h,k) 的变化情况 a,b,c 符号均相反 h 不变,k 相反 a,c 不变,b 相反 k 不变,h 相反 a,c 相反,b 不变 h 与 k 均相反 变换后解析式 y2 = -ax2 -bx-c 或 y2 = -a(x-h) 2 -k y2 =ax2 -bx+c 或 y2 =a(x+h) 2 +k y2 = -ax2 +bx-c 或 y2 = -a(x+h) 2 -k 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 已知二次函数 y= x2 -2x 及其图象. 请在下面的网格坐标系中,根据提示画出对应的 函数图象,并写出平移后的函数解析式. 要求 向右平移 1 个单位 向左平移 1 个单位 向上平移 1 个单位 向下平移 1 个单位 图象 解析式 　 y=x2-4x+3　 　 y=x2-1　 　 y=x2-2x+1　 　 y=x2-2x-1　 3. 将抛物线 y= -2x2 +4x-1 沿 x 轴翻折,得到的抛物线的表达式为　 y= 2x2-4x+1　 ;沿 y 轴翻折得到的抛物线表达式为　 y=-2x2-4x-1　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P33 习题 64 ( -3,2),∴ S矩形MCOD = 3 × 2 = 6,∴ 四边形 MAOB 的面积 = S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD = 2+2+6 = 10. 第 4 题解图 命题点 7　 二次函数表达式的确定 要点归纳 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. (1)y= 1 4 x2 ; (2)y= x2 -2x+1 ; (3)解:设 y=ax2 +c,将(2,1)、( -1,-1)代入可得: 4a+c= 1, a+c= -1,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 二次函数的表达式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设 y = ax2 +bx+c,将(2,1)、(0,1)、( - 1,- 1) 代入 可得: 4a+2b+c= 1, c= 1, a-b+c= -1, ì î í ïï ïï 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , c= 1, ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 二次函数的表达式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 【思考】 解:答案不唯一,如经过 B、C 两点,且关于直线 x = 3 2 对称的 抛物线的表达式为 y= - 1 3 (x- 3 2 ) 2 + 13 12 . 2. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1. 3. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1. 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥减小　 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒y 轴　 􀃊􀁉􀁓左　 􀃊􀁉􀁔右 􀃊􀁉􀁕两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2　 (2) 3 2 例 3　 3　 例 4　 y2 <y3 <y1 例 5　 (1)3,0　 (2)4;0　 (3)3,0 对点练习 1. (1)如解图; 第 1 题解图 (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1) >;<;1; = ;> (2)3;>; = ;>;≤;b= -2a 命题点 9　 二次函数的图象性质应用 要点归纳 ①x<x1 或 x>x2 　 ②x1 <x<x2 例　 m2 -4m+3+c;m2 -2m+c;-2m+3;m> 3 2 ;m≥2; 3 2 <m<2; m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3.解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ -t2 +2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 10　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x-2) 2 +k(a ≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911