3.9 二次函数的图象性质应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 命题点 9　 二次函数的图象性质应用(8 年 3 考) 类型 1　 与抛物线象限特征有关的判断 (2020、2018. 10) 基本思路:含参表达式中,确定的系数“定形”;含参的系数“分类” 问题示例 基本信息提取 草图(画出符合的一种) 判断二次函数 y =ax2 -2ax+1(a> 1)的图象与 x 轴 交点位置 ( 2015. 10) 化为顶点式:　 　 　 　 　 　 ①常数项为 1→与 y 轴交于(0,1) ②二次项系数 a>1→开口向上 ③由顶点式→对称轴为直线 x= 　 　 　 ④顶点为　 　 　 　 ,在第　 　 　 象限→结合开口向上 的图象与 x 轴有　 　 　 个交点 ⑤由抛物线对称性可知,图象还经过定点(2,1) y = (x+1)(x-3) +c 化为一般式:　 　 　 　 　 化为顶点式:　 　 　 　 　 ①二次项系数 a = 1→开口向上,大小确定,是一组平 移得到的抛物线 ②对称轴为直线 x= 　 　 　 y= -(x-h) 2 +3 ①二次项系数 a= -1→开口向下,大小确定,是一组平 移得到的抛物线 ②顶点(h,3)→有最大值为 3(或顶点在直线 y= 3 上) ③图象与 x 轴有　 　 　 个交点 1. (2024 西安名校模拟)若抛物线 y = x2 -2x+m-1(m 是常数)的图象 只经过第一、二、四象限,则 m 的取值范围是 (　 　 　 ) A. m>1 B. m≥1 C. 1≤m<2 D. m≤2 【题眼解读】 从“图象只经过第一、二、四 象限”可得到的信息为: ①与 y 轴的交点在非负半 轴;②与 x 轴必有两个交点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2. 多解 ∙∙ 法　 (2024 交大附中模拟)若抛物线 y = x2 -2ax+a2 -2a+3(a 为 常数)与 x 轴有两个交点,则此抛物线的顶点位于 (　 　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【题眼解读】 “与 x 轴有两个交点”→对应 方程的 Δ>0→结合开口向上 得顶点在 x 轴下方 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3. 多解 ∙∙ 法　 (2020 陕西 10 题 3 分)在平面直角坐标系中,将抛物线 y=x2- (m-1)x+m(m>1)沿 y 轴向下平移 3 个单位,则平移后得到的抛物 线的顶点一定在 (　 　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【思维建模】 判断抛物线顶点位置的基本 思路:①看开口方向;②看对 称轴位置;③看与 x 轴交点 情况 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 分层作业本·陕西数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 2　 比较大小→找范围①一侧看增减②两侧比距离(2022. 8) 【思维模型———解题三步走】 第一步:先定开口方向,再定对称轴———目的是确定对称轴两边增减性; 第二步:排序,将已知横坐标按大小顺序标在数轴上,再将对称轴加在对应位置; 第三步:比大小. 在对称轴同侧的点,直接按增减性确定大小;在对称轴两侧的点,比较它们到对称 轴的距离,再确定大小. 例 1　 (2024 榆林二模改编)已知抛物线 y=ax2 -2ax+b(a<0)的图象上三个点的坐标分别为 A(3,y1),B( 2 ,y2),C( - 3 2 ,y3) . 如何判断 y1,y2,y3 的大小关系. 【教你解题】 第 1 步:确定基本信息 ①信息 1:由 a<0 得抛物线开口向下; ②信息 2:由解析式特征知对称轴为直线 x= 1. 可以获得的关键结论是:当 x>1 时,y 随 x 的增大而　 　 　 　 ;当 x<1 时,y 随 x 的增大而 　 　 　 　 ;该抛物线上,到对称轴距离越小的点的纵坐标越　 　 　 . 第 2 步:排序,在数轴上,画出 3, 2 ,1,- 3 2 的位置; 第 3 步:比大小. 由第 2 步可知,数　 　 　 和　 　 　 都在对称轴 x= 1 的 右侧,根据增减性可知它们对应的函数值　 　 　 >　 　 　 ;数　 　 　 到 对称轴 x= 1 的距离最大,它对应的函数值　 　 　 最　 　 　 ; ∴ y1,y2,y3 用“<”连接为　 　 　 　 . 4. (2022 陕西 8 题 3 分)已知二次函数 y = x2 -2x-3 的自变量 x1,x2,x3 对 应的函数值分别为 y1,y2,y3 . 当-1<x1 <0,1<x2 <2,x3 >3 时,y1,y2,y3 三者之间的大小关系是 (　 　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y2 <y3 <y1 C. y3 <y1 <y2 D. y2 <y1 <y3 5. 多解 ∙∙ 法　 (2024 福建)已知二次函数 y = x2 -2ax+a(a≠0)的图象经过 A( a 2 ,y1),B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是 (　 　 　 ) A. 可以找到一个实数 a,使得 y1 >a B. 无论实数 a 取什么值,都有 y1 >a C. 可以找到一个实数 a,使得 y2 <0 D. 无论实数 a 取什么值,都有 y2 <0 画图区 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6. (2024 西安名校模拟)已知二次函数 y = ax2 -2ax+6(a>0)的图象经 过A( t-2,y1),B( t+1,y2)两点,且 y1 <y2,则当 x 取满足条件的 t 的最 小整数时,函数值 y 等于 (　 　 　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【思维模型】 先确定 A 关于对称轴的对称 点 A′,再结合 y1 <y2 得 xA′与 xB 的大小关系进而求出 t. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 变式 (2024 西安三中九模)在平面直角坐标系中,点 A(x1,y1 ),B(x2,y2 ) (x1 <x2)是抛物线 y=ax2 -2x+a(a>0)上的两点,且满足当 x1 +x2 = 4 时,都有 y1 >y2,则 a 的取值范围是 (　 　 　 ) A. a> 1 4 B. 1 4 <a< 1 2 C. a> 1 2 D. 0<a< 1 2 画图区 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 3　 二次函数与方程、不等式的关系(交点问题) 例 2　 抛物线 y= x2 +2x+k 与 x 轴只有一个交点. “话外音”:关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k= 0 的根的判别式的值为 0. 即　 　 　 　 = 0,则 k 的值为　 　 　 　 . 例 3　 关于 x 的方程 x2 +2x-3-m= 0 的解为 x1,x2(x1 <x2) . “话外音”:抛物线 y= 　 　 　 　 　 与直线 y= 　 　 　 有两个不同的交点,且交点的横坐标分别 为 x1,x2 . 例 4　 关于 x 的方程 x2 +2x-3-m= 0 在 1<x<4 的范围内有解. “话外音”:直线 y= 　 　 　 和一段抛物线 y= 　 　 　 　 　 (1<x<4)有交点. 例 5　 抛物线 y= x2 +2x+k 与直线 y= 1 有公共点. “话外音”:关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k= 1 的根的判别式的值大于等于 0. 即　 　 　 　 　 ,则 k 的取值范围是　 　 　 . 例 6　 (2018 陕西副题 10 题)已知抛物线 y= x2 +(m+1)x+m,当 x<-2 时,y 的值随 x 的增大而减小. “话外音”:抛物线的对称轴在直线 x=-2 的　 　 　 　 侧,即可得m的不等式为　 　 　 　 　 . 7. (2024 长春)若抛物线 y = x2 -x+c( c 是常数)与 x 轴没有交点,则 c 的 取值范围是　 　 　 　 . 8. 易错 ∙∙ 　 (2023 泸州)已知二次函数 y = ax2 -2ax+3(其中 x 是自变量), 当 0<x<3 时对应的函数值 y 均为正数,则 a 的取值范围为(　 　 　 ) A. 0<a<1 B. a<-1 或 a>3 C. -3<a<0 或 0<a<3 D. -1≤a<0 或 0<a<3 9. (2023 衡阳)已知 m>n>0,若关于 x 的方程 x2 +2x-3-m= 0 的解为 x1, x2(x1 <x2),关于 x 的方程 x2 +2x-3-n = 0 的解为 x3,x4(x3 <x4 ) . 则下 列结论正确的是 (　 　 　 ) A. x3 <x1 <x2 <x4 B. x1 <x3 <x4 <x2 C. x1 <x2 <x3 <x4 D. x3 <x4 <x1 <x2 10. (2024 西工大五模)二次函数 y= x2 +bx+3 的图象过点 A(2,3),若关于 x 的一元二次方程 x2 +bx = t-4( t 为实数)在-1<x<4 的范围内有实 数根,则 t 的取值范围是 (　 　 　 ) A. 6<t<11 B. 2≤t<11 C. 3≤t<12 D. 3≤t<7 11. 已知平面直角坐标系中有两点 A(1,-1),B(3,-1),若抛物线 y = -x2 +mx 与线段 AB 有交点,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 画图区 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 分层作业本·陕西数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 4　 区间最值问题→关键是分类讨论 【思维模型】遇到涉及自变量取值范围的最值问题,首先确定对称轴,然后按“①对称轴在取值范围 左侧”“②对称轴在取值范围中间”“③对称轴在取值范围右侧”三种情况讨论. 例 7　 (2024 榆阳区三模)已知二次函数 y= -x2 +2mx-3(m>0)在自变量-1≤x≤3 时,其对应的函数 值 y 的最大值为 1,如何求 m 的值? 【定性分析】由 y= -x2 +2mx-3 可知抛物线开口向下,对称轴为直线 x=m,在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小. 【定量分析】 ∵ 在-1≤x≤3 时,函数有最大值为 1,且 m>0>-1, ∴ 分两种情况讨论: ①当对称轴 x=m 在-1≤x≤3 时,函数在 x= 　 　 　 处取最大值 1; ②当对称轴在-1≤x≤3 右侧时,函数在 x= 　 　 　 处取最大值 1. 【自主解答】 12. (2024 榆林名校模拟)当-2≤x≤1 时,二次函数 y = -(x-m) 2 +5 有最 大值 4,则实数 m 的值为 (　 　 　 ) A. -3 B. -1 或 2 C. 2 或-3 D. 2 或-3 或-1 13. (2024 西安名校模拟)二次函数 y=mx2 +3mx-2m2 +4(其中 x 是自变量 且 m≠0),当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大,且-3≤x≤2 时,y 的最 大值是-8,则 m 的值为 (　 　 　 ) A. -1 B. -6 C. -1 或 6 D. 6 14. (2024 西安名校模拟)已知二次函数 y = x2 -2ax+a-1,若对于-2≤x≤ a 范围内的任意自变量 x,都有 y≤a+1,则 a 的取值范围是 (　 　 　 ) A. a≤-1 B. -2≤a≤-0. 5 C. a≥-1 D. -2≤a≤-1 15. (2024 榆林名校模拟)已知抛物线 y = 2x2 -4x+3 在自变量 x 的值满足 m≤x≤m+2 时,与其对应的函数值 y 的最大值为 9,则 m 的值为 (　 　 　 ) A. -1 或 5 B. -1 或 2 C. -1 或 1 D. 1 或 4 画图区 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 0,∴ 抛物线的开口向下. 故 A 选项不符合题意. ∵ y = -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小. 故 B 选项不符合题意,令 y = 0 得,-x2 +2x = 0,解得 x1 = 0,x2 = 2,∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(2,0) . 又∵ 抛 物线的顶点坐标为(1,1),∴ 抛物线经过第一、三、四象 限. 故 C 选项不符合题意. ∵ 二次函数解析式为 y = -( x- 1) 2 +1,∴ 抛物线的对称轴为直线 x = 1. 故 D 选项符合题 意. 故选:D. 解法 2:利用表格中的点画草图如解图,由图象可知 A、B、 C 错误,D 选项正确. 第 5 题解图 6. C　 【解析】由表中数据知,抛物线对称轴为直线 x = -1+3 2 = 1,∴ m= 0,故①错误,不符合题意;抛物线的顶点坐标是 (1,-2),有最小值,故②错误,不符合题意;∵ 抛物线开口 向上,对称轴为直线 x= 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减 小,故③正确,符合题意;∵ 抛物线与 x 轴交点坐标为(0, 0)和(2,0),∴ 当 y>0 时,x 的取值范围是 x<0 或 x>2,故 ④正确,符合题意. 故选 C. 类型 2 ①上,>;②左 , <, >,同;③ 下 , < ;④ 两,>;⑤ >,>;⑥ < ,< ①下 ,<;②1,1,2a+b= 0 ;③上 ,> ;④两 ,> ;⑤ -1<m<0 ①下, <;②( -1,0),(3,0),1, 1, 2a+b = 0;③上 ,> ;④ 两, > ①上,>;②(0,0),(4,0),2,2 ,4a+b = 0;③原点, = ;④ 两, > 7. D 8. B　 【解析】由图象得,抛物线与 y 轴的交点,可得 c<-1,故 A 错误;当 x= -3 时,y = 9a-3b+c>0,即 9a+c>3b,故 B 正 确;∵ 对称轴为直线 x = -2+4 2 = 1,∴ - b 2a = 1,∴ 2a+b = 0, 故 C 错误;∵ a>0,对称轴在 y 轴的右侧,∴ a 与 b 异号,∴ b<0,故 D 错误;故选:B. 9. C　 【解析】①∵ 抛物线开口向上,-1<x1 <0,2<x2 <3,∴ 当 x= -1 时,y = a-b+c>0,故①不符合题意;②∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 过点 C(0,-2),∴ 函数的最小值 y<-2,∴ ax2 +bx +c= -2 有两个不相等的实数根,∴ 方程 ax2 +bx+c+2 = 0 有 两个不相等的实数根. 故②符合题意;③∵ -1<x1 <0,2<x2 <3,∴ 抛物线的对称轴为直线 x = - b 2a ,且 1 2 <- b 2a < 3 2 ,∴ 1<- b a <3,又∵ a>0,∴ -3a<b<-a,∴ a+b<0,故③不符合 题意;④∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c 过点 C(0,-2),∴ c= -2,∵ 当 x= -1 时,y=a-b+c>0,即 3a-3b+3c>0,当 x = 3 时,y = 9a+3b+c>0,∴ 12a+4c>0,∴ 12a>8,∴ a> 2 3 ,故④符合题 意;⑤∵ -1<x1 <0,2<x2 <3,∴ x2 -x1 >2,由根与系数的关系 可得:x1 +x2 = - b a ,x1x2 = c a ,∴ b2 -4ac 4a2 = 1 4 ×( - b a ) 2 - c a = 1 4 (x1 +x2 ) 2 -x1x2 = 1 4 [( x1 +x2 ) 2 - 4x1 x2 ] = 1 4 ( x1 -x2 ) 2 > 1 4 ×4 = 1,∴ b2 -4ac 4a2 > 1,∴ b2 - 4ac> 4a2 ,故⑤符合题意;综 上,②④⑤正确,正确个数有 3 个. 命题点 9　 二次函数的图象性质应用 类型 1 y=a(x-1) 2 +1-a;1 ;(1,1-a);四;两;y = x2 -2x-3+c;y = (x-1) 2 +c-4;1 ;两 1. C　 【解析】∵ y= x2 -2x+m-1 = ( x-1) 2 +m-2,∴ 抛物线开 口向上,对称轴为直线 x= 1,顶点为(1,m-2),∵ 抛物线 y = x2 -2x+m-1(m 是常数)的图象只经过第一、二、四象限, ∴ m-1≥0, m-2<0,{ 解得 1≤m<2,故选:C. 2. D　 【解析】解法 1:∵ 抛物线 y = x2 -2ax+a2 -2a+3(a 为常 数)与 x 轴有两个交点,∴ Δ = 4a2 -4(a2 -2a+3) >0. ∴ a> 3 2 . ∴ -2a+3<0. ∵ y = x2 -2ax+a2 -2a+3 = ( x-a) 2 -2a+3, ∴ 抛物线的顶点坐标是(a,-2a+3) . ∴ 此抛物线的顶点位 于第四象限. 故选:D. 解法 2:提示:由抛物线与 x 轴有两个交点可得 Δ>0,解得 a> 3 2 ,易得抛物线对称轴为直线 x=a;当 x=a 时,y= -2a+ 3<0,∴ 可画草图如解图,可得抛物线的顶点在第四象限. 第 2 题解图 3. D　 【解析】解法 1:将抛物线 y = x2 -(m-1) x+m 向下平移 3 个单位得 y= x2 -(m-1)x+m-3,由 m>1 得对称轴为直线 x= m-1 2 >0 在 y 轴右侧,∵ (m-1) 2 -4(m-3) = m2 -2m+1- 4m+12 = (m-3) 2 +4>0,∴ 抛物线与 x 轴有两个交点,∵ 抛 物线开口向上,∴ 抛物线顶点在 x 轴下方,结合对称轴可 知,顶点一定在第四象限. 解法 2:特殊值. 由 m>1 可令 m= 3,得 y= x2 -2x+3,向下平 移 3 个单位得 y= x2 -2x,顶点(1,-1)在第四象限. 解法 3:y= x2 -(m- 1) x+m 向下平移 3 个单位,得 y = x2 - (m - 1 ) x + m - 3, - b 2a = - -(m-1) 2 = m -1 2 , 4ac-b2 4a = 4(m-3)-(m-1)2 4 = -(m-3) 2 -4 4 , 当 m > 1 时, m - 1 > 0, ∴ m-1 2 >0, -(m-3) 2 -4 4 = -(m -3) 2 4 -1≤-1,∴ 顶点在第四 象限. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 类型 2 例 1　 减小;增大; 大; 2 ;3 ;y2 ; y1 ;- 3 2 ;y3 ;小;y3 <y1 <y2 4. D　 【解析】抛物线 y = x2 -2x-3 的开口向上,对称轴是直 线 x= 1. ∵ -1<x1 <0,1<x2 <2,x3 >3,∴ 1<1-x1 <2,0<x2 -1< 1,x3 -1>2,∴ x2 -1<1-x1 <x3 -1,∴ y2 <y1 <y3 . 5. C　 【解析】解法 1:∵ 点 A( a 2 ,y1 )在二次函数 y= x2 -2ax+ a(a≠0)的图象上,∴ y1 = ( a 2 ) 2 -2a· a 2 +a,∴ y1 -a= - 3 4 a2 <0,∴ y1 <a,A,B 均错;∵ 点 B(3a,y2 )在二次函数 y = x2 -2ax+a(a≠0)的图象上,∴ y2 = (3a) 2 - 2a·3a+a = 3a2 + a,令 3a2 +a= 0 得 a= 0 或 a= - 1 3 ,∴ 当- 1 3 <a<0 时,3a2 + a<0,即存在 a 使得 y2 <0,则 C 正确,D 错误. 解法 2:由二次函数 y= x2 -2ax+a(a≠0)可知,对称轴为直 线 x=a,与 y 轴交点为(0,a),当 a>0 时,画出抛物线的图 象如解图①,此时 y1 <a,y2 > 0;当 a< 0 时,如解图②,解图 ③,由图可知,y1 < a,y2 可能大于 0,或者等于 0 或者小 于 0. 图① 　 图② 图③ 第 5 题解图 6. C　 【解析】由二次函数 y= ax2 -2ax+6(a>0)可知,抛物线 开口向上,对称轴为直线 x = 1,∵ 点 A( t- 2,y1 ),B( t+ 1, y2 )在抛物线上,且 y1 <y2 ,∴ 点 A( t- 2,y1 )关于对称轴直 线 x= 1 的对称点 A′必然在点 B 的左侧,即 1×2-( t-2)= 4 -t<t+1,解得 t> 3 2 ,∴ t 的最小整数值为 2,当 x = 2 时,y = 4a-4a+6 = 6. 变式D　 【解析】由抛物线 y = ax2 - 2x+a(a> 0)可知,开口向 上,对称轴为直线 x = 1 a ,点 A( x1 ,y1 )关于直线 x = 1 a 的 对称点 A′为( 2 a -x1 ,y1 ),∵ y1 >y2 ,∴ 点 A′在点 B 的右 侧,∴ x2 < 2 a -x1 ,即 2 a >x1 +x2 = 4,解得 a< 1 2 ,∴ a 的取值 范围是 0<a< 1 2 . 类型 3 例 2　 4-4k ,1.例 3　 x2 +2x-3,m.例 4　 m, x2 +2x-3. 类型 4 例 5　 4-4(k-1)≥0, k≤2. 　 例 6　 右,- m+1 2 ≥-2 . 7. c> 1 4 . 8. D　 【解析】令 x= 0,则 y = 3,∴ 二次函数与 y 轴的交点坐 标为(0,3),二次函数的对称轴是直线 x = - -2a 2a = 1,当 a> 0,Δ<0 时,满足当 0<x<3 时对应的函数值 y 均为正数,∴ Δ= ( -2a) 2 -4a×3<0,解得 0<a<3;当 a<0 时,令 x = 3,则 9a-6a+3≥0,解得 a≥- 1,∴ - 1≤a< 0,综上,a 的取值范 围为-1≤a<0 或 0<a<3. 9. B　 【解析】关于 x 的方程 x2 +2x-3-m= 0 的解为抛物线 y = x2 +2x-3 与直线 y=m 的交点的横坐标,关于 x 的方程 x2 +2x-3-n= 0 的解为抛物线 y = x2 +2x-3 与直线 y = n 的交 点的横坐标,如解图可知,x1 <x3 <x4 <x2 ,故选:B. 第 9 题解图 10. C　 【解析】由题意,将 A(2,3)代入二次函数 y = x2 +bx+ 3,∴ 4+2b+3 = 3. ∴ b= -2. ∴ 抛物线的解析式为 y = x2 -2x +3,对称轴为直线 x= 1. ∵ 方程 x2 -2x= t-4,即 x2 -2x+3 = t-1 在-1<x<4 的范围内有实数根,又当 x = -1 时,y = 6; 当 x = 4 时,y = 11;当 x = 1 时,y = 2,∴ 2≤t-1<11,∴ 3≤t <12. 11. 0≤m≤ 8 3 　 【解析】当抛物线经过点 A 时,将点 A(1,- 1)代入 y= -x2 +mx 解得 m = 0,当抛物线经过点 B 时,将 点 B(3,-1)代入 y = -x2 +mx 解得 m = 8 3 ,∴ m 的取值范 围是 0≤m≤ 8 3 . 类型 5 ①m;②3. 解:当 0<m≤3 时,x=m 时函数有最大值 1, 即-m2 +2m·m-3 = 1,解得 m= 2 或 m= -2(舍去); 当 m>3 时,x= 3 时函数有最大值 1, ∴ -9+2m·3-3 = 1,解得 m= 13 6 (舍去), 综上可知,m 的值为 2. 12. C　 【解析】二次函数对称轴为直线 x=m,①m<-2 时,x = -2 取得最大值,-( -2-m) 2 +5 = 4,解得 m= -3;②-2≤m ≤1 时,x=m 取得最大值为 5,不合题意;③m>1 时,x = 1 取得最大值,-(1-m) 2 +5 = 4,解得 m= 2. 故选:C. 13. D　 【解析】∵ 二次函数 y=mx2 +3mx-2m2 +4,∴ 该函数的 对称轴为直线 x= - 3m 2m = -1. 5,∵ 当 x≥1 时,y 随 x 的增 大而增大,∴ m>0,又∵ 当-3≤x≤2 时,y 的最大值为-8, ∴ x= 2 时,y= -8,即 4m+6m-2m2 +4 = -8,解得 m1 = 6,m2 = -1(舍去),故选:D. 14. B　 【解析】∵ y= x2 -2ax+a-1 = ( x-a) 2 -a2 +a-1,∴ 抛物 线的对称轴是直线 x = a. 又抛物线开口向上,∴ 当 x≤a 时,y 随 x 的增大而减小. 又-2≤x≤a 范围内的任意自变 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 量 x,都有 y≤a+1,∴ ( -2) 2 -2a×( -2) +a-1≤a+1. ∴ a ≤-0. 5. 又 a≥-2,∴ -2≤a≤-0. 5. 故选:B. 15. C　 【解析】∵ 抛物线为 y= 2x2 -4x+3 = 2( x-1) 2 +1,∴ 抛 物线开口向上,当 x = 1 时,y 取最小值为 1;当 x< 1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大. ①当 m+2≤1 时,即 m≤-1,∴ 当 x =m 时,y 取最大值为 2m2 - 4m+3 = 9. ∴ m= -1 或 m= 3(舍去) . ②当 m≥1 时,∴ 当 x =m+2 时,y 取最大值为 2(m+2) 2 -4(m+2) +3 = 9. ∴ m= -3(舍去)或 m= 1. ③当 m<1<m+2 时,即-1<m<1,∴ 当 x=m 或 x=m+2 时,y 取最大值为 2m2 -4m+3 = 9 或 2(m+ 2) 2 -4(m+2) +3 = 9. ∴ m= -1 或 m= 3 或 m= -3 或 m= 1, 均不符合题意. 综上,m= -1 或 1. 故选:C. 命题点 10　 二次函数的实际应用 能力点 1. (40,0);对称轴;(20,16);a(x-20) 2 +16 2. (0,0. 7) ; (5,3. 2);a(x-5) 2 +3. 2 1.解:(1)由题意知,顶点 M(9,9),E(18,0), 可设该抛物线的函数表达式为 y=a(x-9) 2 +9, ∵ 抛物线过原点 O(0,0), ∴ a(0-9) 2 +9 = 0, 解得 a= - 1 9 , ∴ 该抛物线的函数表达式为 y = - 1 9 ( x- 9) 2 + 9 = - 1 9 x2 +2x; (2)设点 A 的坐标为 (m,- 1 9 m2 +2m),则 OB =m,AB =DC = - 1 9 m2 +2m, 根据抛物线的轴对称性质,可得 OB=CE=m, 故 BC=AD= 18-2m, ∴ AB+AD+DC= - 1 9 m2 +2m+18-2m- 1 9 m2 +2m = - 2 9 m2 + 2m+18 = - 2 9 (m- 9 2 ) 2 + 45 2 , ∵ - 2 9 <0, ∴ 当 OB =m = 9 2 米时,三根“光带”长度之和的最大值为 45 2 米. 2.解:(1) v0 10 【解法提示】∵ -5<0,∴ 当 t = - b 2a = v0 10 时,离地 面的高度最大. 故答案为: v0 10 ; (2)当 t= v0 10 时,h= 20. 即-5×( v0 10 ) 2 +v0 × v0 10 = 20. 解得:v0 = 20. 答:小球被发射时的速度是 20 m / s; (3)小明的说法不正确. 理由如下: 由(2)得:h= -5t2 +20t. 当 h= 15 时,15 = -5t2 +20t. 解得:t1 = 1,t2 = 3. ∵ 3-1 = 2(s), ∴ 小明的说法不正确. 3.解:(1)由题意,∵ AO= 17 m, ∴ A(0,17) . 又 OC= 100 m,缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD = 2 m, ∴ 抛物线的顶点 P 为(50,2) . 故可设抛物线为 y=a(x-50) 2 +2. 又将点 A 的坐标代入抛物线可得, ∴ 2500a+2 = 17. ∴ a= 3 500 . ∴ 缆索 L1 所在抛物线为 y= 3 500 (x-50) 2 +2; (2)由抛物线的对称性可知,点 E 关于 y 轴的对称点 E″在 抛物线 L1 上,且 yE = yE″, ∴ 令 y= 2. 6, ∴ 2. 6 = 3 500 (x-50) 2 +2. 解得 x= 40 或 x= 60(舍), ∴ FO 的长为 40 m. 4.解:(1) 4 3 【解法提示】当 AB = 1 m 时,则 BC = 6-2 3 = 4 3 (m),∴ 窗框 ABCD 的面积= 1× 4 3 = 4 3 (m2 ); (2)设 AB 长为 x m 时,窗框 ABCD 的面积为 y m2 ,则 y= x(2-x)= -(x-1) 2 +1, ∵ a= -1<0, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 1, 即当 AB 长为 1 m 时,窗框 ABCD 的面积最大,最大为 1 m2 . 5.解:(1)设 AB 的长为 x m,则 BC 的长为(60-3x)m, 根据题意得:x(60-3x)= 252, 解得 x= 6 或 x= 14, 当 x= 6 时,BC= 60-18 = 42>39,舍去; 当 x= 14 时,BC= 60-42 = 18<39,满足题意, ∴ 花园面积可能是 252 m2 ,此时边 AB 长为 14 m; (2)设 AB 的长为 x m,菜园面积为 y m2 , 由题意得:y= x(60-3x)= -3x2 +60x= -3(x-10) 2 +300, ∵ -3<0, ∴ 当 x<10 时,y 随 x 的增大而增大, ∵ x≤8, ∴ 当 x= 8 时,y 最大值为 288. 答:该菜园面积的最大值为 288 m2 . 6.解:(1)根据题意得:(x-8)( -5x+150)= 425, 解得 x= 13 或 x= 25(不符合题意,舍去), ∴ 每件消毒用品的售价为 13 元; (2)根据题意得:w= (x-8) ( -5x+150)= -5x2 +190x-1200 = -5(x-19) 2 +605, ∵ -5<0,8≤x≤15,且 x 为整数, ∴ 当 x= 15 时,w 取最大值-5×(15-19) 2 +605 = 525(元), ∴ 当每件消毒用品的售价为 15 元时,每天的销售利润最 大,最大利润是 525 元. 7.解:(1)设 y= kx+b(k≠0), 将(55,150),(65,120)代入得: 55k+b= 150, 65k+b= 120,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21