3.6 与反比例函数表达式有关的计算-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 命题点 6　 与反比例函数表达式有关的计算(8 年 6 考) 能力点 1　 待定系数法求函数表达式(8 年 4 考) 1. (2024 重庆 A 卷)已知点( -3,2)在反比例函数 y= k x (k≠0)的图象上,则 k 的值为 (　 　 　 ) A. -3　 　 　 　 　 　 　 B. 3　 　 　 　 　 　 　 C. -6　 　 　 　 　 　 　 D. 6 变式 1-1 (2022 陕西 12 题改编)已知点 A 关于 y 轴的对称点 A′的坐标为( -2,1),若函数 y= k x 的图 象经过点 A,则 k= 　 　 　 . 变式 1-2 (2020 陕西 13 题改编)已知点 A( -2,1),B(3,2),C( -6,m)分别在三个不同的象限. 若一 个反比例函数的图象经过其中两点,则该反比例函数的表达式为　 　 　 　 . 变式 1-3 (2024 山西改编)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速 度 v(m / s)是载重后总质量 m( kg)的反比例函数. 已知一款机器狗载重后总质量 m = 60 kg 时,它的最快移动速度 v = 6 m / s;当其载重后总质量 m = 90 kg 时,它的最快移动速度 v = 　 　 　 m / s. 2. (2024 西安名校模拟)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 C 坐标为( -3,0),顶点 D 坐标 为(0,4),点 E 为菱形的对称中心. 若反比例函数 y= k x (k≠0)恰好经过点 E,则 k 的值为　 　 　 . 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 3. (2024 江西改编)如图,在 Rt△AOB 中,AB=OB,∠ABO= 90°,点 A 的坐标为(4,0),若一个反比例函 数的图象经过点 B,则这个反比例函数的表达式为　 　 　 　 . 能力点 2　 利用 k 的几何意义求表达式(2023. 12) 4. 如图,点 A 是反比例函数 y= k x 的图象上一点,AC⊥x 轴于点 C,点 B 是 OC 的中点,若 S△ABC = 1,则 该反比例函数的表达式为　 　 　 　 . 5.多解法 ∙∙∙ 　 (2024 齐齐哈尔)如图,反比例函数 y= k x (x<0)的图象经过平行四边形 ABCO 的顶点 A,OC 在 x 轴上,若点 B( -1,3),S▱ ABCO = 3,则实数 k 的值为 　 　 　 . 13 分层作业本·陕西数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 1　 反比例函数与一次函数综合 6. (2024 安徽)已知反比例函数 y = k x (k≠0)与一 次函数 y= 2-x 的图象的一个交点的横坐标为 3,则 k 的值为 (　 　 　 ) A. -3　 　 　 B. -1　 　 　 C. 1　 　 　 D. 3 7. 已知一次函数 y = -2x+4 的图象与 x 轴交于点 A,将点 A 向下平移 2 个单位后恰好落在反比 例函数 y= k x 的图象上,则 k= 　 -4　 . 8. (2024 陕师大附中八模)若直线 y=ax(a≠0)与双 曲线 y = - 3 x 交于 ( x1, y1 )、 ( x2, y2 ) 两点,则 -2x1y2 +5x2y1 的值为　 9　 . 9. (2024 榆林名校模拟)如图,一次函数 y = x+2 的 图象与反比例函数 y = k x 的图象在第一象限内 交于 A 点,并与 x 轴,y 轴分别交于点 D,C,若 AC ∶CD= 1 ∶2,则 k 的值为　 3　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,在平面直角坐标系中,过原点 O 的直线交 反比例函数 y= k x 的图象于 A,B 两点,BC⊥y 轴 于点 C,△ABC 的面积为 6,则 k 的值为　 -6　 . 类型 2 　 反比例函数与几何图形综合(2023. 12、2019. 13) 11. 多解法 ∙∙∙ 　 (2023 陕西 12 题 3 分)如图,在矩形 OABC 和正方形 CDEF 中,点 A 在 y 轴正半轴 上,点 C,F 均在 x 轴正半轴上,点 D 在边 BC 上,BC= 2CD,AB= 3. 若点 B,E 在同一个反比 例函数的图象上,则这个反比例函数的表达 式是 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 变式题图 变式 (2024 西安名校模拟)如图,正方形 ABCD 的顶 点 A、B 在 y 轴的正半轴上,点 E 在 AD 边上, 且 AD= 3AE,反比例函数 y = k x (x>0)的图象 经过点 C、E,若 AD= 3,则 k 的值为　 　 　 　 . 12. (2024 宜宾)如图,等腰三角形 ABC 中,AB = AC,反比例函数 y = k x ( k≠0) 的图象经过点 A、B 及 AC 的中点 M,BC∥x 轴,AB 与 y 轴交 于点 N. 则AN AB 的值为 (　 　 　 ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 2 5 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 多解法 ∙∙∙ 　 (2024 扬州)如图,在平面直角坐标系 中,点 A 的坐标为(1,0),点 B 在反比例函数 y= k x ( x > 0) 的图象上, BC ⊥ x 轴于点 C, ∠BAC= 30°,将△ABC 沿 AB 翻折,若点 C 的 对应点 D 落在该反比例函数的图象上,则 k 的值为　 2 3 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 解法 2:∵ 反比例函数 y= k x (k<0),∴ 反比例函数的图象 在第二、四象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, ∵ 对于一个正数 m,当自变量 x 满足 m≤x≤2m 时,函数 y 的最大值为 a,∴ 当 m≤x≤2m 时,2a≤y≤a,a<0,根据反 比例函数图象关于原点中心对称的性质可知,当-2m≤x ≤-m 时,-a≤y≤-2a,∴ 当-2m≤x≤-m 时,函数 y 有最 小值-a,最大值-2a. 7. A　 【解析】∵ 反比例函数 y= 4 x 中,k= 4>0,∴ 此函数图象 的两个分支分别位于第一、三象限,且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小. A. 当 t<-4 时,t+4<0,∵ t<t+4,∴ y2 <y1 <0, 原结论正确,符合题意;B. 当-4< t<0 时,点 P( t,y1 )在第 三象限,点 Q( t+4,y2 )在第一象限,∴ y1 <0,y2 >0,∴ y1 <0< y2 ,原结论错误,不符合题意;C. 由 B 知,当-4<t<0 时,y1 < 0<y2 ,原结论错误,不符合题意;D. 当 t> 0 时,t+ 4> 0,∴ P ( t,y1 ),Q( t+4,y2 )在第一象限,∵ t<t+4,∴ y1 >y2 >0,原结 论错误,不符合题意. 命题点 6　 与反比例函数表达式有关的计算 1. C　 变式 1-1　 2　 变式 1-2　 y= 6 x 　 【解析】∵ 点 A( -2,1),B(3,2),C( -6, m)分别在三个不同的象限,点 A( -2,1)在第二象限,∴ 点 C( -6,m)一定在第三象限,∵ B(3,2)在第一象限,反 比例函数 y= k x (k≠0)的图象经过其中两点,∴ 反比例 函数 y= k x (k≠0)的图象经过 B(3,2),C( -6,m),∴ k = 3×2 = 6,∴ 该反比例函数的表达式为 y= 6 x . 变式 1-3　 4　 【解析】设反比例函数解析式为 v = k m ( k≠ 0),∵ 机器狗载重后总质量 m = 60 kg 时,它的最快移动 速度 v= 6 m / s,∴ k= 60×6 = 360,∴ 反比例函数解析式为 v= 360 m ,∴ 当 m= 90 kg 时,v= 360 90 = 4(m / s) . 2. -8　 【解析】∵ 点 C 坐标为( -3,0),点 D 坐标为(0,4),∴ OC= 3,OD = 4,∴ CD = 　 OC2 +OD2 = 5,在菱形 ABCD 中, BC=CD= 5,∴ OB=BC+OC = 5+3 = 8,∴ B( -8,0),∵ 点 E 为菱形 ABCD 的对称中心,∴ E( -4,2),∵ 反比例函数 y = k x (k≠0)的图象恰好经过点 E,∴ k= -4×2 = -8. 3. y= 4 x 　 【解析】如解图,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 M, ∵ 点 A 坐标为(4,0),∴ OA = 4. 又∵ 在 Rt△AOB 中,AB = OB,∠ABO= 90°,∴ BM=OM= AM = 1 2 OA = 2,∴ 点 B 的坐 标为(2,2) . 设这个反比例函数的表达式为 y= k x ( k≠0), 则 k= 2×2 = 4,∴ 反比例函数表达式为 y= 4 x . 第 3 题解图 4. y= 4 x 5. -6　 【解析】解法 1:如解图①,延长 AB 交 y 轴于点 D,分 别过点 A,B 作 x 轴的垂线,垂足为 E,F,∵ 点 B( -1,3), ∴ S矩形BDOF = 1× 3 = 3,∵ S矩形ABFE = S▱ABCO = 3,∴ S矩形ADOE = 6, ∵ 点 A 在反比例函数 y= k x ( x<0)的图象上,且点 A 在第 二象限,∴ k= -6. 解法 2:如解图②,延长 AB 交 y 轴于点 D,∵ B( - 1,3), S▱ ABCO = 3,∴ OC·OD= 3OC= 3,∴ OC = 1,∵ 四边形 ABCO 是平行四边形,∴ AB =OC = 1,∴ AD = 2,∴ A( -2,3),∵ 点 A 在反比例函数 y= k x (x<0)的图象上,∴ k= -6. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6. A　 7. -4 8. 9　 【解析】∵ 正比例函数图象与反比例函数图象都关于 原点 O 成中心对称,∴ 点(x1 ,y1 )与点( x2 ,y2 )关于原点 O 对称,∴ x2 = -x1 ,y2 = -y1 ,∴ -2x1y2 +5x2y1 = -2x1 ·( -y1 ) + 5( -x1 )y1 = -3x1y1 ,将点( x1 ,y1 )代入 y = - 3 x ,得 x1y1 = - 3,∴ -2x1y2 +5x2y1 = -3×( -3)= 9. 9. 3　 【解析】如解图,过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E,在 y = x+2 中,令 y= 0,得 x = - 2,∴ D( - 2,0),令 x = 0,得 y = 2,∴ C (0,2),∴ OC = OD = 2,∴ ∠DCO = 45°,∴ ∠ACE = 45°,∴ CE=AE,∵ AE∥OD,∴ △ACE∽△DCO,∴ AE DO = AC DC = 1 2 ,∴ AE=CE= 1,∴ OE= 2+1 = 3,∴ A(1,3),把 A(1,3)代入 y = k x ,得 k= 1×3 = 3. 第 9 题解图 10. -6　 【解析】由对称性可知,OA = OB,∴ S△AOC = S△BOC = 1 2 S△ABC,∵ BC⊥y 轴,△ABC 的面积为 6,∴ S△BOC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×6 = 1 2 | k | ,又∵ k<0,∴ k= -6. 11. y= 18 x 　 【解析】解法 1:∵ 四边形 OABC 是矩形,∴ OC = AB= 3,∵ 四边形 CDEF 是正方形,∴ CD = CF = EF,∵ BC = 2CD,∴ 设 CD =m,BC = 2m,∴ B(3,2m),E(3+m,m), 设反比例函数的表达式为 y = k x ,∴ 3×2m = (3+m) ·m, 解得 m= 3 或 m= 0(不合题意,舍去),∴ B(3,6),∴ k = 3 ×6 = 18,∴ 这个反比例函数的表达式是 y= 18 x . 解法 2:如解图,延长 ED 交 y 轴于 H,∵ B,E 均在反比例 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 函数图象上,∴ S矩形OABC =S矩形OFEH,∵ CD =BD,∴ AB =CF = 3,∴ E( 6,3),∴ k = 18,这个反比例函数的表达式是 y = 18 x . 第 11 题解图 变式　 9 2 　 【解析】∵ AD = 3AE,AD = 3,∴ AE = 1,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC = AD = 3,∴ 设 E( 1,a),则 C (3,a-3),∵ 反比例函数 y = k x ( x>0)的图象经过点 C, E,∴ 1×a= 3×(a-3),解得 a = 9 2 ,∴ E(1, 9 2 ),∴ k = 1× 9 2 = 9 2 . 12. B 13. 2 3 　 【解析】解法 1:设点 B 坐标为(m, k m ),则 C(m, 0), ∵ A(1,0), ∴ AC = m - 1, 由对称可知: AD = m - 1, ∠DAB= ∠CAB= 30°,∴ ∠DAC = 60°,如解图①,作 DG⊥ x 轴,垂足为 G,∴ AG= m-1 2 ,DG= ( m-1 2 ) × 3 ,∴ D( m-1 2 + 1, 3m- 3 2 ),∵ 点 D 在反比例函数图象上,∴ ( m-1 2 +1) · 3m- 3 2 = k ①,在 Rt△ABC 中,∵ ∠BAC = 30°,∴ BC = 3 3 AC,即 k m = 3 3 (m-1)②,由①②解得 k= 2 3 . 解法 2:提示:如解图②,连接 CD,结合折叠的性质和 ∠BAC= 30°可判定△ACD 为等边三角形,设 AC = 2 3 m, BC= 2m, ∴ B(1+2 3m,2m),由等边三角形的性质得 D (1+ 3m,3m),将点 B,D 坐标代入 y = k x ,解得 m= 0(舍 去)或 m= 3 3 ,∴ B(3, 2 3 3 ),∴ k= 3× 2 3 3 = 2 3 . 解法 3:提示:如解图③,延长 AD,CB 交于点 E,结合折叠 的性质和∠BAC= 30°,可得在 Rt△ACE 中,D 是 AE 的中 点,设 BC=m,则 AC= 3m,∴ CE= 3m,∴ B(1+ 3m,m), E(1+ 3m,3m),∴ D(1+ 3m 2 , 3m 2 ),将点 B,D 坐标代入 y = k x ,解得 m= 0(舍去)或 m = 2 3 3 ,∴ B(3, 2 3 3 ),∴ k = 3 ×2 3 3 = 2 3 . 图① 图② 图③ 第 13 题解图 命题点 7　 二次函数表达式的确定 能力点 1. y= -x2 +4x-1　 2. y= 2(x-1) 2 -1 3. y= x2 -2x-3 ,y= (x-1) 2 -4 1.解:由题意得 - b 2 = 1, c= -3, { 解得 b= -2,c= -3,{ 则抛物线的表达式为 y= x2 -2x-3. 2.解:设二次函数的表达式为 y=ax2 +bx+c(a≠0), ∵ 二次函数的图象经过点( -1,0),(0,3),(1,4), ∴ a-b+c= 0, c= 3, a+b+c= 4, { 解得 a= -1, b= 2, c= 3, { ∴ 二次函数的表达式为 y= -x2 +2x+3. 3.解:解法 1:∵ 抛物线经过点 B(0,4),C(5,4), ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 5 2 , ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标为( -3,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为(8,0), 设抛物线的解析式为 y=a(x+3)(x-8)(a≠0), 把 B(0,4)代入得 4 =a×3×( -8),解得 a= - 1 6 , ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 6 (x+3)(x-8), 即 y= - 1 6 x2 + 5 6 x+4. 解法 2:∵ 抛物线经过点 A( -3,0),B(0,4),C(5,4), ∴ 9a-3b+c= 0, c= 4, 25a+5b+c= 4, { 解得 a= - 1 6 , b= 5 6 , c= 4, ì î í ï ïï ï ï ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 6 x2 + 5 6 x+4. 4. A 5.解:∵ C1 关于 y 轴对称的解析式为 y=ax2 +2x+3, ∴ a= -1,m= 2,n= 3, ∴ C1 :y= -x2 -2x+3,C2 :y= -x2 +2x+3. 6.解:将点 A,B 的坐标代入抛物线 L 表达式, 得: 9a-3(c-a) +c= 0, c= -6,{ 解得 a= -1, c= -6,{ ∴ L:y= -x2 -5x- 6,∵ 点 A、B 在 L′上的对应点分别为 A′ (3,0)、B′(0,6),∴ 设抛物线 L′的表达式 y= x2 +bx+6, 将 A′(3,0)代入 y= x2 +bx+6,得 9+3b+6 = 0,解得 b= -5, ∴ 抛物线 L′的表达式为 y= x2 -5x+6. 命题点 8　 二次函数的图象与性质 1. C　 2. -2　 【拓展设问】-1　 变式　 D　 3. A　 4. D　 【解析】由题意可得 6 =m2 -m,解得 m1 = 3,m2 = -2,∵ 二次函数 y= x2 +mx+m2 -m,图象的对称轴在 y 轴左侧,∴ - m 2 <0,∴ m>0,∴ m= 3,∴ y = x2 +3x+6,∴ 二次函数有最小 值为 4ac-b2 4a = 4 ×1×6-32 4×1 = 15 4 . 5. D 　 【 解 析 】 解 法 1: 由 题 知, 4a-2b+c= -8, c= 0, 9a+3b+c= -3, { 解 得 a= -1, b= 2, c= 0, { 所以二次函数的解析式为 y = -x2 + 2x. ∵ a = - 1< 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9