3.5 反比例函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 三 章 函 　 数 命题点 5　 反比例函数的图象与性质 基础 达标练 考向 1　 图象上点的坐标特征 1. (人教九下 P7 例 3 改编)在反比例函数 y= 12 x 图象上的点是 (　 　 　 ) A. (3,4)　 　 　 　 B. (2,5)　 　 　 　 C. (2,-6)　 　 　 　 D. ( 1 2 ,6) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 变式 1-1 (2024 北京)若函数 y = k x (k≠0)的图象经过点(3,y1) 和( -3,y2),则 y1 +y2 的值是 　 　 　 . 变式 1-2 (2024 榆林名校模拟)已知点 A(a-1,2)关于 y 轴的对称点在 反比例函数 y= 6 x 的图象上,则 a 的值为 　 　 　 . 变式 1-3 (2024 交大附中四模)点 A(m,n)在反比例函数 y = a x 的图 象上,点 A 关于 x 轴对称的点在反比例函数 y = b x 的图象上, 且 a-b= 6,则 mn 的值为　 　 　 . 【技巧点拨】 若反比例函数图象上两 点的横坐标互为相反数, 则这 两 个 点 关 于 原 点 对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 2　 图象与象限(2020. 13 涉及) 2. (2022 贵阳)如图,在平面直角坐标系中有 P,Q,M,N 四个点,其中恰 有三点在反比例函数 y = k x (k>0)的图象上. 根据图中四点的位置, 判断这四个点中不在函数 y= k x 的图象上的点是 (　 　 　 ) A. 点 P B. 点 Q C. 点 M D. 点 N 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3. (人教九下 P7 例 4 改编)反比例函数 y =m -5 x 图象的一支如图所示,则 常数 m 的取值范围是　 m<5　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 分层作业本·陕西数学 　 第 三 章 函 　 数 4. 如图,函数 y= 1 x (x>0), - 1 x (x<0) ì î í ï ïï ï ïï 的图象所在坐标系的原点是 (　 　 　 ) 第 4 题图 A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 【技巧点拨】 反比例函数图象与坐标 轴无交点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 3　 增减性(2024、2021. 12 涉及) 5. (2024 陕西 12 题 3 分)已知点 A( -2,y1)和点 B(m,y2 )均在反比例 函数 y=- 5 x 的图象上.若 0<m<1,则 y1+y2　 <　 0. (填“>”“ =”或“<”) 变式 5-1 (人教九下 P9 习题 9 题改编)已知点(x1,y1 ),(x1,y2 )在反 比例函数 y=a 2 +1 x 的图象上,若 x1 <x2 <0,则 y1,y2 的大小关系 是 (　 　 　 ) A. y1 <y2 <0 　 B. y2 <y1 <0 　 C. y1 >y2 >0 　 D. y2 >y1 >0 变式 5-2 (2024 交大附中六模)已知点 A( -4,y1 ),B(4,y2 ),C(5, y3)在反比例函数 y= k x (k≠0)的图象上,若 y1 <y2 则 y2 　 　 　 y3 . (填“>”“<”或“ =”) 变式 5-3 (2024 河北)节能环保已成为人们的共识. 淇淇家计划购 买 500 度电,若平均每天用电 x 度,则能使用 y 天. 下列说法 错误的是 (　 　 　 ) A. 若 x= 5,则 y= 100 B. 若 y= 125,则 x= 4 C. 若 x 减小,则 y 也减小 D. 若 x 减小一半,则 y 增大一倍 【技巧点拨】 与反比例函数比较大小 有关问题的解题方法: ① 直 接 代 值 计 算 后 作 比较; ②画草图,标注点,读图 看大小 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 强化 提升练 6.易错 ∙∙ 　 已知反比例函数 y= k x (k<0),对于一个正数 m,当 m≤x≤ 2m 时,y 的最大值为 a,则当-2m≤x≤-m 时,函数 y 有 (　 　 　 ) A. 最大值-2a B. 最小值-2a C. 最大值-a D. 最小值- 1 2 a 7. (2024 浙江)反比例函数 y= 4 x 的图象上有 P( t,y1 ),Q( t+4,y2 )两点. 下列正确的选项是 (　 　 　 ) A. 当 t<-4 时,y2 <y1 <0 B. 当-4<t<0 时,y2 <y1 <0 C. 当-4<t<0 时,0<y1 <y2 D. 当 t>0 时,0<y1 <y2 【放大招】 先用 m 表示 k,再代入 x= -2m 和 x = - m 比 较 大小 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 线 A′B 的解析式为 y= kx+1(k≠0),代入点 A′(2,5),得 5 = 2k+1,∴ k= 2,∴ A′B 的解析式为 y = 2x+1,∵ 反射后经 过点 C(m,n),∴ 2m+1 =n,∴ 2m-n= -1. 故答案为-1. 12.解:(1)设 y 与 x 之间的关系式为 y= kx+b(k≠0), 代入(0,80),(150,50), 得 b= 80, 150k+b= 50,{ 解得 k= - 1 5 , b= 80, { ∴ y= - 1 5 x+80(0≤x≤240); (2)令 x= 240,则 y= - 1 5 ×240+80 = 32, 32 100 ×100% = 32%, 答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%. 13.解:(1)设 AB 所在直线的函数表达式为 F拉力 = kx+b( k≠ 0),将(6,4),(10,2. 5)代入得, 6k+b= 4, 10k+b= 2. 5,{ 解得 k= - 3 8 , b= 25 4 , ì î í ï ï ïï ∴ AB 所在直线的函数表达式为 F拉力 = - 3 8 x+ 25 4 ; (2)在 F拉力 = - 3 8 x+ 25 4 中,令 x = 8 得 F拉力 = - 3 8 × 8+ 25 4 = 13 4 , ∵ 4- 13 4 = 3 4 (N), ∴ 当石块下降的高度为 8 cm 时,该石块所受浮力为 3 4 N. 14.解:(1)根据题意得,x 名工人采摘枇杷,那么(30-x) 名 工人采摘草莓, ∴ 采摘的枇杷的质量为 0. 4x 吨,采摘的草莓的质量为 0. 3(30-x)吨, 根据题意,得 y= 2000×0. 4x+3000×0. 3(30-x), 整理后,得 y= 27000-100x, ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= 27000-100x; (2)根据题意得 0. 4x≥0. 3(30-x), 解得 x≥ 90 7 , ∵ x 为正整数, ∴ x 的最小值为 13, ∵ x 越小,y 越大, ∴ 把 x= 13 代入 y= 27000-100x, 解得 y= 25700, 即销售总额的最大值为 25700 元. 答:若要求当天采摘枇杷的质量不少于草莓的质量,销售 总额的最大值为 25700 元. 15.解:(1)当 300≤x<500 时,y乙 = 300x;当 x≥500 时,y乙 = 500×300+300×0. 8(x-500)= 240x+30000, ∴ y乙和 x 的函数关系式为 y乙 = 300x(300≤x<500), 240x+30000(x≥500);{ (2)根据题意,得 y甲 = 300×0. 9x= 270x, 当 300≤x<500 时,270x<300x, 当 x≥500 时,令 y甲 < y乙,则 270x< 240x+ 30000,解得 x <1000, ∴ 当 300≤x<1000 时,y甲 <y乙, ∴ 当 300≤x<1000 时,学校选甲公司更合算. 16.解:(1)设小李离一楼地面的高度 y 与下行时间 x 的函数 解析式为 y=mx+n(m≠0), 把(0,6),(15,3)代入解析式得 n= 6, 15m+n= 3,{ 解得 m= - 1 5 , n= 6, { ∴ 小李离一楼地面的高度 y 与下行时间 x 的函数解析式 为 y= - 1 5 x+6; (2)设妈妈离一楼地面的高度 h 与下行时间 x 之间的函 数解析式为 h= kx+b(k≠0), 把(1,5. 4),(3,4. 2)代入解析式得 k+b= 5. 4, 3k+b= 4. 2,{ 解得 k= -0. 6, b= 6,{ ∴ 妈妈离一楼地面的高度 h 与下行时间 x 之间的函数解 析式为 h= -0. 6x+6, 当 h= 0 时,-0. 6x+6 = 0,解得 x= 10; 由(1)知,当 y= 0 时,- 1 5 x+6 = 0, 解得 x= 30, ∵ 10<30,∴ 妈妈先到达一楼地面. 命题点 5　 反比例函数的图象与性质 1. A　 变式 1-1　 0 变式 1-2　 -2　 【解析】点 A(a-1,2)关于 y 轴的对称点坐 标为(1-a,2),∵ 点(1-a,2)在反比例函数 y = 6 x 的图象 上,∴ 2(1-a)= 6,解得:a= -2. 变式 1-3　 3　 【解析】∵ 点 A(m,n)在反比例函数 y = a x 的 图象上,点 A 关于 x 轴对称的点在反比例函数 y= b x 的图 象上,点 A(m,n)关于 x 轴对称的点为(m,-n),∴ mn = a,-mn= b,a-b=mn-( -mn)= 2mn= 6,∴ mn= 3. 2. C　 3. m<5　 4. A 5. <　 【解析】∵ 点 A( -2,y1 )和点 B(m,y2 )均在反比例函数 y= - 5 x 的图象上,∴ y1 = 5 2 ,y2 = - 5 m ,∵ 0<m<1,∴ y2 <-5, ∴ y1 +y2 < 5 2 -5 = - 5 2 <0. 变式 5-1　 B　 变式 5-2　 >　 变式 5-3　 C 6. A　 【解析】解法 1:由题意可知 k<0,∴ 反比例函数的图象 在第二、四象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, 又∵ m 是正数,当 m≤x≤2m 时,y 的最大值为 a,即当 x = 2m 时,y=a,∴ k = xy = 2am,y = 2am x ,当 x = m 时,y = 2a,∴ 2a<a,∴ a<0,将 x= -2m 代入 y = 2am x ,得 y = -a,将 x = -m 代入 y= 2am x ,得 y= -2a,∴ 当-2m≤x≤-m 时,y 有最大值 -2a,有最小值-a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 解法 2:∵ 反比例函数 y= k x (k<0),∴ 反比例函数的图象 在第二、四象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, ∵ 对于一个正数 m,当自变量 x 满足 m≤x≤2m 时,函数 y 的最大值为 a,∴ 当 m≤x≤2m 时,2a≤y≤a,a<0,根据反 比例函数图象关于原点中心对称的性质可知,当-2m≤x ≤-m 时,-a≤y≤-2a,∴ 当-2m≤x≤-m 时,函数 y 有最 小值-a,最大值-2a. 7. A　 【解析】∵ 反比例函数 y= 4 x 中,k= 4>0,∴ 此函数图象 的两个分支分别位于第一、三象限,且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小. A. 当 t<-4 时,t+4<0,∵ t<t+4,∴ y2 <y1 <0, 原结论正确,符合题意;B. 当-4< t<0 时,点 P( t,y1 )在第 三象限,点 Q( t+4,y2 )在第一象限,∴ y1 <0,y2 >0,∴ y1 <0< y2 ,原结论错误,不符合题意;C. 由 B 知,当-4<t<0 时,y1 < 0<y2 ,原结论错误,不符合题意;D. 当 t> 0 时,t+ 4> 0,∴ P ( t,y1 ),Q( t+4,y2 )在第一象限,∵ t<t+4,∴ y1 >y2 >0,原结 论错误,不符合题意. 命题点 6　 与反比例函数表达式有关的计算 1. C　 变式 1-1　 2　 变式 1-2　 y= 6 x 　 【解析】∵ 点 A( -2,1),B(3,2),C( -6, m)分别在三个不同的象限,点 A( -2,1)在第二象限,∴ 点 C( -6,m)一定在第三象限,∵ B(3,2)在第一象限,反 比例函数 y= k x (k≠0)的图象经过其中两点,∴ 反比例 函数 y= k x (k≠0)的图象经过 B(3,2),C( -6,m),∴ k = 3×2 = 6,∴ 该反比例函数的表达式为 y= 6 x . 变式 1-3　 4　 【解析】设反比例函数解析式为 v = k m ( k≠ 0),∵ 机器狗载重后总质量 m = 60 kg 时,它的最快移动 速度 v= 6 m / s,∴ k= 60×6 = 360,∴ 反比例函数解析式为 v= 360 m ,∴ 当 m= 90 kg 时,v= 360 90 = 4(m / s) . 2. -8　 【解析】∵ 点 C 坐标为( -3,0),点 D 坐标为(0,4),∴ OC= 3,OD = 4,∴ CD = 　 OC2 +OD2 = 5,在菱形 ABCD 中, BC=CD= 5,∴ OB=BC+OC = 5+3 = 8,∴ B( -8,0),∵ 点 E 为菱形 ABCD 的对称中心,∴ E( -4,2),∵ 反比例函数 y = k x (k≠0)的图象恰好经过点 E,∴ k= -4×2 = -8. 3. y= 4 x 　 【解析】如解图,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 M, ∵ 点 A 坐标为(4,0),∴ OA = 4. 又∵ 在 Rt△AOB 中,AB = OB,∠ABO= 90°,∴ BM=OM= AM = 1 2 OA = 2,∴ 点 B 的坐 标为(2,2) . 设这个反比例函数的表达式为 y= k x ( k≠0), 则 k= 2×2 = 4,∴ 反比例函数表达式为 y= 4 x . 第 3 题解图 4. y= 4 x 5. -6　 【解析】解法 1:如解图①,延长 AB 交 y 轴于点 D,分 别过点 A,B 作 x 轴的垂线,垂足为 E,F,∵ 点 B( -1,3), ∴ S矩形BDOF = 1× 3 = 3,∵ S矩形ABFE = S▱ABCO = 3,∴ S矩形ADOE = 6, ∵ 点 A 在反比例函数 y= k x ( x<0)的图象上,且点 A 在第 二象限,∴ k= -6. 解法 2:如解图②,延长 AB 交 y 轴于点 D,∵ B( - 1,3), S▱ ABCO = 3,∴ OC·OD= 3OC= 3,∴ OC = 1,∵ 四边形 ABCO 是平行四边形,∴ AB =OC = 1,∴ AD = 2,∴ A( -2,3),∵ 点 A 在反比例函数 y= k x (x<0)的图象上,∴ k= -6. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6. A　 7. -4 8. 9　 【解析】∵ 正比例函数图象与反比例函数图象都关于 原点 O 成中心对称,∴ 点(x1 ,y1 )与点( x2 ,y2 )关于原点 O 对称,∴ x2 = -x1 ,y2 = -y1 ,∴ -2x1y2 +5x2y1 = -2x1 ·( -y1 ) + 5( -x1 )y1 = -3x1y1 ,将点( x1 ,y1 )代入 y = - 3 x ,得 x1y1 = - 3,∴ -2x1y2 +5x2y1 = -3×( -3)= 9. 9. 3　 【解析】如解图,过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E,在 y = x+2 中,令 y= 0,得 x = - 2,∴ D( - 2,0),令 x = 0,得 y = 2,∴ C (0,2),∴ OC = OD = 2,∴ ∠DCO = 45°,∴ ∠ACE = 45°,∴ CE=AE,∵ AE∥OD,∴ △ACE∽△DCO,∴ AE DO = AC DC = 1 2 ,∴ AE=CE= 1,∴ OE= 2+1 = 3,∴ A(1,3),把 A(1,3)代入 y = k x ,得 k= 1×3 = 3. 第 9 题解图 10. -6　 【解析】由对称性可知,OA = OB,∴ S△AOC = S△BOC = 1 2 S△ABC,∵ BC⊥y 轴,△ABC 的面积为 6,∴ S△BOC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×6 = 1 2 | k | ,又∵ k<0,∴ k= -6. 11. y= 18 x 　 【解析】解法 1:∵ 四边形 OABC 是矩形,∴ OC = AB= 3,∵ 四边形 CDEF 是正方形,∴ CD = CF = EF,∵ BC = 2CD,∴ 设 CD =m,BC = 2m,∴ B(3,2m),E(3+m,m), 设反比例函数的表达式为 y = k x ,∴ 3×2m = (3+m) ·m, 解得 m= 3 或 m= 0(不合题意,舍去),∴ B(3,6),∴ k = 3 ×6 = 18,∴ 这个反比例函数的表达式是 y= 18 x . 解法 2:如解图,延长 ED 交 y 轴于 H,∵ B,E 均在反比例 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8