2.3 分式方程的解法及其应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 分式方程的解法及其应用(8 年 4 考) 考向 1　 分式方程及其解法(8 年 4 考,常在 16 题 位与分式化简轮换考查) 1. (2024 济宁)解分式方程 1- 1 3x-1 = - 5 2-6x 时,去 分母变形正确的是 (　 　 　 ) A. 2-6x+2 = -5　 　 　 B. 6x-2-2 = -5 C. 2-6x-1 = 5 D. 6x-2+1 = 5 2. (2024 广东)方程 2 x-3 = 3 x 的解是 (　 　 　 ) A. x= -3 B. x= -9 C. x= 3 D. x= 9 3. (2024 武汉)分式方程 x x-3 =x+1 x-1 的解是 　 x=-3　 . 4. 解下列方程. (1)(2024 西安名校模拟) 3 x +1 = 2x 2x+1 . 解:原方程去分母得:3(2x+1)+x(2x+1)= 2x2, 去括号得:6x+3+2x2+x=2x2, 移项,合并同类项得:7x=-3, 解得:x=- 3 7 , 检验:当 x=- 3 7 时,x(2x+1)≠0, 故原方程的解为 x=- 3 7 . (2)(2024 陕西 16 题 5 分) 2 x2 -1 + x x-1 = 1. 解:去分母得:2+x(x+1)= x2-1, 去括号得:2+x2+x=x2-1, 移项,合并同类项,系数化为 1 得:x=-3, 检验:当 x=-3 时,x2-1≠0, ∴ x=-3 是原分式方程的解. (3)(2024 福建) 3 x+2 +1 = x x-2 . 解:去分母得 3 x-2( ) + x+2( ) x-2( ) =x x+2( ) . 去括号得:3x-6+x2-4=x2+2x, 解得:x=10. 检验:当 x=10 时,(x+2)(x-2)= 96≠0, 故原方程的解为 x=10. (4)(2024 西安名校模拟) 4 x2 -2x + x 2-x = -1. 解:去分母得:4-x2 =-x2+2x, 解得:x=2, 检验:当 x=2 时,2-x=0,x2-2x=0, ∴原方程无解. (5)(2024 交大附中二模) x+3 x-2 = 1- 2 x+3 . 解:去分母得:(x+3) 2 =(x-2)(x+3)-2(x-2), 去括号得:6x+9=-x-2, 移项,系数化为 1 得:x=-11 7 , 检验:当 x=-11 7 时,(x-2)(x+3)≠0, 故原分式方程方程的解为 x=-11 7 . (6)(2024 铁一中四模) 2x-1 x+1 = 5 1-x2 - 2x 1-x . 解:去分母得:(2x-1)(1-x)= 5-2x(1+x), 去括号得:2x-2x2-1+x=5-2x-2x2, 移项得:2x-2x2+x+2x+2x2 =5+1, 合并同类项得:5x=6, 系数化为 1 得:x= 6 5 , 检验:当 x= 6 5 时,(1+x)(1-x)≠0, 故原分式方程的解是 x= 6 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 分层作业本·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 考向 2　 含参分式方程 5. (2024 陕师大附中八下月考)若方程 m x-4 = 3 4-x + 1 有增根,则 m 的值为 (　 　 　 ) A. 3 B. 4 C. -3 D. -4 6. (2024 齐齐哈尔)如果关于 x 的分式方程 1 x - m x+1 = 0 的解是负数,那么实数 m 的取值范围是 (　 　 　 ) A. m<1 且 m≠0 B. m<1 C. m>1 D. m<1 且 m≠-1 7. (2024 达州)若关于 x 的方程 3 x-2 -kx-1 x-2 = 1 无 解,则 k 的值为　 2 或-1　 . 考向 3　 分式方程的实际应用 8. (2024 宁夏)数学活动课上,甲、乙两位同学制作 长方体盒子. 已知甲做 6 个盒子比乙做 4 个盒 子少用 10 分钟,甲每小时做盒子的数量是乙 每小时做盒子的数量的 2 倍. 设乙每小时做 x 个盒子,根据题意可列方程 (　 　 　 ) A. 4 x - 6 2x = 10 B. 6 x - 4 2x = 10 C. 4 x - 6 2x = 10 60 D. 6 x - 4 2x = 10 60 9. (2024 巴中)某班学生乘汽车从学校出发去参加 活动,目的地距学校 60 km,一部分学生乘慢车 先行 0. 5 h,另一部分学生再乘快车前往,他们 同时到达. 已知快车的速度比慢车的速度每小 时快 20 km,求慢车的速度? 设慢车的速度为 x km / h,则可列方程为 (　 　 　 ) A. 60 x - 60 x+20 = 1 2 B. 60 x-20 -60 x = 1 2 C. 60 x+20 -60 x = 1 2 D. 60 x - 60 x-20 = 1 2 10. (2024 绥化)一艘货轮在静水中的航速为 40 km / h,它以该航速沿江顺流航行 120 km 所用 时间,与以该航速沿江逆流航行 80 km 所用 时间相等,则江水的流速为 (　 　 　 ) A. 5 km / h B. 6 km / h C. 7 km / h D. 8 km / h 11. (2024 西安名校模拟)实验室的一个容器内盛有 150 克食盐水,其中含盐 10 克. 如何处理能将 该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍. 晓华根据这一情景中的数量关系列出方 程 3× 10 150 = 10 150-x ,则未知数 x 表示的意义是 (　 　 　 ) 　 　 第 11 题图 A. 增加的水量 B. 蒸发的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 12. (2024 铁一中九模)2023 年 12 月 18 日 23 时 59 分,甘肃省积石山县发生 6. 2 级地震,贵州省 蓝天救援队启动一级应急响应,组织一支队 伍赶赴灾区参与救援. 该队伍原计划要完成 3000 m 的公路疏通,实际工作时每小时的工 作效率比原计划提升 25%,设原计划每小时 疏通公路 x m. 解答下列问题: (1)实际每小时疏通公路　 1. 25x　 m(用含 x 的代数式表示); (2)实际工作时提前 2 小时完成既定任务,求 实际每小时疏通公路的长度. 解:(1)1. 25x; (2)根据题意得:3000 x - 3000 1. 25x =2, 解得:x=300, 经检验,x=300 是原方程的解,且符合题意, ∴1. 25x=300×1. 25=375, 答:实际每小时疏通公路 375 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 x= 16, ∴ 15×(16+1) = 15×17 = 255(m) . 答:这列火车长 255 米. 20. C　 21. B 22.解:(1)李叔叔付车费为 1. 8×12+0. 45×18 = 21. 6+8. 1 = 29. 7(元), 29. 7<30, ∴ 够付车费; (2)设王老师上班用时约 x 分钟, 根据题意得,1. 8×8+0. 45x= 21. 6, 解得 x= 16, 答:王老师上班用时约 16 分钟. 23.解:设用 x 张制盒身,则(36-x)张制盒底, 根据题意,得到方程:2×25x= 40(36-x), 解得:x= 16, 36-x= 36-16 = 20. 答:用 16 张制盒身,20 张制盒底,可使盒身与盒底正好 配套. 24.解:设小兰配置的溶液质量有 x 克,则小明配置的溶液质 量有(x+7)克,根据题意得, 25%x+20%(x+7)= 22%(x+x+7), 解得 x= 14, 14+7 = 21(克), 答:小兰配置的溶液质量有 14 克,则小明配置的溶液质 量有 21 克. 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 1. C　 2. D 3. (1)解:(x+1) 2 = 2, x+1 = 2或 x+1 = - 2 , x1 = 2 -1,x2 = - 2 -1. (2)解:x2 -2x+1 = 3+1 (x-1) 2 = 4 x-1 = 2 或 x-1 = -2 解得 x1 = 3,x2 = -1 (3)解:∵ a= 2,b= -3,c= -4, ∴ b2 -4ac= 9+32 = 41>0, ∴ x= -b± 　 b2 -4ac 2a = 3± 　 41 4 , ∴ x1 = 3+ 　 41 4 ,x2 = 3- 　 41 4 . (4)解:x(x-2) +3(x-2)= 0, (x+3)(x-2)= 0, x1 = -3,x2 = 2. 4. D　 5. A 变式 5-1　 B　 变式 5-2　 D　 变式 5-3　 B 6. (1) -2,- 2 3 ;(2) - 4 3 ;(3)3;(4) 16 3 7. -1　 8. B　 9. B　 10. x2 -38x+37 = 0 11.解:设该单位这次共有 x 名员工去风景区旅游. ∵ 27000÷1000 = 27,27>25, ∴ x>25; 根据题意,列方程 x[1000-20(x-25)] = 27000, 整理得:x2 -75x+1350 = 0, 解得:x1 = 30,x2 = 45, 当 x1 = 30 时,人均旅游费用:1000 - 20 ( 30 - 25) = 900 (元),符合题意; 当 x2 = 45 时,人均旅游费用:1000 - 20 ( 45 - 25) = 600 (元), ∵ 600<700, ∴ x2 = 45 不合题意舍去. 答:该单位这次共有 30 名员工去风景区旅游. 命题点 3　 分式方程的解法及应用 1. A　 2. D　 3. x= -3 4. (1)解:原方程去分母得:3(2x+1) +x(2x+1)= 2x2 , 去括号得:6x+3+2x2 +x= 2x2 , 移项,合并同类项得:7x= -3, 整理得:7x+3 = 0, 解得:x= - 3 7 , 检验:当 x= - 3 7 时,x(2x+1)≠0, 故原方程的解为 x= - 3 7 . (2)解:去分母得:2+x(x+1)= x2 -1, 去括号得:2+x2 +x= x2 -1, 移项,合并同类项,系数化为 1:x= -3, 检验:当 x= -3 时,x2 -1≠0, ∴ x= -3 是原分式方程的解. (3)解:去分母得 3(x-2) +(x+2)(x-2)= x(x+2) . 去括号得:3x-6+x2 -4 = x2 +2x, 解得:x= 10. 检验:当 x= 10 时,(x+2)(x-2)= 96≠0, 故原方程的解为 x= 10. (4)解:去分母得:4-x2 = -x2 +2x, 解得:x= 2, 检验:当 x= 2 时,2-x= 0,x2 -2x= 0, ∴ 原方程无解. (5)解:去分母得:(x+3) 2 = (x-2)(x+3) -2(x-2), 去括号得:6x+9 = -x-2, 移项,系数化为 1 得:x= - 11 7 , 检验:当 x= - 11 7 时,(x-2)(x+3)≠0, 故原分式方程方程的解为 x= - 11 7 . (6)解:去分母得:(2x-1)(1-x)= 5-2x(1+x), 去括号得:2x-2x2 -1+x= 5-2x-2x2 , 移项得:2x-2x2 +x+2x+2x2 = 5+1, 合并同类项得:5x= 6, 系数化为 1 得:x= 6 5 , 检验:当 x= 6 5 时,(1+x)(1-x)≠0, 故原分式方程的解是 x= 6 5 . 5. C 6. A　 【解析】 1 x - m x+1 = 0,x+1-mx = 0,x-mx = -1,(1-m) x = -1,x= 1 m-1 ,∵ 关于 x 的分式方程 1 x - m x+1 = 0 的解是负 数,∴ m-1<0 且 m-1≠-1,解得:m<1 且 m≠0,故选:A. 7. 2 或-1　 【解析】方程去分母得:3-(kx-1) = x-2 解得:x = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 6 1+k ,①当 x= 2 时分母为 0,方程无解,即 6 1+k = 2,∴ k= 2 时 方程无解;②当 k+1 = 0 即 k = -1 时,方程无解;故答案为: 2 或-1. 8. C　 9. A　 10. D　 11. B 12.解:(1)1. 25x; (2)根据题意得: 3000 x - 3000 1. 25x = 2, 解得:x= 300, 经检验,x= 300 是原方程的解,且符合题意, ∴ 1. 25x= 300×1. 25 = 375, 答:实际每小时疏通公路 375 m. 命题点 4　 一元一次不等式(组)的解法 及其应用 1. A　 2. D　 3. B 4.解:去分母:3x-5>4x, 移项:3x-4x>5, 合并同类项:-x>5, 系数化为 1:x<-5. ∴ 此不等式的解为 x<-5. 第 4 题解图 5.解: 1+x 3 ≥x-1, 去分母:1+x≥3x-3, 移项:x-3x≥-3-1, 合并同类项:-2x≥-4, 系数化为 1:x≤2. ∴ 此不等式的正整数解为:1,2. 变式 5-1　 x≤ 15 7 　 变式 5-2　 x<9 6. A　 7. B　 8. B　 9. -1(答案不唯一) 10. (Ⅰ)x≤1; (Ⅱ) x≥-3; (Ⅲ)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来,如解图 所示, 第 10 题解图 (Ⅳ) -3≤x≤1 11.解: 2x-1<-9①, 1-x≥ 2+x 3 ②,{ 解不等式①得,x<-4, 解不等式②得,x≤ 1 4 , 所以不等式组的解集为 x<-4. 12.解: 2x+1>3(x-1)①, x+ x-1 3 <1②,{ 解不等式①,得 x<4, 解不等式②,得 x<1, ∴ 不等式组的解集为 x<1. 13. D　 14. D　 15. x>8;m≤7　 16. A 17. 商品以 x 元的价格出售;32. 18.解:设可购买这种型号的水基灭火器 x 个,则购买干粉灭 火器(50-x)个, 根据题意得:540x+380(50-x)≤21000, 解得:x≤12. 5, ∵ x 为整数,∴ x 取最大值为 12. 答:最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个. 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系 1. C　 2. C　 3. (1)C;(2)一　 4. A　 变式 4-1　 C　 变式 4- 2　 B　 变式 4-3　 B　 5. A　 6. 1　 7. C　 变式 7-1　 -7　 变 式 7-2　 4 8. D　 【解析】∵ 点 P 在第四象限内,∴ 点 P 的横坐标大于 0,纵坐标小于 0,∵ 点 P 到 x 轴的距离是 3,到 y 轴的距离 是 4,∴ 点 P 的横坐标是 4,纵坐标是-3,即点 P 的坐标为 (4,-3) . 故选 D. 9. (1)(4,3);(2)(2, 3 2 ) 10. (1)5;(2)M 命题点 2　 函数及函数图象的分析与判断 1. A　 2. A 3. C　 【解析】①当 y>0 时,-3<x<-1 或 x>3,∴ ①不正确. ② 由图象可知,当 x>-3 时,y 有最小值,∴ ②正确. ③令 x = m,y= -m-1,∴ y= -x-1,∴ 点 P(m,-m-1)在直线 y = -x- 1 上,如解图,画出 y = -x- 1 的函数图象,由图象可以看 出,它们有三个交点,∴ 符合要求的点 P 有 3 个,∴ ③不正 确. ④将函数 y 的图象向右平移 1 个单位长度时,原图象 上坐标为( -1,0)的点过原点. 将函数 y 的图象向右平移 3 个单位长度时,原图象上坐标为( -3,0)的点过原点,∴ ④ 正确. 综上,只有②④正确. 故选 C. 第 3 题解图 4. C 5. D　 【解析】由图象可知,小明骑单车的速度为( 2400 - 400) ÷(16-6)= 2000÷10 = 200( min),若小明开始时直接 骑单车,则前 400 m 所用的时间为 400÷200 = 2( min),则 可以节约 6-2 = 4(min),∵ 先步行一段路后改骑单车,结 果到校时还是迟到了 2 min,∴ 若小明开始时直接骑单车, 则他可以提前 2 min 到校. 故选 D. 6. C 7. D　 【解析】∵ △ABC 是边长为 1 的等边三角形,∴ 当点 D 和点 C 重合时,AG= 1 2 AB= 1 2 ,当 1 2 ≤x≤1 时,BG = 1-x, DG= 3 (1-x),∴ y= 3 (1-x) = - 3 x+ 3 ,根据解析式可 知 0≤y≤ 3 2 ,∴ D 选项正确. 8. C　 【解析】当点 P 在点 D 时,设正方形的边长为 a cm,y= 1 2 AB·AD= 1 2 a·a = 8,解得 a = 4(负值已舍去);当点 P 在点 C 时,y= 1 2 EP·AB= 1 2 EP×4 = 6,解得 EP = 3,即 EC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5