1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 一 章 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算(8 年 5 考) 基础 达标练 考向 1　 分式的相关概念 1. 当 x= 1 时,下列分式没有意义的是 (　 　 　 ) A. x -1 x 　 　 B. x x-1 　 　 C. 1 - | x | x 　 　 D. x 2 -1 x+1 变式 1-1 (2024 西安名校模拟)若分式 x2 -9 x+3 的值为 0,则 x 的值为 (　 　 　 ) A. 3B. 3 或-3 C. -3D. 0 变式 1-2 (2024 吉林改编)当分式 1 x+1 的值为正数 时,x 的值可以是　 　 　 　 　 　 . 考向 2　 分式的运算(8 年 5 考,常在 16 题位与分 式方程轮换考查) 2. (2024 天津)计算 3x x-1 - 3 x-1 的结果等于(　 　 　 ) A. 3 B. x C. x x-1 D. 3 x2 -1 变式 (2024 威海)计算: 4 x-2 + x 2 2-x = 　 -x-2　 . 3. (2023 高新一中八下期中)化简 m-1 m ÷m 2 -1 m2 的结果 是　 　 　 　 . 4. (2023 陕西 16 题 5 分)化简:( 3a a2-1 - 1 a-1 )÷2a -1 a+1 . 解:原式=[ 3a (a-1)(a+1) - a+1 (a-1)(a+1) ]· a +1 2a-1 = 3a-(a+1) (a+1)(a-1) · a +1 2a-1 = 1 a-1 . 5. (2024 宁夏)先化简,再求值:(1- 1 a+1 ) ·a 2 -1 a , 其中 a= 1-　 2 . 解:原式= a a+1 ·(a +1)(a-1) a =a-1. 当 a=1-　 2时, 原式=1-　 2 -1=-　 2 . 6. (2024 西安名校模拟)化简求值: a-1 a-2 ÷a 2 -2a+1 2a-4 , 其中 a= 　 2 +1. 解:原式=a -1 a-2 ·2(a -2) (a-1) 2 = 2 a-1 , 当 a= 　 2 +1 时,原式= 2　 2 +1-1 = 　 2 . 7. (2024 泸州)化简:( y2 x +x-2y) ÷x 2 -y2 x . 解:原式=y 2+x2-2xy x ÷(x+y)(x-y) x =(x-y) 2 x · x (x+y)(x-y) =x-y x+y . 8. (2024 西安名校模拟)化简: x+2 x2 -4 ÷( x 2 x+1 -x+1) . 解:原式= x +2 (x+2)(x-2) ÷x 2-(x-1)(x+1) x+1 = 1 x-2 · x +1 x2-x2+1 =x+1 x-2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 分层作业本·陕西数学 　 第 一 章 数 与 式 强化 提升练 9. (2024 榆林名校模拟)下面是小红和小逸两位同 学化简( 2a a-2 - a a+2 )·a 2 -4 a 的部分运算过程. 解: 原 式 = [ 2a(a +2) (a-2)(a+2) - a(a-2) (a-2)(a+2) ]·a 2 -4 a …… 解:原式= 2a a-2 ·a 2 -4 a - a a+2 ·a 2 -4 a …… (1)小红同学解法的依据是　 ④　 ;小逸同学 解法的依据是　 ②　 . (填序号) ①乘法交换律 ②乘法分配律 ③等式的基本性质 ④分式的基本性质 (2)请选择一种解法,写出完整的解答过程. 若选择小逸同学的解法: ( 2a a-2 - a a+2 )·a 2-4 a = 2a a-2 ·a 2-4 a - a a+2 ·a 2-4 a =2(a+2)-(a-2) =2a+4-a+2 =a+6. 若选择小红的解法详见本册. 10. (2024 西安名校模拟)已知 A= m+1 2 ,B= 2m m+1 . (1)当 m>0 时,比较 A-B 与 0 的大小,并说明 理由; (2)设 y= 2 A +B,若 m 为整数,求整数 y 的值. 解:(1)A-B≥0.理由如下: A-B=m +1 2 - 2m m+1 ∴ (m -1) 2 2(m+1) ≥0,∴A-B≥0. 11. 先化简( 3 x+1 -x+1) ÷x 2 -4x+4 x+1 ,然后从-1,0,1, 2 中选取一个合适的数作为 x 的值代入求值. 解:原式=( 3 x+1 -x 2-1 x+1 )÷(x -2) 2 x+1 =3-x 2+1 x+1 · x +1 (x-2) 2 =4-x 2 x+1 · x +1 (x-2) 2 =-(x+2)(x-2) x+1 · x +1 (x-2) 2 =-x+2 x-2 , ∵ x+1≠0,x-2≠0,∴ x≠-1,x≠2, ∴当 x=0 时,原式=-0 +2 0-2 =1, 或当 x=1 时,原式=-1 +2 1-2 =3. 12. 化简(2x +5 x2 -1 - 3 x-1 ) ÷ x -2 x2 -2x+1 ,从-1≤x<3 中选 出合适的 x 的整数值代入求值. 解:原式=2x +5-3(x+1) (x+1)(x-1) ·(x -1) 2 x-2 =2x+5-3x-3 x+1 ·x -1 x-2 =-(x-2) x+1 ·x -1 x-2 =1-x x+1 , ∵-1≤x<3 且 x 为整数,(x+1)(x-1)≠0,x-2≠0, ∴ x≠-1,x≠1,x≠2,则 x=0, 当 x=0 时,原式=1 -0 0+1 =1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 = 6ab+b2 , 当 a= 1 2 ,b= 1 时,原式= 6× 1 2 ×1+12 = 4. 10.解:原式= (x2 +4x+4) -(x2 +3) = x2 +4x+4-x2 -3 = 4x+1 当 x= -2 时, 原式= 4×( -2) +1 = -8+1 = -7. 11.解:原式= x2 +2xy+y2 +x2 -2xy = 2x2 +y2 , 当 x= 1,y= -2 时, 原式= 2×12 +( -2) 2 = 6. 12. a(a-b)　 13. (1)(x+1) 2 ;(2)a(a+2)(a-2) 14. (a-1) 2 　 15. C 16. C　 【解析】∵ a-b+1 = 0,∴ b=a+1,∵ 0<a+b+1<1,∴ 0<a +a+1+1<1,即 0<2a+2<1,∴ -1<a<- 1 2 ,故选项 A 错误, 不合题意. ∵ b=a+1,-1<a<- 1 2 ,∴ 0<b< 1 2 ,故选项 B 错 误,不合题意. 由-1<a<- 1 2 得,-2<2a<-1,-4<4a<- 2, 由 0<b< 1 2 得,0<4b<2,0<2b<1,∴ -2<2a+4b<1,故选项 C 正确,符合题意. ∴ - 4< 4a+ 2b<- 1,选项 D 错误,不合 题意. 17.解:(1)观赏台的面积 S =n(m+n) +n(2m-n) =mn+n2 +2mn-n2 = 3mn; (2)当 m= 20 米,n= 12 米时, S = 3mn= 3×20×12 = 720(平方米), 所以修建观赏台需要费用 200×720 = 144000(元) . 答:修建观赏台需要费用 144000 元 命题点 5　 分式及其运算 1. B　 变式 1-1　 A　 　 变式 1-2　 0(答案不唯一)　 2. A　 变式　 -x-2　 3. m m+1 4.解:原式= [ 3a (a-1)(a+1) - a +1 (a-1)(a+1) ]· a+1 2a-1 = 3a -(a+1) (a+1)(a-1) · a+1 2a-1 = 1 a-1 . 5.解:原式= a a+1 · (a+1)(a-1) a =a-1. 当 a= 1-　 2时, 原式= 1-　 2 -1 = -　 2 . 6.解:原式= a-1 a-2 · 2(a-2) (a-1) 2 = 2 a-1 , 当 a= 　 2 +1 时,原式= 2 　 2 +1-1 = 　 2 . 7.解:原式= y2 +x2 -2xy x ÷(x +y)(x-y) x = (x -y) 2 x · x (x+y)(x-y) = x -y x+y . 8.解:原式= x+2 (x+2)(x-2) ÷x 2 -(x-1)(x+1) x+1 = 1 x-2 · x+1 x2 -x2 +1 = x +1 x-2 . 9.解:(1)④;②; (2)若选择小逸同学的解法: ( 2a a-2 - a a+2 )· a2 -4 a = 2a a-2 · a2 -4 a - a a+2 · a2 -4 a = 2(a+2) -(a-2) = 2a+4-a+2 =a+6. 若选择小红同学的解法: ( 2a a-2 - a a+2 )· a2 -4 a = [ 2a(a+2) (a-2)(a+2) - a(a -2) (a-2)(a+2) ]· a2 -4 a = 2a 2 +4a-a2 +2a (a+2)(a-2) · (a+2)(a-2) a = a 2 +6a (a+2)(a-2) · (a+2)(a-2) a =a+6. 10.解:(1)A-B≥0. 理由如下: A-B = m+1 2 - 2m m+1 = (m +1) 2 -4m 2(m+1) = (m -1) 2 2(m+1) . ∵ m>0, ∴ m+1>0,(m-1) 2 ≥0, ∴ (m-1) 2 2(m+1) ≥0, ∴ A-B≥0. (2)y = 2 A +B = 4 m+1 + 2m m+1 = 2+ 2 m+1 , ∵ y 为整数,m 为整数, ∴ m+1 = ±1 或±2, ∴ y= 4 或 0 或 3 或 1. 11.解:原式= ( 3 x+1 -x 2 -1 x+1 ) ÷ (x-2) 2 x+1 = 3 -x2 +1 x+1 · x+1 x-2) 2( = 4 -x2 x+1 · x+1 x-2) 2( = -(x+2)(x-2) x+1 · x+1 x-2) 2( 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 = -x +2 x-2 , ∵ x+1≠0,x-2≠0, ∴ x≠-1,x≠2, ∴ 当 x= 0 时,原式= - 0+2 0-2 = 1, 或当 x= 1 时,原式= - 1+2 1-2 = 3. 12.解:原式= 2x+5-3(x+1) (x+1)(x-1) · (x-1) 2 x-2 = 2x +5-3x-3 x+1 · x-1 x-2 = -(x-2) x+1 · x-1 x-2 = 1 -x x+1 , ∵ -1≤x<3 且 x 为整数,(x+1)(x-1)≠0,x-2≠0, ∴ x≠-1,x≠1,x≠2,则 x= 0, 当 x= 0 时,原式= 1-0 0+1 = 1. 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)的解法及其应用 1. D　 2. C　 3. C　 4. B 5.解:2x-2-3 = x, 2x-x= 2+3, x= 5. 6.解:(1)小红的错误处用横线画出如下: 解:2×7x= (4x-1) +1, … (2)去分母:2×7x= (4x-1) +6, 去括号:14x= 4x-1+6, 移项:14x-4x= -1+6, 合并同类项:10x= 5, 系数化 1:x= 1 2 . 7.解:∵ A= 2x+1,B= 5x-4,A 比 B 小 1, ∴ (5x-4) -(2x+1)= 1, 5x-4-2x-1 = 1, 5x-2x= 1+1+4, 3x= 6, x= 2. 8. (1)解: 2x-y= 5①, 4x+3y= -10②,{ ①×3+②得:10x= 5, 解得:x= 1 2 , 把 x= 1 2 代入①得:2× 1 2 -y= 5, 解得:y= -4, 所以方程组的解是 x= 1 2 , y= -4. { (2)解: x+2 3 + y 4 = 1①, y= 4-2x②, { 将②代入①得: x+2 3 +4 -2x 4 = 1③, ③×12 得:4x+8+12-6x= 12, 解得 x= 4, 把 x= 4 代入②得:y= -4, ∴ 方程组的解为: x= 4, y= -4.{ 9. B　 10. A 11.解:设该文具店中这种大笔记本的单价是 x 元,则小笔记 本的单价是(x-3)元, 由题意得,4x+6(x-3)= 62, 解得 x= 8. 答:该文具店中这种大笔记本的单价为 8 元. 12.解:(1)由题意,根据方案②,购买商店内任意商品,一律 打九五折, ∴ 380÷95%×(1-95%) = 380÷0. 95×0. 05 = 20(元) 答:她购买这件商品优惠了 20 元. (2)设当购买商品超过 x 元时,采用方案①更合算, ∴ 168+x×80%<x×95%. ∴ x>1120. 答:当购买商品超过 1120 元时,采用方案①更合算. 13. 6　 14.解:设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意得: x 4 +3 -x 2 = 1, 解得:x= 2. 答:这次小峰打扫了 2 h. 15.解:(1)设生产盲盒 B 的工人人数为 x 人,则生产盲盒 A 的工人人数为(2x-200)人, 由题意得:(2x-200) +x= 1000, 解得:x= 400, ∴ 2x-200 = 2×400-200 = 600, 答:生产盲盒 A 的工人人数为 600 人; (2)设安排 m 人生产盲盒 A,则安排(1000-m)人生产盲 盒 B, 由题意得: 20m 2 = 10(1000 -m) 3 , 解得:m= 250, ∴ 1000-m= 1000-250 = 750. 答:该工厂应该安排 250 名工人生产盲盒 A,750 名工人 生产盲盒 B 才能使每天生产的盲盒正好配套. 16. 10+10x+8x= 30　 17. 20 18.解:下午 2:55 时,明明的行程为:70×10 = 700>650,明明 已经到了图书馆南 50 米处; 而冬冬此时的行程为:65×10 = 650<700,冬冬在距离图书 馆 50 米的南侧,还未到图书馆,∴ 不能在图书馆相遇. 由题意,设两人出发到相遇用了 x 分钟, ∴ 70x+65x= 650+700, ∴ x= 10,此时相遇地点为图书馆南侧 50 米处. 答:下午 2:55 两人不能在图书馆相遇,如果明明走到图 书馆后不停留继续向南走,那么从出发到两人相遇用了 10 分钟,相遇地点距离图书馆南侧 50 米处. 19.解:设这列火车速度是 x m / s, 15(x+1)= 17(x-1), 15x+15 = 17x-17, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3