6.3.2二项式系数的性质学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质 课标要求　1.熟记杨辉三角，会应用杨辉三角求二项式次数不大时各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质，并会简单应用. 【引入】 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右. 一、杨辉三角 探究1 (a＋b)n展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (1)每一行中，与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系？ (2)当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________.这一性质可直接由C＝________得到. 2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，则C＝________. 例1 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A.20 B.21 C.22 D.23 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　求解该类问题要抓住两点： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看，多角度观察. (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律. 训练1 杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　) A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行 二、二项式系数的增减性与最大值 探究2 阅读教材P32图6.3－2及探究问题，你能发现什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.增减性：当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当________时，C随k的增加而减小. 2.最大值：当n是偶数时，中间的一项________取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值. 例2 已知展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： (1)展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)展开式中系数最大的项. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数的最大项的求法. 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得系数的最大项. 训练2 (1)(链接教材P38T1(7))展开式中二项式系数最大的项是(　　) A.第3项 B.第6项 C.第6，7项 D.第5，7项 (2)展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为(　　) A.120 B.252 C.210 D.45 三、二项式系数和与各项系数和 探究3 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝________； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________. 例3 设(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 025的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 迁移 (1)若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|. (2)若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 025的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.(1)二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝2n，其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都等于2n－1. (2)求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值计算可得. 2.一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0). 训练3 (1)已知的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A.1 B.±1 C.2 D.±2 (2)在二项式的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，则n的值为________. 【课堂达标】 1.观察图中的数的规律，则a＝(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 2.(多选)关于(a－b)10的说法正确的是(　　) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 3.(ax＋1)n的展开式中，二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则a＝________. 4.已知C＝C，设(3x－4)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an＝________. 二项式系数的性质 探究1　(1)提示　相等. (2)提示　分别是1，6，15，20，15，6，1. 知识梳理 1.相等　C 2.C＋C 例1　C　[由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5＝16，所以b＝6＋16＝22.] 训练1　B　[依题意，第6行为1　6　15　20　15　6　1，第7行的数字为1　7　21　35　35　21　7　1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.] 探究2　提示　(1)对称性：与首末等距离的两个二项式系数相等. (2)增减性与最值性：C随k的增大而先增大后减小，有最大值. 知识梳理 1.k> 2.Cn　Cn　Cn 例2　解　(1)依题意，C＋C＋C＝37，得n＝8. ∴二项式为. 所以展开式中第5项的二项式系数最大， T5＝C×24x4＝x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为. (2)设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8， 所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项. 则T8＝C×27x7＝28x7， T9＝C×28x8＝28x8. 训练2　(1)C　(2)C　[(1)展开式共有12项，中间两项第6项与第7项的二项式系数最大. (2)由题意，得2n＝10，易知n＝5， 由Tk＋1＝C()10－k＝Cx， 令30－5k＝0，得k＝6， 故其常数项为C＝210.] 探究3　提示　C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 知识梳理 (1)2n　(2)2n－1 例3　解　∵(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025， (1)令x＝0，得(1－0)2 025＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 025＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 025， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝－1， 因此a1＋a2＋…＋a2 025＝－2. 迁移　解　(1)∵(1－2x)2 025的展开式中偶数项的系数为负值， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025. 令x＝－1， 得32 025＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025， 故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝32 025. (2)分别令x＝－1，x＝1，得 由②－①，得－1－32 025＝2(a1＋a3＋…＋a2 025)， ∴a1＋a3＋…＋a2 025＝. 训练3　(1)C　(2)4　[(1)依题意，2n＝32，则n＝5. ∴Tk＋1＝C()5－k·＝akCx－k. 由－k＝0，得k＝3， 所以a3C＝80，得a＝2. (2)二项式的展开式中，各项系数和为4n， 又二项式系数和为2n， 依题意，4n－2n＝240， ∴2n＝16，则n＝4.] 课堂达标 1.B　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，则a＝6.] 2.ABD　[由二项式系数的性质，二项式系数之和为210＝1 024，A正确； 当n＝10时，展开式共11项，中间第6项二项式系数最大，B正确，C错误； 展开式中第6项的系数为－C，取到最小值，D正确.] 3.2　[依题意知2n＝32，得n＝5. 令x＝1，得各项系数之和为(a＋1)5＝243， 所以a＋1＝3，故a＝2.] 4.1 023　[因为C＝C，所以n＝10， 即(3x－4)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10. 令x＝1，可得(3－4)10＝1＝a0， 令x＝2，可得(6－4)10＝210＝a0＋a1＋a2＋…＋a10， 所以a1＋a2＋…＋a10＝210－1＝1 023.] 学科网（北京）股份有限公司 $$