第27章　相似——　 相似三角形与四边形综合证明　训练　2024—2025学年人教版数学九年级下册

相似三角形与四边形综合证明答案解析 1.如图，是上一点， ，求证：∽． 【答案】证明：，   ， ∽．  2.如图，是矩形的边上的一点，于点，，， 求的长度． 【答案】解：四边形是矩形， ，， ． ， ． ， ，， ， ， ，即， ，故FD的长度为．   3.如图，，，在上，、相交于点，且． 若，求的长． 求的长． 【答案】解：， ∽， ， ，，， ，解得：； ， ∽， ， 同理：， ， ，， ， 解得：．  4.如图，在正方形中，为边上一点，交于点． 求证：∽； 若，，求的长； 在的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长． 【答案】证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ∽． 解：四边形为正方形， ． ，， ， ∽， ， ， ． 解：四边形为正方形， ， ． ， ∽， ， ， ， ， ．  5.如图，在中，点在边上，点在边上，且，． 求证：∽； 若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 又，， ， 又， ∽   (2)解：由可知，∽， ， ，， ， 将AE、AC的值代入上式，得：，故， 又，   6.如图，是菱形的对角线上的一点，连接并延长，交边于点，连接并延长，交边于点，交的延长线于点． 求证：≌． 已知，设线段的长为，线段的长为． 求与之间的函数解析式； 当时，求线段的长． 【答案】(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC，AC平分∠DAB．∴∠BAP＝∠DAP． 在△APB和△APD中，∴△APB≌△APD   (2)①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB // CD，AD // BC，AD＝BC．∴△AFP∽△CBP．∴． ∵DF∶FA＝1∶2，∴AF∶BC＝AF∶AD＝AF∶（DF＋AF）＝2∶3． ∴．由（1），易知BP＝PD＝x．∵FP＝y， ∴，即．∴ y与x之间的函数解析式为 ②当x＝6时，．∴ FB＝FP＋PB＝10． ∵DG // AB，∴△DFG∽△AFB． ∴．∴．∴线段FG的长为5   7.如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，重足为，点在的延长线上，，重足为， 若，求证：四边形是菱形； 若，的面积为，求菱形的面积． 【答案】解：四边形是菱形，， ， ，， ， 为对角线的中点， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； ，，的面积为， ， ， 连接，则，， ，， ∽， ， ， ， ， 菱形的面积．  8.如图，▱的对角线、相交于点，经过，分别交、于点、，的延长线交的延长线于． 求证：； 若，，，求的长． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 在和中， ， ≌， ． 过点作交于， 则∽． ， ，． ， ∽， ，即， 解得，．  9.如图，在中，点，分别在边，上，且． 探究四边形的形状，并说明理由； 连接，分别交，于点，，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC．∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD// BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE// DF．∴四边形BEDF为平行四边形．  (2)设AG＝2a，∵，∴OG＝3a，AO＝5a．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a．∵AD// BC，∴△AGE∽△CGB，∴．∵AE＝4，∴BC＝16．  10. 模型：如图，在正方形中，若，则．   【问题探究】如图，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且试猜想的值，并证明你的猜想． 【知识迁移】如图，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，则           ． 【拓展应用】如图，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且求的值． 【答案】(1)．证明：如图①，过点A作AM// HF交BC于点M，作AN// EG交CD的延长线于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB// CD，AD// BC，∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，∴AM＝HF，AN＝EG．在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°．∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，∴△ABM≌△ADN(ASA)，∴AM＝AN，即EG＝FH，∴．   (2)  (3)∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴设AB＝BC＝AC＝a．如图③，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，则．在 Rt△BCN中，​​​​​​​．∵CN⊥AB，CE⊥BF，∴∠ABF+∠BMN＝90°，∠ECN+∠CMF＝90°．又∵∠CMF＝∠BMN，∴∠ABF＝∠ECN．∵CN⊥AB，∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠CNE＝90°，∴△NCE∽△ABF，∴，即．    如图，过点作交于点，作交的延长线于点，四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，  在矩形中，，，，，∽，，，，，，．  略 11. 如图，在正方形中，点是的中点，点在的延长线上，与，分别交于点，，且，，求的长． 【答案】解：四边形是正方形，，，． 点是的中点，在中，，， 由勾股定理得． ，∽，． ，，． ，∽，， 即，．   12.如图，已知四边形为平行四边形，过点分别作、的垂线，交边、的延长线于点、． 求证：∽； 求证：； 连接，如果，求证：． 【答案】(1)证明  ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD// AB，AD// BC，∴∠CDE＝∠DAB，∠CBF＝∠DAB，∴∠CDE＝∠CBF．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CDE∽△CBF．  (2)∵△CDE∽△CBF，∴．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB，∴，∴AD·DE＝AB·BF．  (3)如图， ∵，∠CED＝∠CFA＝90°，∴Rt△ACF∽Rt△CDE，  又∵△CBF∽△CDE，∴△ACF∽△CBF，∴，∵△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高相等，∴，∴．   13.如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． 求证：∽ 若，，求折痕的长． 【答案】证明：四边形是矩形， ， 又沿翻折得到， ， ，， ， ∽； 解：，， ， 在中， ， ， 根据中的结论∽， ，即， 解得， ．  【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换折叠问题，解题的关键是利用翻折的性质得出，，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找边之间的关系． 根据矩形的性质得到，根据翻折变换的性质得到，结合图形利用角之间的互余关系推出，从而根据相似三角形的判定定理证明即可； 根据矩形的性质及翻折变换的性质推出，从而利用勾股定理求得，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可． 14.如图，正方形中，对角线、相交于点，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接． 求证： 求证： 若，求的长． 【答案】证明：连接， 为的中点， ， ，， ≌， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ，， ∽， ， 即； 证明：为的中点， ，又， ， ， 由知， ， ， ∽， 即； 解：， ∽， ， 又， ， ， ．  【解析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定及性质等知识点， 根据三角形中位线的性质，得出，，所以∽，利用相似三角形性质即可得出结果； 判定∽，得出即； 判定∽，所以，即可得出结果， 15. 如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． 求证：∽； 如图，连接． (ⅰ)判断的形状，并说明理由； (ⅱ)求证：． 【答案】证明：是正方形的对角线，， ． ，， ∽，∽， ∽． 解：是等腰直角三角形． 理由：如图，连接． 四边形是正方形， ，． ， ， ， ． ， ∽， ，即． ， ∽， ， 是等腰直角三角形． 证明：如图，连接． ，， ． ， ∽， ，即． 又， ∽， ， 是等腰直角三角形， ∽， ， 即．  16.如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，且． 求的长； 若的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形， ，，， ，， ， ， 为中点， ，即， ， 即， 设，则有，，， ， 解得：， ， ；   (2)，且相似比为， ， ，． ， ． ．   17.已知：如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，作，且，联结． 求证：； 延长交射线于点，求证：． 【答案】证明：四边为正方形， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ≌， ； 如图， 四边为正方形， ， ， 由知，≌， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∽， ， ，， ．  18.在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． 如图，求证：∽； 如图，当为的中点，，时，求的长； 如图，连接，当，分别为，的中点时，直接写出与的数量关系． 【答案】证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ∽； 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ∽， ，即， ， ， ． 解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， 在和中， ≌， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ∽， ， ， ， ．  19.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为          ； 如图，在矩形中，，，点是上的一点．连接，，且，则的值为          ； 如图，在矩形中，若点是上的一点，连接，，且，点是否为的中点？请说明理由． 【答案】(1)1  (2)​​​​​​​  (3)点E是的中点，理由如下： 设，则 如图3，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴E为AD的中点   【解析】  本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 设与的交点为，证明，得；设与的交点为，如图， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在与中 故答案为：   利用两个角相等证明，得，得，继而得解； 如图，设与交于点， 四边形是矩形， ，即 ， 故答案为：，   设，则，利用两个角相等证明，得解题即可； 20.如图，在正方形中，，交、于、，交于、． 求证：； 求证：； 求证： 【答案】证明： 在正方形中，，，    ，  ， 又， ∽，  ，即， 又， ； 连接， ，， ， 又   ∽， ， 即； 同可证∽， ， 又∽， ， 又， ∽， ， 即．  【解析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 先由正方形的性质证明出∽，得出，由于，因此得到； 由正方形的性质可证得∽，再由勾股定理得，于是可得，即； 先证明∽，得出，再证明∽，得出，所以，因此可以证明∽，得出，即． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形与四边形综合证明 1.如图，是上一点， ，求证：∽． 2.如图，是矩形的边上的一点，于点，，， 求的长度． 3.如图，，，在上，、相交于点，且． 若，求的长．求的长． 4.如图，在正方形中，为边上一点，交于点． 求证：∽； 若，，求的长； 在的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长． 5.如图，在中，点在边上，点在边上，且，． 求证：∽； 若，，求的长． 6.如图，是菱形的对角线上的一点，连接并延长，交边于点，连接并延长，交边于点，交的延长线于点． 求证：≌． 已知，设线段的长为，线段的长为． 求与之间的函数解析式； 当时，求线段的长． 7.如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，重足为，点在的延长线上，，重足为， 若，求证：四边形是菱形； 若，的面积为，求菱形的面积． 8.如图，平行四边形的对角线、相交于点，经过，分别交、于点、，的延长线交的延长线于． 求证：； 若，，，求的长． 9.如图，在中，点，分别在边，上，且． 探究四边形的形状，并说明理由； 连接，分别交，于点，，连接交于点，若，，求的长． 10.模型：如图，在正方形中，若，则．   【问题探究】如图，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且试猜想的值，并证明你的猜想． 【知识迁移】如图，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，则           ． 【拓展应用】如图，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且求的值． 11.如图，在正方形中，点是的中点，点在的延长线上，与，分别交于点，，且，，求的长． 12.如图，已知四边形为平行四边形，过点分别作、的垂线，交边、的延长线于点、． 求证：∽； 求证：； 连接，如果，求证：． 13.如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． 求证：∽ 若，，求折痕的长． 14.如图，正方形中，对角线、相交于点，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接． 求证： 求证： 若，求的长． 15.如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． 求证：∽； 如图，连接． (ⅰ)判断的形状，并说明理由； (ⅱ)求证：． 16.如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，且． 求的长； 若的面积为，求四边形的面积． 17.已知：如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，作，且，联结． 求证：； 延长交射线于点，求证：． 18.在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． 如图，求证：∽； 如图，当为的中点，，时，求的长； 如图，连接，当，分别为，的中点时，直接写出与的数量关系． 19.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为          ； 如图，在矩形中，，，点是上的一点．连接，，且，则的值为          ； 如图，在矩形中，若点是上的一点，连接，，且，点是否为的中点？请说明理由． 20.如图，在正方形中，，交、于、，交于、． 求证：； 求证：； 求证： 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 7页 相似三角形与四边形综合证明 1.如图，�是��上一点，�� // ��，∠� = ∠���.求证：△ ���∽△ ���． 2.如图，�是矩形����的边��上的一点，�� ⊥ ��于点�，�� = 3，�� = 2， �� = 1.求��的长度． 3.如图，�� = 4，�� = 6，�在��上，��、��相交于点�，且��/ ​ /��/ ​ /��． (1)若�� = 3，求��的长．(2)求��的长． 4.如图，在正方形����中，�为��边上一点，�� ⊥ ��交��于点�． (1)求证：△ ���∽△ ���； (2)若�� = 4，�� = 3��，求��的长； (3)在(2)的条件下，延长��交��延长线于点�，直接写出��的长． 第 2页，共 7页 5.如图，在△ ���中，点�在��边上，点�在��边上，且�� = ��，∠��� = ∠�． (1)求证：△ ���∽△ ���； (2)若�� = 1，�� = 3，求��的长． 6.如图，�是菱形����的对角线��上的一点，连接��并延长，交边��于点�，连接��并延长，交边��于 点�，交��的延长线于点�． (1)求证：△ ���≌△ ���． (2)已知�� ∶ �� = 1 ∶ 2，设线段��的长为�，线段��的长为�． ①求�与�之间的函数解析式； ②当� = 6 时，求线段��的长． 7.如图，四边形����是菱形，点�为对角线��的中点，点�在��的延长线上，�� ⊥ ��，重足为�，点� 在��的延长线上，�� ⊥ ��，重足为�， (1)若∠��� = 60°，求证：四边形����是菱形； (2)若�� = 4，△ ���的面积为 16，求菱形����的面积． 第 3页，共 7页 8.如图，平行四边形����的对角线��、��相交于点�，��经过�，分别交��、��于点�、�，��的延长线 交��的延长线于�． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = 4，�� = 6，�� = 1，求��的长． 9.如图，在□����中，点�，�分别在边��，��上，且∠��� = ∠���． (1)探究四边形����的形状，并说明理由； (2)连接��，分别交��，��于点�，�，连接��交��于点�，若���� = 2 3，�� = 4，求��的长． 10.模型：如图①，在正方形����中，若�� ⊥ ��，则�� = ��． (1)【问题探究】如图②，在正方形����中，点�，�，�，�分别在线段��，��，��，��上，且�� ⊥ ��. 试猜想 �� ��的值，并证明你的猜想． (2)【知识迁移】如图③，在矩形����中，�� = �，�� = �，点�，�，�，�分别在线段��，��，��，�� 上，且�� ⊥ ��，则���� = ． (3)【拓展应用】如图④，在四边形����中，∠��� = 90°，∠��� = 60°，�� = ��，点�，�分别在线段��， ��上，且�� ⊥ ��.求����的值． 第 4页，共 7页 11.如图，在正方形����中，点�是��的中点，点�在��的延长线上，��与��，��分别交于点�，�，且�� = 2��，�� = 6，求��的长． 12.如图，已知四边形����为平行四边形，过点�分别作��、��的垂线，交边��、��的延长线于点�、�． (1)求证：△ ���∽△ ���； (2)求证：��·�� = ��·��； (3)连接��，如果���� = �� ��，求证： ��2 ��2 = �� ��． 13.如图，在矩形����中，�为��上的一点，把△ ���沿��翻折，使点�恰好落在��边上的点�． (1)求证：△ ���∽△ ���; (2)若�� = 6，�� = 4 3，求折痕��的长． 第 5页，共 7页 14.如图，正方形����中，对角线��、��相交于点�，�为��边的中点，连接��并延长交��的延长线于点 �，交��于点�，连接��交��于点�，连接��． (1)求证：�� = 2��; (2)求证：���� = �� �� ; (3)若�� = 4，求��的长． 15.如图 1，在正方形����中，∠��� = 45°，��，��与对角线��分别交于点�，�，与边��，��分别交 于点�，�． (1)求证：△ ���∽△ ���； (2)如图 2，连接��． (ⅰ)判断△ ���的形状，并说明理由； (ⅱ)求证：��·�� = ��·��． 第 6页，共 7页 16.如图，在平行四边形����中，对角线��、��交于点�，�为��中点，连接��交��于点�，且�� = 1． (1)求��的长； (2)若▵ ���的面积为 4，求四边形����的面积． 17.已知：如图，在正方形����中，点�在对角线��的延长线上，作�� ⊥ ��，且�� = ��，联结��． (1)求证：�� = ��； (2)延长��交射线��于点�，求证：���� = �� ��． 18.在矩形����中，点�，�分别在边��，��上，将矩形����沿��折叠，使点�的对应点�落在边��上， 点�的对应点为点�，��交��于点�． (1)如图 1，求证：△ ���∽△ ���； (2)如图 2，当�为��的中点，�� = 2，�� = 3 时，求��的长； (3)如图 3，连接��，当�，�分别为��，��的中点时，直接写出��与��的数量关系． 第 7页，共 7页 19.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图 1，在正方形����中，点�，�分别是��，��上的两点，连接��，��，�� ⊥ ��，则����的值为 ； (2)如图 2，在矩形����中，�� = 8，�� = 6，点�是��上的一点．连接��，��，且�� ⊥ ��，则����的值 为 ； (3)如图 2，在矩形����中，若���� = 2.点�是��上的一点，连接��，��，且�� ⊥ ��，点�是否为��的 中点？请说明理由． 20.如图，在正方形����中，∠��� = 45∘，交��、��于�、�，交��于�、�． (1)求证：��2 = �� ⋅ ��； (2)求证：�� = 2��； (3)求证：�� = 2�� 相似三角形与四边形综合证明答案解析 1.如图，是上一点，川，4=∠ 求证：△∽△ 【答案】证明：/， ·∠ =∠· ∠=∠ △∽△， 2.如图，是矩形 的边上的一点，1于点，=3，=2， =1.求的长度. D E B 【答案】解：四边形 是矩形， ==3,∠ =∠=90°， ∠+∠ =90°. =1, =V2+7=√10 ∠ =90°=∠，∠ +∠=90°， :∠ =∠ △ △ 一=一， 即=， 2 0 ,故D的长度为严 第1页，共24页 3.如图， =4,=6,在上，、相交于点，且////. (1)若 =3,求的长 (2)求的长. 【答案】解：(1)//， △ ∽△ C =— E =4, =6, =3, ,三=各解得： B D (2)://, ÷△ n△ 同理：一=一 “一+一=一+一=+=一=1， =4, =6, 6+4=1, 解得： =号 4.如图，在正方形 中，为边上一点，上交于点· (1)求证：△ n△： (2)若=4，=3，求的长： (3)在(2)的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长. D 【答案】(1)证明：四边形 为正方形， “∠=∠=90°， .∠ =90°， B G ∠ +∠ =∠ +∠=90°， ·∠ =∠ .△∽△ (2)解：四边形 为正方形， = = 第2页，共24页 =4, =3, = =1, △∽△ ǎ4=4 1 =2. (3)解：四边形 为正方形， ÷1/, ∠ =∠. L △ ∽△ 一=一 ￥=3， 2= =6, =V2+2=V62+32=35 5.如图，在△ 中，点在边上，点在边上，且=，上=∠· E B (1)求证：△∽△： (2)若=1，=3，求的长. 【答案】(1)证明：：=， s∠ =∠， 又：∠+∠=180°，∠+∠ =180°， ∠=， 第3页，共24页 又∠= △∽△ (2)解：由(1)可知，△∽△， “一=一， =1, =3, =4, 将AE、AC的值代入上式，得：2=×=4，故=2， 又：= =2 6.如图，是菱形 的对角线上的一点，连接并延长，交边于点，连接并延长，交边于 点，交的延长线于点， E B (1)求证：△2△ (2)已知： =1:2,设线段的长为，线段的长为， ①求与之间的函数解析式： ②当=6时，求线段的长 【答案】(I):四边形ABCD是菱形， AB=AD=BC,AC平分∠DAB.÷∠BAP=∠DAP. 在△APB和△APD中 ,÷△APB≌△APD (2)①：四边形ABCD是菱形， AB∥CD,AD∥BC,AD=BC.△AFP∽△CBP.-=一. DF:FA=1:2,AF:BC=AF:AD=AF:(DF+AF)=2:3. -=子由(1)，易知BP=PD=x.FP= 第4页，共24页 。=子即=号，“y与x之同的函数解析式为=号 ②当x=6时， =号x6=4.FB=FP+P8=10. DG∥AB,÷△DFG∽△AFB. -=一=克：=×10=5.线段FG的长为5 7.如图，四边形 是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，上，重足为，点 在的延长线上， 上，重足为， (1)若∠=60°，求证：四边形 是菱形： (2)若=4，△ 的面积为16，求菱形 的面积. 【答案】解：(1)四边形 是菱形，上 =60°， ÷L=4 =∠30°， :为对角线的中点， =月 ”∠ =30°， = 四边形 是菱形： (2):⊥，=4，△ 的面积为16， =8, =√Γ2+z=4V5, 连接，则上， =2W5, ∠ =∠ =90°，∠=∠， ÷△∽△ 第5页，共24页 =25 8 =√5， =2 =25, 菱形 的面积=号 =×2V5×4W5=20. 8.如图，口 的对角线 、相交于点，经过，分别交、于点、， 的延长线交的 延长线于， (1)求证： (2)若 =4, =1,求的长. DF =6, 【答案】(1)证明：四边形 是平行四边形， =，//，=, ∠ =∠ 在△ 和△ 中， =∠ =∠ △ () = (2)过点作//交于， 则△ ∽△ =, =2, =3. △ ∽△ 一=一， 解得， =1. 9.如图，在口 中，点，分别在边，上，且∠=∠· (1)探究四边形 的形状，并说明理由： 第6页，共24页 (②)连接，分别交，于点，，连接交于点，若一=骨 =4,求的长. 【答案】(I)四边形BEDF为平行四边形.理由如下：~四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=∠ADC.~∠ABE =∠CDF,÷∠EBF=∠EDF.~四边形ABCD为平行四边形，AD//BC,LEDF=∠DFC=∠EBF,BEII DF.· 四边形BEDF为平行四边形， 2)设AG=2a,”-=号0G=3a,40=5a.:四边形ABCD为平行四边形，40=C0=5a,AC=10a, CG=8a.:4D/BC,△AGEn△CGB,。-=-=子AB=4,BC=16. 10. 模型：如图①，在正方形中，若上，则=。 ①F 3 ④ (1)【问题探究】如图②，在正方形 中，点，，，分别在线段，，，上，且上. 试猜想一的值，并证明你的猜想。 (2)【知识迁移】如图③，在矩形 中， =，点，，，分别在线段 上，且上，则一= (3)【拓展应用】如图④，在四边形 中，∠=90°，∠ =60°，=，点，分别在线段， 上，且1求一的值。 【答案】(I)一=1.证明：如图①，过点A作AMII HF交BC于点M,作ANII EG交CD的延长线于点N, :四边形ABCD是正方形，ABI/CD,AD//BC,:四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边 形，∴AM=HF,AN=EG.在正方形ABCD中，AB=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°.：EG⊥FH,÷∠NAM =90°，÷LBAM=∠DAN,在△ABM和△ADN中，∠BAM=LDAN,AB=AD,∠ABM=∠ADN, ÷△ABM≌△ADN(ASA),AM=AN,即EG=FH,一=1. 第7页，共24页 N D H G E B M ① (2) (3)r∠ABC=60°，AB=BC,÷△ABC是等边三角形，÷设AB=BC=AC=a.如图③，过点C作CNLAB, 垂足为N,交BF于点M,则==专·在R△BCN中， √2-2= √2-)- E.CNLAB,CELBF,÷∠ABF+∠BMN=90°，∠ECNH∠CMF=90°.又：LCMF=∠BMN, 1BF=ECN.:CNLB,∠DAB=90,DAB=LCNE=90,△NCEn△ABR,A-=一，即-=是 3 N G ③ M ②2 2.如图@，过点作∥交于点，作/川交的延长线于点，四边形 是矩形， 川，四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，“ =。在矩形 中， =∠=∠ =90°.y1,∠ =90°，÷∠ =∠ △ U∽△ 3.略 第8页，共24页 11. 如图，在正方形 中，点是的中点，点在的延长线上，与，分别交于点，，且=2， =6,求的长. 【答案】解：四边形 是正方形，÷/，4=90°，== =6. 点是的中点，。=3在△中， =6,=3, 由勾股定理得=V2+2=√32+6夜=3√5. ∽△ =2，÷ =3=+ =3+3=6. /,∴△∽△ 即一=6=1， 6 =5. 12.如图，已知四边形 为平行四边形，过点分别作、的垂线，交边、的延长线于点、· (1)求证：△ ∽△： (2)求证：· = (3)连接，如果一=一，求证：=一 【答案】(I)证明四边形ABCD是平行四边形，CDil AB,ADll BC,LCDE=∠DAB,LCBF=∠DAB, ∠CDE=∠CBF.CE⊥AE,CFLAF,∠CED=∠CFB=90°，÷△CDE∽△CBF. 第9页，共24页 (2)r△CDE∽△CBF,一=一，四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD,CD=AB,一=一，ADDE =ABBF. (3)如图， D -=一，∠CED=∠CFA=90°，R△ACF∽RACDE,又：△CBF∽△CDE,△ACF∽△CBF,&= (一=子△4CF的边4F上的高与△CBF的边F上的高相等，合一一=一 13.如图，在矩形 中，为上的一点，把△沿翻折，使点恰好落在边上的点· A D B (1)求证：△∽△： (2)若 =6, =4V3,求折痕的长. 【答案】(1)证明：~四边形 是矩形， d∠=∠=∠=90°， 又△ 沿 翻折得到△ ∠=∠ =90°， ￥∠ +∠ =90°，∠+∠ =90°， ∠=∠ △ n△： (2)解：=6，=4v3, ÷===4V3, 第10页，共24页