精品解析：甘肃省天水市麦积区城区学校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024−2025学年度上学期第二次 月考试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 给出下列实数：（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 如图，在数轴上表示的点可能是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使展开式中不含项，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，为边上的中点，若，则的度数为（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若实数a、b满足，则 C. 内错角相等，两直线平行 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 7. 若a、b、c表示的三条边长，且满足，则一定是（ ）三角形． A. 直角 B. 三条边都不相等的 C. 等腰 D. 等边 8. 如图，中，是的角平分线，交于，，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点P在线段上，以速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线上运动，且．若与全等，则点P运动的时间为（ ） A. 4s B. 2s C. 2s或3s或4s D. 2s或4s 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则______． 12. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 13. 已知，则的值为_________． 14. 若a2－b2＝1，a－b＝，则a＋b的值为________． 15. 如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 16. 如图，已知，点C、E、D、F共线，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共46分） 17. 计算与化简： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 因式分解： （1） （2） 20. 如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 21. 如图，已知，，与相交于点，求证：． 22. 如图，中，的平分线交于O点，过O点作交于E、F．求证：． 四、解答题 23. 已知：如图，是等边一边上的高，延长至E．使．则与有怎样的数量关系，并说明理由． 24. 已知：，，，求证： （1）； （2）． 25. 如图，在中，，点分别是边上的点，且，，，求的度数． 26. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：∵， ∴，． ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，求的值 （2）如图，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为16，求的面积． 27. 如图，已知在中，，，分别过点B、C向过A的直线l作垂线，垂足分别为H、G． （1）如图1，直线l与斜边不相交时，求证：； 变式：（2）如图2，直线l与斜边相交时，其他条件不变，猜想、、之间的关系并证明你的猜想． 应用：（3）地面上有一根旗杆．小明两次拉住从顶端垂下的绳子至、的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.8m和2.3m，则H、G两点的高度差即的长为 m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度上学期第二次 月考试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 给出下列实数：（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分数的定义，实数，平方根，解题的关键是熟练掌握分数的定义和平方根．根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：， ∴（每相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，共3个； 故选：A． 2. 如图，在数轴上表示的点可能是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 【答案】C 【解析】 【分析】先判断再结合数轴，从而可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴在数轴上表示的点可能是点， 故选C 【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，逐一验证各选项的运算是否正确，依据代数运算法则进行判断即可. 【详解】A、根据完全平方公式，，而选项A缺少项，故错误； B、单项式乘法：系数相乘，字母部分按同底数幂相乘法则计算； ，与选项B一致，故正确； C、与不是同类项，无法直接相减，故错误； D、同底数幂相除法则：，而选项D结果为，故错误； 故选B 4. 要使展开式中不含项，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可． 【详解】解：（x2-x+5）（2x2-ax-4） =2x4-ax3-4x2-2x3+ax2+4x+10x2-5ax-20 =2x4-（a+2）x3+（a+6）x2+（4-5a）x-20， ∵展开式中不含x2项， ∴a+6=0， ∴a=-6， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解答的前提，令x的二次项的系数为0是正确解答的关键． 5. 如图，在中，，为边上的中点，若，则的度数为（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得结论. 【详解】解：∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠BAC＝2∠BAD＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝（180°−∠BAC）＝70°， 故选：A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若实数a、b满足，则 C. 内错角相等，两直线平行 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题真假的判断，根据对顶角的含义，等式的性质，平行线的性质，三角形的分类，逐一判断即可． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意； B、若实数，满足，则，故错误，是假命题，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，故正确，是真命题，符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 7. 若a、b、c表示的三条边长，且满足，则一定是（ ）三角形． A. 直角 B. 三条边都不相等的 C. 等腰 D. 等边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用．熟练掌握利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用是解题的关键．由题意知，，由，可得，则一定是等腰三角形，然后判断作答即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c表示的三条边长， ∴， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形， 故选：C． 8. 如图，中，是的角平分线，交于，，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，运用三角形的外角性质求出的度数是解决问题的关键．由三角形的外角性质得出，由角平分线的定义求出，再由平行线的性质得出同旁内角互补，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 9. 如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠F，再证明CB=FE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 即， 当添加，即时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 10. 如图，，点P在线段上，以速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线上运动，且．若与全等，则点P运动的时间为（ ） A. 4s B. 2s C. 2s或3s或4s D. 2s或4s 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， ∵点P的速度为， ∴（s）； 当时，当， ∵点P的速度为， ∴（s） 故选：D． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据平方根的性质解方程，根据平方根的定义直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长． 【详解】解：当腰长为2，底边为5时，∵，不满足三角形三边关系，故无效； 当腰长为5，底边为2时，∵，，满足三边关系， ∴周长为， 故答案为：12． 13. 已知，则的值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】用n表示出m，得，将m代入到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ． 故答案为：16 【点睛】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法，正理解同底幂的乘法法则是解题的关键． 14. 若a2－b2＝1，a－b＝，则a＋b的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由a2－b2＝1可得（a+b）（a-b）=1，结合，a－b＝求解即可． 【详解】a2-b2=1，即（a+b）（a-b）=1， 因为a－b＝， 所以a+b=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 15. 如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，若点P在上， ∵， ∴，此时顶角为； ②∵， ∴， 点P在上时， 如图2，若，顶角为； 如图3，若，顶角为； 若，顶角为； 综上所述，顶角为或或． 16. 如图，已知，点C、E、D、F共线，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键．根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（共46分） 17. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，积的乘方计算，单项式乘以多项式： （1）先计算乘方和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【解析】 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简的式子即可解答本题． 【详解】解：原式= = = 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法． 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，先根据等边对等角得出，，再根据三角形的外角得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角， ， ． 21. 如图，已知，，与相交于点，求证：． 【答案】 证明： ∵， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解． 22. 如图，中，的平分线交于O点，过O点作交于E、F．求证：． 【答案】 证明：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义．利用平行和角平分线得到，，可得出结论． 【详解】略 四、解答题 23. 已知：如图，是等边一边上的高，延长至E．使．则与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】 ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形三线合一以及等腰三角形的性质进行判断和证明，灵活运用等边三角形的性质知识点进行解本题的重点．根据等边三角形的性质，再根据三线合一的性质推出，结合已知推出，进而得到，即可得出结论． 【详解】略 24. 已知：，，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2） 证明：由（）得：， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据已知利用即可判定； （）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到，从而不难求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 25. 如图，在中，，点分别是边上的点，且，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等边对等角，先由等边对等角得到，再由三角形外角的性质推出，据此证明，则可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 26. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：∵， ∴，． ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，求的值 （2）如图，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为16，求的面积． 【答案】（1）7 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据，求出，，再根据完全平方公式的变形计算即可； （2）设，根据完全平方公式的变形计算可得的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 设， ∴，， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． 27. 如图，已知在中，，，分别过点B、C向过A的直线l作垂线，垂足分别为H、G． （1）如图1，直线l与斜边不相交时，求证：； 变式：（2）如图2，直线l与斜边相交时，其他条件不变，猜想、、之间的关系并证明你的猜想． 应用：（3）地面上有一根旗杆．小明两次拉住从顶端垂下的绳子至、的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.8m和2.3m，则H、G两点的高度差即的长为 m． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ， ， ，， ； （2），理由如下， ，， ， ， ， ， ，， ，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）求出，推出，，即可得出答案； （2）求出，推出，，即可得出答案； （3）先证明，得出，，求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $