专题04 几何图形初步（考点串讲，5大考点+9大题型突破+6大易错）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 专题04 几何图形初步 沪科版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析 六大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 两点确定一条直线 易错1 线段、角的和差关系在计算中的应用 1. 【情境题·方案策略型】如图，某公司员工住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有15人， C 区有10人.三个住宅区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打算在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站的位置应设在哪个区？ 易错题型 解：当停靠站设在 A 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4 500(m). 当停靠站设在 B 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×100＋15×0＋10×200＝5 000(m). 当停靠站设在 C 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12 000(m). 因为4 500＜5 000＜12 000，所以停靠站的位置应设在 A 区. 2. [2024淮北第二中学月考]如图，已知∠ BOC ＝3∠ AOB ， OD 平分∠ AOC ，且∠ BOC ＝120°，求∠ BOD 的度数. 解：因为∠ BOC ＝3∠ AOB ，∠ BOC ＝120°， 所以∠ AOB ＝ ×120°＝40°. 所以∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＝120°＋40°＝160°. 因为 OD 平分∠ AOC ， 所以∠ AOD ＝ ×∠ AOC ＝ ×160°＝80°. 因为∠ BOD ＝∠ AOD －∠ AOB ， 所以∠ BOD ＝80°－40°＝40°. 易错2线段、角的倍分关系在计算中的应用 3. 【新考法·分类讨论法】如图所示，数轴上有两点 A ， B ，动点 P 从点 O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 t 秒. (1)线段 AB 的长为 ⁠； 8　 (2)当 t ＝1时，线段 PA 的长是 ；此时线段 PA 与线段 PB 的数量关系是 ⁠； (3)当 PA ＝2 PB 时，求 t 的值. 解：(3)如图①，当点 P 在点 B 左侧时， 4　 相等　 ① 根据题意可得，2 t ＋2＝2(6－2 t )，解得 t ＝ . 如图②，当点 P 在点 B 右侧时， ② 根据题意可得，2 t ＋2＝2(2 t －6)，解得 t ＝7. 综上， t 的值为 或7. 4. [2024烟台期末]如图，将直角三角板 OMN 的直角顶点 O 放在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AON . (1)当∠ BON ＝60°时，求∠ COM 的度数； 解：(1)30°. (2)若∠ AOM ＝2∠ COM ，求∠ AON 的度数. 解：(2)135°. 易错3 线段的中点在计算中的应用 5. [2024温州一模]已知点 C 为线段 AB 上一动点，点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点. (1)如图，若线段 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，求线段 DE 的长； 解：(1)因为 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm， 所以 BC ＝ AB － AC ＝6(cm). 因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点， 所以 CE ＝ CB ＝3 cm， DC ＝ AC ＝2 cm， 所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝2＋3＝5(cm). (2)若线段 AB 的长为 a ，则线段 DE 的长为 (用含 a 的代数式表示). 点拨：因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，所以 CE ＝ CB ， DC ＝ AC . 因为 AB ＝ a ，所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝ ( AC ＋ BC ) ＝ ＝ . 　 易错4 角平分线在计算中的应用 6. 【新趋势·学科内综合】已知：∠ AOB ＝120°，∠ COD ＝90°， OE 平分∠ AOD . (1)如图①，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 内部时，若∠ COE ＝40°，求∠ BOD 的度数； 解：(1)因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝40°， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－40°＝50°. 因为 OE 平分∠ AOD ， 所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝100°. 因为∠ AOB ＝120°， 所以∠ BOD ＝∠ AOB －∠ AOD ＝120°－100°＝20°. (2)如图②，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 外部，且0°＜∠ BOD ＜60°时，设∠ COE ＝α，∠ BOD ＝β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明. 解：(2)数量关系：2α＋β＝60°. 证明：因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝α， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－α. 因为 OE 平分∠ AOD ， 所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝2(90°－α)＝180°－2α. 因为∠ AOB ＝120°， 所以β＝∠ AOD －∠ AOB ＝180°－2α－120° ＝60°－2α，即2α＋β＝60°. 易错5 分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 7. [2024成都期末]点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段 OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点. (1)点 B 表示的数为 ⁠； (2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ⁠； －1　 2或16　 (3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表示). 解：(3)①当点 C 在点 A 的右侧(或重合)时，如图①， ① 则点 C 表示的数为5＋ x . 因为 M 为线段 OC 的中点， 所以点 M 表示的数为 . 所以 BM ＝ －(－1)＝ . ②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为5－ x ， 所以点 M 表示的数为 . ⅰ)若点 M 在点 B 的右侧(或重合)，如图②，则 BM ＝ －(－1)＝ . ② ⅱ)若点 M 在点 B 的左侧，如图③，则 BM ＝－1－ ＝ . ③ 8. [2024怀化模拟]如图，已知点 O 在直线 AB 上，作射线 OC ，点 D 在平面内，∠ BOD 与∠ AOC 互余. (1)若∠ AOC ∶∠ BOD ＝4∶5，则∠ BOD ＝ ⁠； 50°　 (2)若∠ AOC ＝α(0°＜α≤45°)， ON 平分∠ COD ，补全图形，求出∠ AON 的值(用含α的式子表示). 解：(2)因为∠ BOD 与∠ AOC 互余， 所以∠ BOD ＋∠ AOC ＝90°. 当点 D 在∠ BOC 内，0°＜α≤45°时，补全图形如图①. 则易知∠ COD ＝90°. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°. 所以∠ AON ＝α＋45°. ① ② 当点 D 在∠ BOC 外，0°＜α≤45°时，补全图形如图②. 易知∠ BOD ＝90°－α. 因为∠ AOB ＝180°， 所以∠ AOD ＝180°－(90°－α)＝90°＋α. 所以∠ COD ＝90°＋2α. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°＋α. 所以∠ AON ＝∠ CON －∠ AOC ＝45°. 综上所述，∠ AON 的值为45°或α＋45°. 易错6 整体思想在线段和角的计算中的应用 9. 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点. (1)如果 AB ＝10 cm， AM ＝3 cm，求 CN 的长； 解：(1)因为 M 是 AC 的中点，所以 AC ＝2 AM . 因为 AM ＝3 cm，所以 AC ＝2×3＝6(cm). 因为 AB ＝10 cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝10－6＝4(cm). 又因为 N 是 BC 的中点， 所以 CN ＝ BC ＝ ×4＝2(cm). (2)如果 MN ＝6 cm，求 AB 的长. 解：(2)因为 M 是 AC 的中点，所以 MC ＝ AC . 因为 N 是 BC 的中点，所以 CN ＝ CB . 所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ CB ＝ ( AC ＋ CB )＝ AB . 又因为 MN ＝6 cm，所以 AB ＝2×6＝12(cm). 10. [2024苏州二模]已知， OM 和 ON 分别平分∠ AOC 和∠ BOC . (1)如图，若 C 为∠ AOB 内一点，探究∠ MON 与∠ AOB 的数量关系； 解：(1)∠ MON ＝ ∠ AOB . (2)若 C 为∠ AOB 外一点，且 C 不在 OA ， OB 的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠ MON 与∠ AOB 的数量关系. 解：(2)当 C 在如图①所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB . 当 C 在如图②所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB . 当 C 在如图③所示的位置时，∠ MON ＝180°－ ∠ AOB . ① ② ③ 1. [2024·广州番禺区期末]已知∠ A ＝53°17'，则它的补角是(　D　) A. 36°43' C. 127°17' B. 53°17' D. 126°43' D 押题预测 2. [2024湖北襄阳期末]如图， OA 表示北偏东20°方向的一条射线， OB 表示南偏西50°方向的一条射线，则∠ AOB 的度数是(　D　) A. 100° B. 120° C. 140° D. 150° D 3. [新考向·地域文化 2024·保定竞秀区期末]“这么近，那么美，周末到河北.”庆都山－唐尧古镇是唐尧故里，拥有厚重的历史沉淀，携带着古韵质朴的气息，见证着时光变换的风情画卷.为了行人便利，某十字路口设俯视示意图如图.若想走近路，在从位置 A 到位置 C 的两条路径“ A → C ”和“ A → B → C ”中，你会选择路径 ⁠，选择的依据是 ⁠. A → C 　 两点之间线段最短　 4. [2024南京期末]如图，线段 BD ＝ AB ＝ CD ，点 E ， F 分别是线段 AB ， CD 的中点， EF ＝14 cm，求线段 AC 的长. 解：因为 BD ＝ AB ＝ CD ， 所以设 BD ＝ x cm， 则 AB ＝4 x cm， CD ＝5 x cm.所以易知 AC ＝8 x cm. 又因为点 E ， F 分别是线段 AB ， CD 的中点， 所以 AE ＝ AB ＝2 x cm， FC ＝ CD ＝ x cm. 又因为 EF ＝14 cm， AC － AE － FC ＝ EF ， 所以8 x －2 x － x ＝14， 解得 x ＝4. 所以 AC ＝32 cm.