5.4.1二项式定理的推导课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章 基本计数原理 5.4.1 二项式定理的推导 高中数学 北师大版高中数学选择性必修一 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 北师大版高中数学选择性必修一 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式，并能解决简单问题. @demon 和盘托出 北师大版高中数学选择性必修一 二项式定理的理解 一 探究1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式： (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.试用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ @demon 三学理解 北师大版高中数学选择性必修一 5 探究2 你能根据上述问题的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？类比上面的写法，你能写出(a＋b)n的展开式吗？ 知识梳理 (1)这个公式称为二项式定理. (2)展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有________项. n＋1 k＋1 7 温馨提示 例1 9 √ (2)设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于 A.(x－1)3 B.(x－2)3 C.x3 D.(x＋1)3 10 二项式定理的正逆用 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式会出现正负项间隔的情况.对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 思维升华 训练1 12 14 二项展开式通项的应用 二 例2 由已知得二项式通项为 16 设展开式中的第k＋1项为含x3的项， 17 思维升华 训练2 19 (2)求展开式的第4项的系数； (3)求展开式的第4项. 与展开式中特定项有关的问题 三 例3 √ 22 √ 23 √ 24 训练3 √ 25 √ 1、背诵记忆二项式定理 2、背诵记忆二项式的展开式、系数、通式等性质 @demon 强化记忆 北师大版高中数学选择性必修一 √ @demon 应用练习 北师大版高中数学选择性必修一 28 √ 29 30 60 31 1、把课堂检测习题同桌互批，各组长将检测结果汇总交给老师 2、强化记忆内容没有记住的学生继续进行强化记忆 @demon 检测总结 北师大版高中数学选择性必修一 0号作业：牢记强化记忆内容 1号作业：课本P176 练习1、2、3 2号作业：课本P174 练习4、A组1、2、3 作业布置 北师大版高中数学选择性必修一 提示　从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0，1，2)的形式.而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C， 即a2－kbk的系数是C. 提示　(a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3. (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn. Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第________项称为二项式通项，记作Tk＋1＝_____________. Can－kbk 二项式定理 (a＋b)n＝______________________________________________，可以简写成(a＋b)n＝Can－kbk. (1)每一项中a与b的指数和为n； (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止； (3)a与b的位置若交换，展开式形式变化； (4)Can－kbk表示的是第(k＋1)项； (5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可化为两项后再解决问题. (1)(链接教材P181复习题五B组T5)用二项式定理展开(2x＋)4＝ ________________________. (2x＋)4＝C(2x)4()0＋C(2x)3·()1＋C(2x)2()2＋C(2x)1()3＋ C(2x)0·()4＝16x4＋32x＋24x3＋8x＋x2. 164+32+24 3+8+2 S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1 ＝C(x－1)3×10＋C(x－1)2×1＋C(x－1)×12＋C×13＝[(x－1)＋1]3＝x3. 求的展开式. 法一　 ＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C ＝81x2＋108x＋54＋＋. ＝ ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. 法二　＝＝(1＋3x)4 (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋ C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋ C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. Tk＋1＝C(2)6－k· ＝26－kC·(－1)k·x3－， ∴T6＝26－5C·(－1)5·x3－×5＝－12x－. ∴第6项的二项式系数为C＝6， 第6项的系数为－12. (1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； 则Tk＋1＝Cx9－k·＝(－1)k·C·x9－2k， 令9－2k＝3，得k＝3， 即展开式中第4项含x3， 其系数为(－1)3·C＝－84. (2)(链接教材P176例4)求的展开式中x3的系数. 二项展开式通项的应用的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求项的系数或二项式系数. 已知二项式. (1)求展开式的第4项的二项式系数； 的展开式的通项是 Tk＋1＝C(3)10－k ＝C310－k·x(k＝0，1，2，…，10). (2)展开式的第4项的系数为C37＝－77 760. (3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760. 展开式的通项 Tk＋1＝C(x2)6－k＝Cx12－3k， 令12－3k＝0，解得k＝4. 所以常数项为C＝. (1)的展开式中，常数项是 A.－ B. C.－ D. 的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝(－1)raCx6－3r.令6－3r＝0，解得r＝2，则常数项为(－1)2aC＝60，解得a＝4.故选A. (2)若的展开式的常数项为60，则实数a的值为 A.4 B.2 C.8 D.6 的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝(－1)raCx6－3r.令6－3r＝0，解得r＝2，则常数项为(－1)2aC＝60，解得a＝4.故选A. (2)若的展开式的常数项为60，则实数a的值为 A.4 B.2 C.8 D.6 (1)在(x－)6的展开式中，x3的系数为 A.－40 B.40 C.－40 D.40 (x－)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·(－)r，令6－r＝3，解得r＝3，则x3的系数为C(－)3＝－40.故选A. 的展开式的通项是 Tk＋1＝C·x10－k·＝C·x10－2k， 的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C. 因为(x2－a)的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及－a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2. (2)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于 A. B. C.1 D.2 1.的展开式中含x3项的二项式系数为 A.－10 B.10 C.－5 D.5 展开式的通项为 Tk＋1＝Cx5－k＝(－1)kCx5－2k， 令5－2k＝3，得k＝1， ∴含x3项的二项式系数为C＝5. 2.(2x＋a)5(其中a≠0)的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则实数a的值为 A.± B. C.－2 D.2 (2x＋a)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－rar＝25－rarCx5－r.因为x2的系数与x3的系数相同，所以22a3C＝23a2C，即4a3＝8a2，又a≠0，所以a＝2，故选D. 3.二项式展开式中，含的项是________. Tk＋1＝C(2x)7－k· ＝C·27－k·x7－2k， 令7－2k＝－1，∴2k＝8，k＝4， ∴含的项是C23·x－1＝. 4.的展开式中x2y4的系数为______. 的展开式的通项为Tr＋1＝C(2y)r＝22r－6Cx6－ryr.令r＝4，得T5＝60x2y4.故x2y4的系数为60. $$