第五章一元一次方程单元微专题复习（4大专题）2024-2025学年北师大版数学七年级上册

一元一次方程单元微专题复习 一、微专题一：一元一次方程的概念 （一）基础题 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程 是关于 的一元一次方程，则 （ ） A. 3 B. -3 C. 3 或 -3 D. 2 3. 若关于 的方程 是一元一次方程，则 （ ）， （ ）。 4. 关于 的方程 ，当满足（ ）条件时，它是一元一次方程。 （二）中档题 1. 已知方程 是一元一次方程，求 的值，并确定方程的形式。 2. 若方程 是一元一次方程，求 ， 的值可能有几种情况，并分别列出。 3. 若关于 的方程 是一元一次方程，且 是该方程的解，求 ， 的值。 （三）提升题 已知关于 的方程 是一元一次方程，求 的值，并化简该方程求解。 二、微专题二：一元一次方程的解法 （一）基础题 1. 解方程：。 2. 解方程：。 3. 解方程：。 4. 解方程：。 （二）中档题 1. 解方程：。 2. 解方程：。 3. 解方程：。 （三）提升题 解方程： 三、微专题三：一元一次方程的应用（行程问题） （一）基础题 1. 甲、乙两人从相距 米的两地同时出发，相向而行，甲每分钟走 米，乙每分钟走 米，经过几分钟两人相遇？ 2. 一辆汽车以每小时 千米的速度行驶，行驶了 小时后，距离目的地还有 千米，问总路程是多少千米？ 3. 甲、乙两人在环形跑道上跑步，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，两人同时同地同向出发，经过 分钟乙第一次追上甲，问环形跑道长多少米？ 4. 某人骑自行车从 A 地到 B 地，若每小时行 千米，可比预定时间早到 分钟；若每小时行 千米，则比预定时间迟到 分钟。求 A、B 两地的距离。 （二）中档题 1. A、B 两地相距 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车速度为每小时 千米，乙车速度为每小时 千米，两车相遇后继续行驶，当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有多少千米？ 2. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的速度的 倍，两人相遇后继续前行，各自到达 B、A 两地后立即返回，第二次相遇点距第一次相遇点 千米，求 A、B 两地的距离。 3. 一列火车匀速行驶，经过一条长 米的隧道需要 秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 秒，求火车的长度。 （三）提升题 甲、乙两人在一条长为 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟 米，乙的速度是每分钟 米。两人同时同地同向出发，当甲第一次追上乙后，甲立即反向奔跑，两人第二次相遇时，甲跑了多少米？ 四、微专题四：一元一次方程的应用（工程与销售问题） （一）基础题 1. 一项工程，甲单独做需要 天完成，乙单独做需要 天完成，两人合作需要几天完成？ 2. 某商品进价为 元，售价为 元，求这件商品的利润是多少元？利润率是多少？ 3. 一件商品标价为 元，打七五折销售后仍获利 元，求该商品的进价。 4. 一项工程，甲队单独做 天完成，乙队单独做 天完成，甲队先做了 天，然后乙队加入一起做，还需要几天完成？ （二）中档题 1. 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管 小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开， 小时可注满一池水；甲、丙两管齐开， 小时注满一池水。现把三管一起开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后 小时水池注满。问三管齐开了多少小时？ 2. 某商场将一种商品按进价的 加价后定价，然后写上“酬宾，按定价的八折出售”，结果每件商品仍获利 元，这种商品的进价是多少元？ 3. 一项工程，甲单独做需要 天完成，乙单独做需要 天完成，丙单独做需要 天完成。开始时三人合作，中途甲因事离开，由乙、丙继续合作完成剩下的工程，结果共用了 天完成全部工程。甲工作了几天？ （三）提升题 某商店有两种进价不同的商品都卖了 元，其中一个盈利 ，另一个亏损 。在这次买卖中，这家商店是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？如果两种商品的销售量相同，要使总盈利不少于 元，销售量至少为多少？ 一元一次方程单元微专题复习 一、微专题一：一元一次方程的概念 （一）基础题 1. 答案：B。一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的整式方程。A 选项未知数次数是 2；C 选项有两个未知数；D 选项不是整式方程。 2. 答案：A。因为方程是一元一次方程，所以且，由得，即或，又因为，所以，则。 3. 答案：，。因为方程是一元一次方程，所以且，解得，。 4. 答案：。当时，方程是一元一次方程。 （二）中档题 1. 因为方程是一元一次方程，所以且，由得，即或，又因为，所以，则，方程为。 2. 因为方程是一元一次方程，所以有两种情况： - 当且时，解得，，方程为。 - 当且时，解得，为任意实数，方程为（舍去，不是一元一次方程）。 3. 因为方程是一元一次方程，所以且，解得。把，代入方程得，，解得。 （三）提升题 因为方程是一元一次方程，所以且，解得。原方程化简为，方程两边同时乘以得，，解得。 二、微专题二：一元一次方程的解法 （一）基础题 1. 移项得，即，解得。 2. 先展开括号得，移项得，合并同类项得。 3. 先去分母，方程两边同时乘以得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 4. 先移项得，即，方程两边同时乘以得，移项得，合并同类项得，解得。 （二）中档题 1. 方程两边同时乘以得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 2. 先展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 3. 方程两边同时乘以得，展开括号得，移项得，合并同类项得（无解）。 （三）提升题 先去括号，，，移项得，合并同类项得，解得。 三、微专题三：一元一次方程的应用（行程问题） （一）基础题 1. 设经过分钟两人相遇，根据路程和等于两地距离，可得，，解得分钟。 2. 已知速度和行驶时间，根据路程 = 速度×时间，汽车行驶的路程为千米，总路程为千米。 3. 设环形跑道长米，因为乙第一次追上甲时，乙比甲多跑了一圈，可得，，即环形跑道长米。 4. 设预定时间为小时，分钟=小时，分钟=小时。根据路程相等可得，，，，解得小时。则 A、B 两地距离为千米。 （二）中档题 1. 两车相遇时间为小时。相遇时甲行驶的路程为千米，乙行驶的路程为千米。甲到达 B 地还需时间为小时，这小时乙行驶的路程为千米，所以乙车距离 A 地还有千米。 2. 设乙的速度为千米/小时，则甲的速度为千米/小时，设 A、B 两地距离为千米。第一次相遇时间为，此时甲走了千米，乙走了千米。第二次相遇时，两人共走了千米，所用时间为，此时甲走了千米，从第一次相遇到第二次相遇甲走了千米，乙走了千米。已知第二次相遇点距第一次相遇点千米，所以，解得千米。 3. 设火车的长度为米，火车经过隧道所走的路程为米，速度为米/秒。根据经过隧道时间可得，根据灯光照在火车上时间可得，所以，，解得米。 （三）提升题 甲第一次追上乙所用时间为分钟，此时甲跑了米。之后甲反向跑，与乙相遇所用时间为分钟，这段时间甲跑了米。所以甲一共跑了米。 四、微专题四：一元一次方程的应用（工程与销售问题） （一）基础题 1. 设两人合作需要天完成，甲一天完成，乙一天完成，则，，解得天。 2. 利润 = 售价 - 进价，所以利润为元，利润率=。 3. 设该商品的进价为元，标价为元，打七五折后的售价为元，根据售价 - 进价 = 利润，可得，解得元。 4. 甲队先做天完成的工作量为，设还需要天完成，甲乙合作一天完成，可得，，，，解得天。 （二）中档题 1. 设水池的容积为，甲管的注水效率为，设乙管的注水效率为，则，解得。设丙管的注水效率为，则，解得。设三管齐开了小时，可得，，，解得小时。 2. 设这种商品的进价是元，按进价的加价后定价为元，打八折后的售价为元，根据利润关系可得，，解得元。 3. 设甲工作了天，甲一天完成，乙一天完成，丙一天完成。三人合作天的工作量为，乙丙合作天的工作量为，可得，方程两边同时乘以得，，，，解得天。 （三）提升题 设盈利的商品进价为元，根据售价 = 进价×(1 + 利润率)，可得，即，解得元，利润为元。 设亏损的商品进价为元，根据售价 = 进价×(1 - 亏损率)，可得，即，解得元，亏损为元。 总利润为元，所以这家商店是盈利的，盈利了元。 设销售量为件，总盈利为元，要使总盈利不少于元，则，解得，所以销售量至少为件。 学科网（北京）股份有限公司 $$