11.4用“动态圆”思想处理临界、极值问题-2025年高考物理一轮复习素养升级

第十一章 磁场 第4课时 用“动态圆”思想、处理临界、极值问题 素养目标： 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。 2.会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状问题。 3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。 4.学会分析磁聚焦和磁发散问题。 1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量为q（）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（　　） A． B． C． D． 考点一　“平移圆” 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 例题1. 如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（　　） A． B． C． D． 考点二　“旋转圆” 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 例题2. 如图所示，一个边界为PQ、MN（两边界上有磁场）的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，则MN边界上有质子射出的区域长度为（    ） A． B． C． D． 考点三　“放缩圆” 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 例题3. 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　） A．粒子带负电 B．从M点射出的粒子的速率一定大于从N点射出的粒子的速率 C．从M点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从N点射出的粒子在磁场中运动的时间 D．所有粒子所用最短时间为 考点四　“磁聚焦”“磁发散” 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 2．带电粒子的发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 例题4. 我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、Ⅱ，磁感应强度分别为，。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．的大小为 B．从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相等 C．若，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上 D．若，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为 例题5. 利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 （建议用时：60分钟） 1．如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量为m、速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（　　） A．粒子能打到板上的区域长度为2d B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到打到板上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为 3．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场方向飞入正方形区域的匀强磁场中，下列判断正确的是（　　）    A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 4．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是（　　）    A．两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1 B．粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1 C．粒子在磁场中速率之比为1∶3 D．粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1 5．（多选）如图所示，真空室内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度的大小，磁场内有一块足够长的平面感光平板ab，板面与磁场方向平行，距板中央O点正下方处有一个点状的放射源S，它可以向纸面内各个方向发射速度的带正电的粒子，粒子的比荷，不计粒子重力及粒子间相互作用力，。下列说法正确的是（　　） A．平板上被粒子打中的区域长度为16cm B．平板上被粒子打中的区域长度为20cm C．打在平板上的粒子运动的最长时间为 D．打在平板上的粒子运动的最短时间为 6．如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B=0. 5T。外环的半径，内环的半径尺，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片。有一线状粒子源放在AB正下方（图中未画出），在单位时间内能不断放出个质量为kg、速率为的同种带电粒子，速度方向均垂直AB和磁场方向。粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收。求： （1）粒子的电荷量q； （2）若在OP直线上放置一块挡板，要求挡板能挡住所有带电粒子，求挡板的最短长度L及挡板受到的平均作用力（假设粒子射到挡板上不反弹均被吸收）； （3）撤去线状粒子源和照相底片，若某粒子垂直射入磁场的速度大小和方向可以任意改变，要求该粒子从AB间射入、从CD间射出，且在磁场中运动的时间最短，求该粒子进入磁场的速度大小和与AB间的夹角θ的大小（角度可用三角函数表示）。 7．如图所示，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直于纸面的匀强磁场中，磁感应强度为B。O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v（未知）大小相同。ON是O点到MN的垂线。已知初速度与夹角为的粒子恰好经过N点（不被挡板吸收），粒子与挡板碰撞则会被吸收，，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，求 （1）匀强磁场的方向 （2）粒子在磁场中做圆周运动的半径 （3）挡板左侧能被粒子击中的竖直长度 （4）能击中挡板右侧的粒子数量占粒子总数的比例 8．如图，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心为O，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的A处有一粒子源，可沿纸面向多个方向发射质量为m、电荷量为+q（q > 0）的同种带电粒子，发射粒子的速率可以调节，粒子重力不计，粒子之间的相互作用忽略不计。已知。 (1)当发射粒子的速率、发射方向在与半径OA左右两侧夹角均为90°的范围内时，求发射的粒子在磁场中运动的最长时间t； (2)当发射粒子的速率、发射方向在与半径OA左侧夹角为90°、与半径OA右侧夹角为37°的范围内时，求圆形磁场边界上有粒子打到的弧长l1； (3)P为OA的中点，在OP处放置一挡板，挡板与OP重合，粒子打到挡板上后会被吸收，当发射粒子的速率、发射方向在与半径OA左右两侧夹角均为90°的范围内时，求圆形磁场边界上有粒子打到的弧长l2。 9．某装置可以研究带电粒子的运动轨迹，其原理如图所示。在第一象限存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。x轴下方有一个半径为R的圆形区域磁场，方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小也为B，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O。位于x轴正半轴的板MN，长度为，板右端N点横坐标为2R。位于圆形磁场左侧有一个粒子发射装置可以发射一束速度方向平行于x方向的粒子流，已知粒子在y轴方向均匀分布。粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为R。已知速度方向对准A点的粒子经过磁场后刚好从坐标原点O射出。不计粒子的重力及相互作用。求： (1)该粒子流的速度v； (2)入射位置距离x轴的粒子，经过第一象限磁场偏转后到达x轴上的位置x； (3)打到板上M点的粒子经过O点时的速度方向与y轴正方向的夹角θ； (4)能被MN板收集的粒子数占总粒子数的百分比。 10．如图所示，在xOy平面内有一以O为圆心，半径为R的圆形磁场区域Ⅰ，磁感应强度为（未知）。在圆形磁场区域右侧放置水平极板M、N，其中心线在x轴上，极板长度和极板间距离均为，极板间接有偏转电场的电压（未知）。位于S处的粒子源沿纸面内向圆形磁场区域内各个方向均匀发射速率为的带电粒子，粒子质量为m、电荷量为+q，单位时间内放出的粒子数为n。所有粒子经圆形磁场偏转后均沿x轴正方向。其中沿y轴正方向入射的粒子从点出磁场，并经过偏转电场后刚好从下极板的边缘飞出，打在下极板上的粒子立即被吸收，并通过电流表导入大地。距离极板MN右端处有一宽度为的匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度为，方向垂直纸面向里，a、b是磁场的左右边界。区域Ⅱ左边界上有一长度为2R的收集板CD，C端在x轴上。粒子打在收集板上立即被吸收。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。求： (1)圆形磁场区域磁感应强度的大小及方向； (2)极板MN间电压及稳定后电流表示数I； (3)要使所有穿出电场的粒子都能被收集板收集，区域Ⅱ磁感应强度的范围： (4)若区域Ⅱ中磁感应强度，在区域Ⅱ中加一沿x轴正方向的匀强电场，要使粒子不从磁场的右边界穿出，所加电场的场强E不能超过多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 磁场 第4课时 用“动态圆”思想处理临界、极值问题 素养目标： 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。 2.会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状问题。 3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。 4.学会分析磁聚焦和磁发散问题。 1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量为q（）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，粒子的运动轨迹如图所示 不论粒子所经轨迹如何，其圆心必在cd连线上，则对应圆心角为平角加上下面的角（如图中和）。根据可知，粒子在磁场中运动的周期相同，要时间最长，则要对应的圆心角最大，即要或最大。显然，在Ⅰ、Ⅱ这两个不同的轨迹圆中，和是圆心角，它们分别等于对应圆周角∠ecd或∠fcd的两倍。即圆周角越大，圆心角会越大。显然，最大的圆周角是从c点引半圆的切线ce所成∠ecd，可知对应不同速率的轨迹最大圆心角为，对应最长时间为，对应的轨迹圆半径为R，根据牛顿第二定律有 可得 故ABD错误C正确。 故选C。 考点一　“平移圆” 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 例题1. 如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于，要使圆心角最大，最长，经分析可知，当粒子从y轴上的点射入、从x轴上的点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有 解得 从点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间 解得 故选C。 考点二　“旋转圆” 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 例题2. 如图所示，一个边界为PQ、MN（两边界上有磁场）的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，则MN边界上有质子射出的区域长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，即当入射角度与PQ边界为角入射时恰好与MN边界相切，如图所示 由几何关系可知 解得 此时，质子从MN边界射出的最高点；当质子与PQ边界平行入射时，如图所示 此时为质子从MN边界射出的最低点，则由几何关系可知，MN边界上有质子射出的区域长度为 故选C。 考点三　“放缩圆” 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 例题3. 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　） A．粒子带负电 B．从M点射出的粒子的速率一定大于从N点射出的粒子的速率 C．从M点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从N点射出的粒子在磁场中运动的时间 D．所有粒子所用最短时间为 【答案】D 【解析】A．粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则可知粒子带正电，A错误； B．根据 得 从M点射出的粒子的轨迹半径更小，则速率更小，B错误； CD．根据 粒子运动的周期不变，圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，当弦切角越小时，运动时间越短，如图所示，当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小，Ob等于R，由几何关系可知，此时圆周运动的圆心角为，则最短时间为 M、N两点具体位置未知，则无法判断从M、N点射出的粒子在磁场中运动的时间的大小关系，C错误，D正确。 故选D。 考点四　“磁聚焦”“磁发散” 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 2．带电粒子的发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 例题4. 我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、Ⅱ，磁感应强度分别为，。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．的大小为 B．从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相等 C．若，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上 D．若，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为 【答案】ACD 【详解】A．由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即 解得 A正确； B．洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，B错误； C．若，则 可知，粒子离开磁场II最远的位置离原点为r，如图所示。 由几何关系，弦所对最大圆心角为，故粒子在磁场II的边界的射出点在六分之一圆周上，C正确； D．若，则 由此可知，粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图所示，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为 D正确； 故选ACD。 例题5. 利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【答案】BC 【详解】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为，有 解得 要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有 解得 比较可得 由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； CD． 如图，磁场区域的最小面积为 C正确，D错误。 故选BC。 （建议用时：60分钟） 1．如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】离子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示 粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。 2．如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量为m、速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（　　） A．粒子能打到板上的区域长度为2d B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到打到板上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为 【答案】B 【解析】A．粒子受到的洛伦兹力充当向心力，粒子运动的轨迹半径R＝d，粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图甲所示 由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A到C距离为d，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是（＋1）d，故A错误； B．左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，所以从S到A的时间恰好是半个周期，则 t1＝＝＝ 故B正确； CD．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如图乙所示，粒子做整个圆周运动的周期 T＝ 由几何关系可知，最短时间 t2＝T＝ 最长时间 t1＝T＝ Δt＝t1－t2＝ 故CD错误。 故选B。 3．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场方向飞入正方形区域的匀强磁场中，下列判断正确的是（　　）    A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 【答案】C 【解析】A．比较2、5轨迹可知A错误； B．比较3、4、5轨迹可知B错误； CD．若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误。 故选C。 4．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是（　　）    A．两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1 B．粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1 C．粒子在磁场中速率之比为1∶3 D．粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1 【答案】D 【解析】AB．做出带电粒子运动轨迹如图所示    根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为，而粒子在磁场中做圆周运动的周期 比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此周期相同，则可得 可得 故AB错误； C．设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得 解得 而根据 可得 故C错误，D正确。 故选D。 5．（多选）如图所示，真空室内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度的大小，磁场内有一块足够长的平面感光平板ab，板面与磁场方向平行，距板中央O点正下方处有一个点状的放射源S，它可以向纸面内各个方向发射速度的带正电的粒子，粒子的比荷，不计粒子重力及粒子间相互作用力，。下列说法正确的是（　　） A．平板上被粒子打中的区域长度为16cm B．平板上被粒子打中的区域长度为20cm C．打在平板上的粒子运动的最长时间为 D．打在平板上的粒子运动的最短时间为 【答案】BCD 【解析】AB．粒子做匀速圆周运动，设轨道半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 由于粒子轨道半径确定，粒子源与ab板间距离确定，如图所示 粒子只能打在P1、P2两点之间，其中，左边轨迹圆恰与ab相切与P2点，右边SP1恰为直径，根据几何关系可得 故ab上被打中的区域的长度为 故A错误，B正确； C．当粒子运动轨迹与ab板相切时，运动轨迹所对应的弦最长，运动时间t最长，如图所示 根据几何关系可得 解得 所以此时对应的圆心角为 粒子运动的周期为 则，打在平板上的粒子运动的最长时间为 故C正确； D．当粒子打到放射源正上方位置S′时，运动轨迹所对应的弦最短，即SS′最短，运动时间t最短，如图所示 由图可知 可得 则，打在平板上的粒子运动的最短时间为 故D正确。 故选BCD。 6．如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B=0. 5T。外环的半径，内环的半径尺，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片。有一线状粒子源放在AB正下方（图中未画出），在单位时间内能不断放出个质量为kg、速率为的同种带电粒子，速度方向均垂直AB和磁场方向。粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收。求： （1）粒子的电荷量q； （2）若在OP直线上放置一块挡板，要求挡板能挡住所有带电粒子，求挡板的最短长度L及挡板受到的平均作用力（假设粒子射到挡板上不反弹均被吸收）； （3）撤去线状粒子源和照相底片，若某粒子垂直射入磁场的速度大小和方向可以任意改变，要求该粒子从AB间射入、从CD间射出，且在磁场中运动的时间最短，求该粒子进入磁场的速度大小和与AB间的夹角θ的大小（角度可用三角函数表示）。 【答案】（1）C；（2）2cm；N；（3）；     【解析】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半为R，有 又依题意有 代入数据可得粒子的电量 C。     （2）要挡住所有粒子的最短挡板长度如答图所示中的MN， 在△O1OM中，由几何关系有 ， MN=R－OM 代入数据解得挡板最短长度 L=MN=2cm； 由动量定理有 代入数据可得 N （3）要使粒子在磁场中运动的时间最短，则圆弧所对的圆心角应最小，圆弧的半径应最大，即满足要求的圆弧应与内环相切，如答图所示。 设粒子的半径为Rm，速度大小为v，由牛顿第二定律有 由图中几何关系有 代入数据解得 7．如图所示，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直于纸面的匀强磁场中，磁感应强度为B。O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v（未知）大小相同。ON是O点到MN的垂线。已知初速度与夹角为的粒子恰好经过N点（不被挡板吸收），粒子与挡板碰撞则会被吸收，，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，求 （1）匀强磁场的方向 （2）粒子在磁场中做圆周运动的半径 （3）挡板左侧能被粒子击中的竖直长度 （4）能击中挡板右侧的粒子数量占粒子总数的比例 【答案】（1）垂直纸面向里；（2）a；（3）；（4） 【解析】（1）由左手定则可知，匀强磁场的方向垂直纸面向里； （2）粒子轨迹如图1所示，设半径为R，由几何关系可知 2Rsin60°=a 解得 R=a （3）当轨迹刚好与MN相切时，粒子能打到板上最大长度，如图轨迹2，设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系 Rsinθ+R=a 解得 sinθ=−1 由此可得 所以挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为 （4）要使粒子打到右侧，则有两个临界条件，如图轨迹1、3，其中轨迹3的初速度方向与ON夹角为120°，两临界轨迹时初速度夹角为60°，则比例为 8．如图，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心为O，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的A处有一粒子源，可沿纸面向多个方向发射质量为m、电荷量为+q（q > 0）的同种带电粒子，发射粒子的速率可以调节，粒子重力不计，粒子之间的相互作用忽略不计。已知。 (1)当发射粒子的速率、发射方向在与半径OA左右两侧夹角均为90°的范围内时，求发射的粒子在磁场中运动的最长时间t； (2)当发射粒子的速率、发射方向在与半径OA左侧夹角为90°、与半径OA右侧夹角为37°的范围内时，求圆形磁场边界上有粒子打到的弧长l1； (3)P为OA的中点，在OP处放置一挡板，挡板与OP重合，粒子打到挡板上后会被吸收，当发射粒子的速率、发射方向在与半径OA左右两侧夹角均为90°的范围内时，求圆形磁场边界上有粒子打到的弧长l2。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得 粒子在磁场中运动时转过的弧越长，运动时间越长，该粒子的轨迹半径大于圆形磁场半径，则粒子在磁场中转过的轨迹为一劣弧，所以当弦长越长时，弧越长，粒子运动时间越长，当弦为圆形磁场直径时弦最长，作出直径AC，即粒子打到C点时运动时间最长，作出粒子运动轨迹如图甲所示 轨迹圆心为O1，且 则三角形ACO1为等边三角形，可得打到C点时粒子轨迹对应的圆心角为60°，图甲粒子运动的周期 粒子在磁场中运动的最长时间 （2）带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得 粒子轨迹半径与圆形磁场区域的半径相等，为磁发散模型，粒子都垂直于直径AC从左侧射出磁场。设速度方向在半径OA右侧与半径OA夹角为37°的粒子打到圆形磁场边界上的Q点，作出该粒子的运动轨迹如图乙所示 轨迹圆心为O2，连接OQ、O2A和O2Q，则AOQO2为一菱形。O2A与速度方向垂直，则 根据磁发散的规律可得粒子打到圆形磁场边界上的范围为A、Q之间的劣弧，长度 （3）由（2）可知 粒子轨迹半径与圆形磁场区域的半径相等，为磁发散模型，粒子都垂直于直径AC从左侧射出磁场。设恰好经过O点从左侧射出的粒子打到圆形磁场边界上的M点，轨迹圆心为O3，如图丙所示 连接OM、O3A和O3M，则AOMO3为一菱形。连接O3O，则 根据几何关系可得 根据磁发散的规律可得从O点上方经过的粒子打到圆形磁场边界上的范围为M、C之间的劣弧，长度 设恰好经过P点从左侧射出的粒子打到圆形磁场边界上的N点，轨迹圆心为O4，如图丁所示 连接ON、O4A和O4N，则AONO4为一菱形。连接O4P，则 三角形O4PA为等腰三角形，且 作出PA边上的高O4D，根据几何关系可得 设∠O4AD为α，则有 可得α = 75.5°，根据几何关系可得 根据磁发散的规律可得从P点下方经过的粒子打到圆形磁场边界上的范围为A、N之间的劣弧，长度 圆形磁场边界上有粒子打到的弧长 9．某装置可以研究带电粒子的运动轨迹，其原理如图所示。在第一象限存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。x轴下方有一个半径为R的圆形区域磁场，方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小也为B，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O。位于x轴正半轴的板MN，长度为，板右端N点横坐标为2R。位于圆形磁场左侧有一个粒子发射装置可以发射一束速度方向平行于x方向的粒子流，已知粒子在y轴方向均匀分布。粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为R。已知速度方向对准A点的粒子经过磁场后刚好从坐标原点O射出。不计粒子的重力及相互作用。求： (1)该粒子流的速度v； (2)入射位置距离x轴的粒子，经过第一象限磁场偏转后到达x轴上的位置x； (3)打到板上M点的粒子经过O点时的速度方向与y轴正方向的夹角θ； (4)能被MN板收集的粒子数占总粒子数的百分比。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）粒子在磁场中的运行半径为R，由 得 （2）作出粒子运动轨迹如图 由几何关系可得粒子经过O点时与y轴正方向的夹角为 （3）M点到O点的距离 由 得 （4）到达N点的粒子入射位置到x轴的距离为R，到达M点的粒子入射位置到x轴的距离为 能被MN板收集的粒子所占的比例为 10．如图所示，在xOy平面内有一以O为圆心，半径为R的圆形磁场区域Ⅰ，磁感应强度为（未知）。在圆形磁场区域右侧放置水平极板M、N，其中心线在x轴上，极板长度和极板间距离均为，极板间接有偏转电场的电压（未知）。位于S处的粒子源沿纸面内向圆形磁场区域内各个方向均匀发射速率为的带电粒子，粒子质量为m、电荷量为+q，单位时间内放出的粒子数为n。所有粒子经圆形磁场偏转后均沿x轴正方向。其中沿y轴正方向入射的粒子从点出磁场，并经过偏转电场后刚好从下极板的边缘飞出，打在下极板上的粒子立即被吸收，并通过电流表导入大地。距离极板MN右端处有一宽度为的匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度为，方向垂直纸面向里，a、b是磁场的左右边界。区域Ⅱ左边界上有一长度为2R的收集板CD，C端在x轴上。粒子打在收集板上立即被吸收。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。求： (1)圆形磁场区域磁感应强度的大小及方向； (2)极板MN间电压及稳定后电流表示数I； (3)要使所有穿出电场的粒子都能被收集板收集，区域Ⅱ磁感应强度的范围： (4)若区域Ⅱ中磁感应强度，在区域Ⅱ中加一沿x轴正方向的匀强电场，要使粒子不从磁场的右边界穿出，所加电场的场强E不能超过多少？ 【答案】(1)，方向垂直纸面向外 (2)， (3) (4) 【解析】（1）由于所有粒子经圆形磁场偏转后均沿x轴正方向，根据粒子在磁场中的运动轨迹，结合几何关系可知，粒子运动半径r等于磁场圆半径R，则有 解得 根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有 解得 结合题意可知，粒子经过电场偏转后有一半粒子打在下极板N上被吸收，则有 （3）作出粒子运动轨迹图，如图所示 结合上述可知，穿出电场的粒子偏转距离都等于R，根据速度分解有 解得 粒子飞出电场时，根据速度分解有 解得 结合上述可知，粒子飞出电场速度方向的反向延长线与水平分位移对应线段的中点相交，设射入磁场时的偏转距离为，则有 解得 粒子经磁场区域Ⅱ偏转后竖直方向偏移距离 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得 要使所有粒子打在收集板上，则有 代入解得 当粒子轨迹刚好与磁场右边界相切时有 结合上述有 解得 综上所述，区域Ⅱ磁场的磁感应强度范围为 （4）当轨迹与磁场右边界相切时，设速度为，如图所示 由动能定理可得 在y轴方向上，根据动量定理可得 即有 解得 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