广东省汕头市澄海中学2024-2025学年高二上学期第二阶段考试数学试题

澄海中学2024-2025学年度第一学期 高二数学第二阶段考试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的标准形式为.则焦点坐标为：.故选：A. 2.已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B【详解】，则，则， ∴，∴，，故选：B 3. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】根据直线的方向向量为，故可设直线方程为， 代入即可得，故直线方程为，故选：B 4. “”是“方程表示的曲线是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】若方程表示的曲线是椭圆，则，，且，所以且．故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：C 5．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为是定义在上的增函数，且， 则，解得，所以的取值范围是.故选：A. 6. 若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】根据对称性，双曲线的焦点到两条渐近线的距离相等， 其中一条渐近线的方程为，即， 右焦点到的距离等于， 所以，所以， 即，则，所以，故选：B 7. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即.故选：D 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图， 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则，所以， 所以，所以， .又圆与圆的面积之比为4， 所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB【详解】因为，，所以，所以，A正确； 因为，且，所以，B正确； 因为，所以或者，C不正确； 因为，所以不垂直，D不正确.故选：AB 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 当时，直线平分圆C B. 直线与圆C总有两个公共点 C. 直线被圆C截得的最短弦长为 D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 【答案】ABD【详解】A.当时，直线，圆的圆心在直线上，所以直线平分圆C，故正确； B. 直线过定点，且，则定点在圆内，所以直线与圆C总有两个公共点，故正确； C.直线被圆C截得的最短弦长时，圆心和定点的连线与直线l垂直，又， 直线被圆C截得的最短弦长为，故错误； D. 当被圆C截得的弦长为时，圆心到直线的距离为，解得，所以这样的直线有且只有1条，故正确；故选：ABD 11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则点P的轨迹长度为1 B．若，则 C．若，，则 D．若，时，直线与平面所成的角为，则 【答案】BCD 【详解】连接，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 ，故，对于A，若，，则， 因为，所以，所以点P的轨迹长度为， 对于B，， 若，则，所以，故B正确；对于C，若，，则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离， 在中，， 则， 所以，故C正确； 对于D，若时，，， 则 ， 设，则， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 所以， ，， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分 12. 实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为____________________. 【答案】【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即，所以双曲线方程为.故选：A 13. 已知为第一象限角，，则＝ ． 【答案】/【详解】因为为第一象限角，，所以， 所以.故答案为：. 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为 . 【答案】【详解】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【详解】（1）设的方程为，………………………………1分 由题意可得，解得，……………………………………5分 所以的方程为， 化为标准方程可得.……………………………………6分 （2）由（1）可得圆心，半径，……………………………………7分 所以圆心到直线的距离为，………………………9分 且，……………………………………11分 因此的面积为.………………………………13分 16．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【解析】【小问1详解】 证明：过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，………………………………3分 因为平面，所以，………………………………4分 因为，与相交，平面， 所以平面；………………………………7分 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，， 所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，………………………………9分 因为， 所以， 所以，………………………………11分 因为，，，平面 所以平面，所以为平面的一个法向量，………………………13分 设直线与平面所成角为，则 .………………………………15分 17.2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? (3)河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【详解】（1）由题意知，解得．………………………………3分 估计满意度得分的平均值为．………………………………6分 （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 以为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了………10分 （3）把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数，………………………………12分 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96．………………………………15分 18. （17分）记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【详解】（1）由正弦定理及， 可得………………………………3分 ，………………………………5分 因，则，则，…………………7分 结合，则；………………………………9分 （2）因的面积为，则，………………………………11分 则，由正弦定理及， 则，………………………………13分 则.………………………………14分 由余弦定理，，…………15分 则，………………………………16分 则三角形周长为.………………………………17分 19. （17分）已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【详解】（1）设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程；………………………………4分 （2）由题意，可设直线，则，……………5分 （i）设直线，联立，得，………………6分 因为与抛物线相切，所以，则，……………………8分 所以，令，得，…………9分 而，所以，………………………………10分 故点K与点M的纵坐标的乘积为定值；………………………………11分 （ii）由题意，……………………12分 又，当且仅当时等号成立，……………………………13分 联立，得，显然， 所以，，则，，………………………14分 所以，………………………………15分 综上，， 即目标式最大值为，当且仅当时成立.………………………………17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 澄海中学2024-2025学年度第一学期 高二数学第二阶段考试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 2.已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“方程表示的曲线是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则（    ） A． B． C． D． 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 当时，直线平分圆C B. 直线与圆C总有两个公共点 C. 直线被圆C截得的最短弦长为 D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则点P的轨迹长度为1 B．若，则 C．若，，则 D．若，时，直线与平面所成的角为，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分 12. 实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为____________________. 13. 已知为第一象限角，，则＝ ______ ． 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 16．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17.2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? (3)河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 18. （17分）记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 19. （17分）已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$