第二章二次函数单元测试卷2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

九年级下学期第二章二次函数单元测试 时间120分钟 满分120分 一、单选题 1．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，找到函数的开口方向、对称轴、与轴交点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：中， ∵， ∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据二次函数的图象与系数的关系及一次函数的性质作出判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，，二次函数开口向上，一次函数过二、三、四象限， ②当时，，二次函数开口向下，一次函数过一、二、四象限， 由各选项的图象可以看出，选项正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：二次函数的图象与x轴有交点，且， 且， 故选：A 4．若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由题意知，关于轴对称的点坐标为，由，可得． 【详解】解：∵， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， 由题意知，关于轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 5．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小路此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于两点，若，则点到直线的距离为（   ） A． B．4 C． D．9 【答案】D 【分析】依据题意，由，该方程有两个相等的实数根，则，设点M到直线l的距离为m，则，由题意知，，、是该方程的两个根，则，，由，可得，即，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意，令时， ∴． ∵抛物线与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 又设点M到直线l的距离为m， ∴， 令时， ∴， 又∵是该方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． ∴，即， ∴点M到直线l的距离为9， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 7．已知二次函数的图像如图所示，以下结论中：①；②；③；④．正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据开口判断a的正负，根据对称轴判断b的正负，根据与y轴的交点判断c的正负，即可判断①，根据图像与x轴的交点即可判断②，根据对称轴判断③，根据对称性判断④即可得到答案； 【详解】解：由图像得：，，， ∴，故①正确； 由图像知：二次函数图像与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵图像对称轴为直线， ∴，故③正确； ∵图像对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时函数值大于零，即，故④错误； 综上分析可知，正确的有3个， 故选：C． 8．如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选：D． 9．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线经过点 ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 10．已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线的距离大小得到对应函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数图象经过， ∴二次函数的对称轴为直线， 将分别代入二次函数表达式得， 解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 时，， ， ， 又到对称轴的距离从远即近为， 故选C． 二、填空题 11．已知二次函数的图象上部分点的坐标的对应值如表所示： x … 0 4 … y … 0.37 0.37 … 则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线经过点得到，再根据抛物线经过点，求出对称轴，进而求出函数值为所对应的自变量的值，根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案． 【详解】解：由抛物线经过点得到， 因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 而抛物线经过点， 所以抛物线经过点， 因为二次函数解析式为， 方程变形为， 所以方程的根理解为函数值为所对应的自变量的值， 所以方程的根为，． 故答案为：，． 12．将函数的图像先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图像的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为，即， 故答案为：． 13．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，得， 解得：或， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 15．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 三、解答题 16．一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当函数值时，对应的x的取值范围是 ； (4)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象和性质． （1）设交点式，然后把代入求出得到抛物线解析式； （2）利用描点法画函数图象； （3）结合函数图象，根据二次函数图象在轴下方部分写出对应的自变量的范围； （4）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围． 【详解】（1）解：由表格知：当时，；当时，； 设 ， 将代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， （3）解：当函数值时，对应的x的取值范围； 故答案为：； （4）解：时，， 当时，y的取值范围是． 17．如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 18．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 19．某涵洞的截面是抛物线形，当拱顶离水面时，水面宽（如图1）．水面降后，水面宽度为多少米？请利用图2所示平面直角坐标系解决问题．（保留根号） 【答案】米 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用．根据题意可设抛物线解析式为，再把点代入，可得抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵当拱顶离水面时，， ∴点A的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∵水面降后，所对应的点纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴水面降后，水面宽度为米． 20．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： (1)方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． (2)假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 【答案】(1)①；时，的值最大，最大值为；②最大值为， (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①已知正方形的周长，可求出其边长，即的长，即可表示出的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． ②本题已知了正方形的边长，可设为那么也为可用正方形的边长求得．过、作的垂线，通过构建的直角三角形，用表示出和的长，即可求出上底的长，然后根据梯形的面积公式即可求得的函数关系式，根据函数的性质即可求得函数的最大值； （）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 【详解】（1）解：方案①， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ； （2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 21．【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1）作图见解析；抛物线为； （2）①；②她们本次训练不会失误，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据即可作图；又图象过，故抛物线的对称轴是直线，从而顶点为，可设抛物线为，再结合抛物线过，可得，求出即可判断得解； (2)①依据题意，由小丽的竖直高度y与水平距商x近似满足函数关系为，从而，结合，进而可以判断得解；②依据题意，对于小美而言，其对应抛物线为，再令，则，又对于小丽而言，其对应抛物线为，再令，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下 图象过，，抛物线的对称轴为直线，顶点为， 可设抛物线为， 又抛物线过， ， ， 抛物线为； （2）①由题意， 小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系为， ， 又， ， 故答案为：； ②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为， 令，则， 又对于小丽而言，其对应抛物线为， 令，则， 她们本次训练不会失误． 22．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键； （1）把，，代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案； 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 四边形是正方形， ， 即， 解得：， ， ， ∴当四边形是正方形时，点的坐标； （3）解：如图，连接，过点作轴交于点． 设直线的解析式为． 把，代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 当时，达到最大值为； 23．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，代入直线解析式，进行判断即可； （2）根据抛物线过点，得到，进而得到顶点坐标为，代入直线的解析式求出的值，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； （2）∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用数形结合的和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 试卷第2页，共28页 试卷第1页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级下学期第二章二次函数单元测试 时间120分钟 满分120分 一、单选题 1．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是 2．函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 4．若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 5．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于两点，若，则点到直线的距离为（   ） A． B．4 C． D．9 7．已知二次函数的图像如图所示，以下结论中：①；②；③；④．正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 10．已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数的图象上部分点的坐标的对应值如表所示： x … 0 4 … y … 0.37 0.37 … 则方程的解为 ． 12．将函数的图像先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图像的函数表达式为 ． 13．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 14．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 15．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      三、解答题 16．一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当函数值时，对应的x的取值范围是 ； (4)当时，直接写出y的取值范围． 17．如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 18．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 19．某涵洞的截面是抛物线形，当拱顶离水面时，水面宽（如图1）．水面降后，水面宽度为多少米？请利用图2所示平面直角坐标系解决问题．（保留根号） 20．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： (1)方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． (2)假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 21．【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 22．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 23．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$