期末押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：沪教版必修第三册全部内容） -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

2024-2025学年高二上学期期末押题数学检测卷（提高卷） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第三册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 2．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 3．（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，取的中点，证明并求出即可. 【详解】依题意，三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接， 由为的中点，得，因此，， 所以到的距离为. 故答案为：    4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 5．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）长方体中，，分别为，的中点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为 【答案】 【分析】分析可知四面体外接球O即为以为邻边的长方体的外接球，结合长方体的性质求外接球的半径和表面积. 【详解】由题意可知：两两垂直，且， 可知四面体外接球O即为以为邻边的长方体的外接球， 则球的半径，所以球的表面积为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·课前预习）概率的性质 性质3：两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和．如果，那么 ． 性质4：对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1，即 ． 【答案】 【分析】直接利用互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式填空即可． 【详解】性质3：两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和．如果，那么， 性质4：对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1，即； 故答案为：， 7．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【答案】 【分析】根据平面图形为直角梯形可求其面积. 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·期中）在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是 . 【答案】50 【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果. 【详解】因为，可知这组数据的第75百分位数是第23位数， 结合茎叶图可知第23位数是50，所以这组数据的第75百分位数是50. 故答案为：50. 9．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以在平面上的射影为， 所以与平面所成角为， 因为， 所以， 所以 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 【答案】② 【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①；利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②；首先表示四面体外接球的半径，再判断有无最值. 【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ， 所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误； 对于②：， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； 对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.    故答案为：② 11．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期中）如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是 .    【答案】 【分析】首先确定球心，再求球心到顶点的距离，即可求得外接球的半径，再代入球的表面积公式. 【详解】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为， 所以这个十面体的外接球的半径为，从而其表面积. 故答案为： 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】首先根据三棱锥的几何特征，表示三棱锥的体积，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图，设，其余各棱长为1，取，中点，连结， 因为，，，所以， 所以，，，所以， ，且平面， 所以平面， ，, 所以， . 当，即时，等号成立， 所以当时，三棱锥的体积最大. 故选：B 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 【答案】B 【分析】先证明命题：如图，不共面，设中最大，则．从而得证命题是共顶点的三条射线，设中最大，则，当且仅当射线在内时等号成立．然后由此结论判断命题（1）（2）． 【详解】如图，不共面，设中最大，则． 在上取点，上取点，在平面内作，交于点，作，交于， 则，所以，， 因为，所以， 和中，，而，所以（可由余弦定理证明，这里证明略）， 所以，即， 当射线在平面内且在内时，， 所以对空间任意三条射线，都有，从而在三个角中任意两个角的和不小于第三个角． 根据上述结论，，当且仅当射线在内时等号成立， 即，所以（当且仅当在线段上时取等号），从而的最大值是， 而保持不变，把绕旋转，使得增大，则，将减小，可以无限接近于0，但无最小值， 所以命题（1）正确， 由命题（1）知，，， 因此，从而， 当在线段内部，且与重合时，等号成立，此时， 因此，最大值是．命题（2）错， 故选：B． 15．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可． 【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 16．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面到底面的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于， 由题意知，水的体积为， 所以，即，解得， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且， 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角， 即侧面与平面所成的角,其平面角为， 在直角三角形中，. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出数对的样本空间，结合二次函数的性质得出事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求出事件、事件的概率； （2）利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）由题意可得，，数对的样本空间为 ，样本点共个. 若是二次函数的单调递增区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 若是二次函数的单调递减区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； （2）记“事件、事件至少一个发生”为事件， 因为与互斥，所以. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）某研究人员随机抽取15棵某品种的栎树，测得树高（单位：m）和胸径（指地面以上1.3m处树干的直径，单位：cm）的数据，如下表所示. 胸径/cm 6 7.9 8.3 8.9 10.1 12.1 13.8 14.2 树高/m 4.7 5.3 6.1 7 7.5 8.5 7.8 8.1 胸径/cm 16.4 16.9 18.1 20.1 21.8 22.2 23.9 / 树高/m 9.1 9.8 10 10.3 11.3 11.8 12.7 / 绘制散点图，并观察随着高度的增加，栎树胸径的变化趋势. 【答案】散点图见解析，随着树高度的增加，栎树胸径也变大 【分析】根据表格数据直接绘制散点图，然后根据散点图即可求得统计结论. 【详解】根据题目数据作出散点图，如下图所示， 由散点图知，随着树高度的增加，栎树胸径也变大. 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，△是底面的内接正三角形，为上一点，°． (1)证明：平面平面； (2)设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面； （2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，∵为圆锥顶点，为底面圆心， ∴平面， ∵在上，， ∴， ∵△是圆内接正三角形，∴，△≌△， ∴，即， 平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面； （2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为， ，解得， 在等腰直角三角形中，， 在△中，， ∴三棱锥的体积为． 20．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；（2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可;（3）该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出二面角，然后计算各个线段的长度，利用余弦定理得到，然后利用余弦定理得到，最后利用的取值范围求出二面角的取值范围即可. 【详解】（1）在矩形中，连接与相交于点， 则 在翻折后点为中点，还是有 故三棱锥外接球球心为点，半径 所以外接球表面积. （2）由题可知， 所以 因为， 则 因为 故 所以 （3）过点作的垂线，与相交于点，在平面上，过点做的垂线，与相交于点； 则二面角为 显然， 所以有， 由题可知，， 故，，， 由余弦定理可知 所以有 在中，利用余弦定理得 又因为，的取值范围是 所以有， 得 因为 所以 即二面角的取值范围是. 21．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，面积的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末押题数学检测卷（提高卷） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第三册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 2．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 3．（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为 ． 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 5．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）长方体中，，分别为，的中点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为 6．（24-25高二上·上海·课前预习）概率的性质 性质3：两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和．如果，那么 ． 性质4：对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1，即 ． 7．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 8．（24-25高二上·上海·期中）在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是 . 9．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为 . 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 11．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是 .    二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（   ） A．3 B． C． D．1 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 15．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（   ） A． B． C． D．2 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）某研究人员随机抽取15棵某品种的栎树，测得树高（单位：m）和胸径（指地面以上1.3m处树干的直径，单位：cm）的数据，如下表所示. 胸径/cm 6 7.9 8.3 8.9 10.1 12.1 13.8 14.2 树高/m 4.7 5.3 6.1 7 7.5 8.5 7.8 8.1 胸径/cm 16.4 16.9 18.1 20.1 21.8 22.2 23.9 / 树高/m 9.1 9.8 10 10.3 11.3 11.8 12.7 / 绘制散点图，并观察随着高度的增加，栎树胸径的变化趋势. 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，△是底面的内接正三角形，为上一点，°． (1)证明：平面平面； (2)设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积． 20．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 21．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$