期末押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：沪教版必修第三册全部内容） -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

2024-2025学年高二上学期期末押题数学检测卷（培优卷） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第三册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 【答案】 【分析】分别连接对应面对角线，结合正方体的结构特征和直线所成角的定义，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 由正方体性质可得、都为等边三角形， 所以， 所以与所成的角为， 又，则与所成的角为， 同理，可得为等边三角形，则与所成的角为， 又， 则与所成的角为， 综上可得，与直线所成角的大小为的面对角线共有条. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海松江·期中）在正方体中，所在直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】由正方体的结构特征有所在直线与平面所成角为，即可求其大小. 【详解】由题设知，面，所以所在直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】/0.06 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 5．（24-25高二上·上海·开学考试）某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 【答案】 【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数． 【详解】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为， 该样本的老年教师人数为，则有，， 故答案为：． 6．（24-25高二上·上海·课后作业）某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图.关于这9期的成绩，乙的成绩最低为 ；甲的成绩最高为 ；平均成绩较好的是 . 甲 乙 1 1 3 4 3 2 2 2 3 2 2 3 1 2 5 1 4 2 2 2 5 0 2 【答案】 13分 52分 乙 【分析】根据茎叶图直接找最高分和最低分，再代入平均数公式，即可比较. 【详解】由茎叶图可知，乙同学的最低分位13分，甲同学的最高分为52分， 乙同学的平均分为， 甲同学的平均分为， 所以乙的平均分较好. 故答案为：13分；52分；乙 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体，已知底面是边长为2的正方形，点是的中点，直线与平面成角，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出即为直线与平面所成的角，设正四棱柱的高为，，解方程即可得出答案. 【详解】连接，因为为正四棱柱，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即， 设正四棱柱的高为，又， 在中，，解得. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 . 【答案】 【分析】画出相应图形，根据相切得到，半球面碗的半径为，然后利用勾股定理计算即可得. 【详解】取半球的球心为，三个小球的球心分别为， 则有，取的重心，则可有， 在中，， 则有， 则，解得. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据三棱锥的体积公式直接求得结果. 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期中）如图，将绘有函数（，）部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则 ． 【答案】/ 【分析】先通过向轴作垂线找到二面角的平面角，然后根据勾股定理以及长度求解出的值，再通过图象所过的点求解出的值. 【详解】过，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 过，分别作轴、轴的垂线相交于点， 连接，，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，，又，，平面， 所以轴垂直于平面，所以， 又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，即，解得， 由图知，的图象过点， 所以，即， 因为，所以或， 当时，，在上单调递减，符合图象特点， 当时，，在上单调递增，不符合图象特点， 所以， 故答案为：． 12．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 【答案】①③④ 【分析】根据题设有，利用线面平行的判定判断①；应用线面平行的判定得到面，问题化为求点到平面的距离，应用等体积法求点面距判断②；进而利用等面积法求点到的距离判断③；利用余弦定理得到关于的表达式，进而判断是否能成立判断④. 【详解】①当点是中点时，则是中点，易知， 又面，面，故直线平面，对； ②由题设，易知，面，面，故面， 所以直线到平面的距离，即点到平面的距离， 由，，， 故到距离为，则， 所以，可得，错；    ③令点到的距离，则，对； ④由题设，易得，且， ， 所以， ， 在中， 由，显然时，能成立，故存在点使得，对. 故答案为：①③④ 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高二·上海·课堂例题）由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为， 所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确. 故选：B 14．（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 15．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 16．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法结合三角形面积公式得出原图形的面积. 【详解】如图，根据斜二测画法画出原图形，则为直角三角形，且，， 所以. 故选：C.    三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 18．（2024高二·上海宝山·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由线线平行得到线面平行，再用线面平行证明线线平行. 【详解】因为为正方形，∴ ， 又∵ 平面，平面. ∴平面， 又 ∵平面，平面平面， ∴. 19．（24-25高二上·上海松江·期末）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； (2)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 【答案】(1)，， (2)所有可能的结果详见解析；概率为． 【分析】（1）根据频率和频数的关系可求的值，根据频率和为可求的值. （2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可. 【详解】（1）因为等级系数为4的恰有3件，所以； 等级系数为5的恰有2件，所以； 因为，所以. 故，，. （2）从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有： ，，，，，，，，，共10种情况. 这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个. 因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：. 20．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】(1)陀螺体积、表面积分别为，； (2)(). 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 21．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据多面体表面积的求法求解. （2）证明出和，从而证明出面面平行，进而得出线面平行； （3）证明出线面垂直，从而证明面面垂直. 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：.底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末押题数学检测卷（培优卷） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第三册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 3．（24-25高二上·上海松江·期中）在正方体中，所在直线与平面所成的角为 . 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 5．（24-25高二上·上海·开学考试）某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 6．（24-25高二上·上海·课后作业）某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图.关于这9期的成绩，乙的成绩最低为 ；甲的成绩最高为 ；平均成绩较好的是 . 甲 乙 1 1 3 4 3 2 2 2 3 2 2 3 1 2 5 1 4 2 2 2 5 0 2 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体，已知底面是边长为2的正方形，点是的中点，直线与平面成角，则 . 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 . 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）如图，将绘有函数（，）部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则 ． 12．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高二·上海·课堂例题）由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 15．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 18．（2024高二·上海宝山·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：. 19．（24-25高二上·上海松江·期末）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； (2)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 20．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 21．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$