精品解析：浙江省温州市2024--2025学年上学期九年级数学期末模拟试卷

2024-2025学年第一学期浙江省温州市九年级数学期末模拟试卷 （试题范围：浙教版九年级数学上册+下册第一章） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A B. C. D. 1 2. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为2厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（　　） A. 4厘米 B. 6厘米 C. 8厘米 D. 10厘米 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 6. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于交的延长线于点，若平分，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米 12. 若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是______ 13. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于_________________． 14. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 15. 如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则______． 16. 如图，正方形边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是_________ 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率． （1）第一次取出卡片图案为“B琮琮”的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，． （1）请画出将绕点O顺时针旋转后得到的． （2）在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）． 19. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 20. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 21. 食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E． （1）求证：∠ABD＝∠BCD； （2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径； （3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由． 23. 【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 24. 综合探究 在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设． （1）当时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期浙江省温州市九年级数学期末模拟试卷 （试题范围：浙教版九年级数学上册+下册第一章） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 2. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 3. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，结合旋转的性质得出是解题关键．由旋转的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将绕点顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为2厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（　　） A 4厘米 B. 6厘米 C. 8厘米 D. 10厘米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．根据题意，得出燃烧的蜡烛到小孔的距离与光屏到小孔的距离比值为，进而根据相似比求出答案． 【详解】解：如图： 表示蜡烛火焰的高，表示蜡烛火焰所成像的高度，过O点作交于点F，交于点E， ∵，厘米，厘米， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴光屏上火焰所成像的高度为6厘米． 故选：B． 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中， ， ∴， ∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键． 6. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 8. 潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 9. 如图，四边形内接于交的延长线于点，若平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得，，进而得，得到，然后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，勾股定理，角平分线定义，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度，根据坡度是“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离 【详解】解：∵，为米， ∴， ∴， 故答案为：4． 12. 若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由得图象开口向下，对称轴为直线，结合，，，得出点A、C关于直线对称，则，再结合增减性和开口方向，即可作答． 【详解】解：由得图象开口向下，对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过，，， ∴点A、C关于直线对称，则， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于_________________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况， 所以，恰好是一男一女的概率是． 故答案为：． 15. 如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵多边形是正五边形， ∴， ∴， ∴度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理等知识．解题的关键是掌握中心角和圆周角定理． 16. 如图，正方形的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是_________ 【答案】2 【解析】 【分析】证明得到，进而可判断①；证明得到，进而可判断②；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴ ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴=， 即． ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴==， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 故答案为：2个． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义的综合运用，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率． （1）第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是： （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有：，，，，，共5种， 取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，． （1）请画出将绕点O顺时针旋转后得到的． （2）在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； （2）根据旋转的性质可得，利用勾股定理求得，再利用扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意可得，，， ∵， ∴． 19. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2）AC的长为． 【解析】 【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD； （2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长． 【小问1详解】 证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； 【小问2详解】 解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴AC=(负值已舍)． ∴AC的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长． 20. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm （2）点A到直线的距离约为21.5cm 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作，垂足为N 由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． 【小问2详解】 解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F， ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 21. 食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）9600元 （2） （3）降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键； （1）由每千克利润乘以销售数量可得总利润； （2）由每千克利润乘以销售数量可得函数关系式； （3）把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 解：（元） 答：若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元； 【小问2详解】 解：由题意可得：每千克利润为：元，销售数量为：千克， ∴； 【小问3详解】 解： ∴当时（符合实际），W取得最大值9800 ∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元. 22. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E． （1）求证：∠ABD＝∠BCD； （2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径； （3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3）AF+BC＝DF，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD； （2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB,则答案得出； （3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出． 【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠BCD； （2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝∠BCD＝45°， ∵AE＝17， ∴ME＝AM＝17×＝， ∵DE＝13， ∴DM＝ ∴AD＝AM+DM＝， ∴AB＝AD＝ ∴AO＝＝12； （3）AF+BC＝DF．理由如下： 如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N， ∵四边形DACB内接于圆， ∴∠DBN＝∠DAF， ∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB， ∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN， ∴△DAF≌△DBN（AAS）， ∴AF＝BN，CF＝CN， ∵∠FCD＝45°， ∴DF＝CF， ∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF． 即AF+BC＝DF． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形，全等三角形的判定及性质，掌握圆的有关性质，学会对知识融会贯通是解题的关键. 23. 【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查的是二次函数的实际应用，正确理解题意和题设中术语的意义是解题的关键． 任务1：设抛物线表达式为：，由待定系数法即可求解； 任务2：由得：，代入即可求解； 任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：，当和，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：任务1：设函数表达式为：， 将原点代入上式， 解得：， 则． 任务2：由，得， 将代入，得． 令， 解得（舍去）或， 即水火箭飞行的水平距离为； 任务3：设发射台弹射口高度为c， 则此时的函数表达式为：， 当时，， 解得， 当时， ， 解得，即， 故发射台PQ高度范围为． 24. 综合探究 在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设． （1）当时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值． 【答案】（1），理由见解析； （2）①k值发生变化，，理由见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到和都是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作于F，设，则，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下：如图1，∵，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即； 【小问2详解】 解：①k值发生变化，， ∵，，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； ②作于F， 设，则， ∵点E为中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$