5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 1、单位圆中任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？ P(x,y) A(1,0) x y α O 一、复习回顾 2、三角函数的值在各象限的符号是怎样的？ x y O ＋　　 ＋ －　　 － x y O ＋ ＋ － － x y O ＋ － ＋ － 2 　　这里用到了一个公式，这个公式我们现在还能不能用？为什么？ 探究！上述诱导公式表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 3、诱导公式一： 其中 一、复习回顾 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y). M A P o y x 二、探索新知 同角三角函数的基本关系 平方关系 商数关系 变形 变形 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 注意事项： 1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于形式，关系式中的角可以是具体的度数，也可以是变量，也可以是代数式。比如 ： 都是成立的 3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件. 即cos α≠0. α≠kπ + ，k∈Z. 快速回答，判断对错 小试牛刀 不一定 类型一：利用同角三角函数的基本关系求值 8 　　这里用到了一个公式，这个公式我们现在还能不能用？为什么？ 解：∵tanα<0 ∴α为第二或第四象限角 ∴α为第二象限角时 当α为第四象限角时 类型一：利用同角三角函数的基本关系求值 9 　　这里用到了一个公式，这个公式我们现在还能不能用？为什么？ 步骤： 1.由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 2.依据角终边所在象限进行分类讨论； 3.利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值； 类型一：利用同角三角函数的基本关系求值 (1)若cosα= ，求tanα的值 (2)若tanα= ，求sinα的值 类型一：利用同角三角函数的基本关系求值 练习： 11 　　这里用到了一个公式，这个公式我们现在还能不能用？为什么？ 类型二：求关于sinα，cosα的齐次式的值（弦化切问题） 类型二：求关于sinα，cosα的齐次式的值（弦化切问题） 变式： 思路： 1.是一次齐次式，分子、分母同时除以cosα； 类型二：求关于sinα，cosα的齐次式的值（弦化切问题） 2.是二次齐次式，分子、分母同时除以cos2α； 3.是整式，先添加一个分母“1”并进行1的代换，然后分子、分母再同时除以cos2α； 类型二：求关于sinα，cosα的齐次式的值（弦化切问题） 练习： 已知 =2，计算下列各式的值 1）求的值 2）求 的值 3）求 的值 类型三：利用± 例3： 法一： 或 （舍） 类型三：利用± 例3： 法二： 类型三：利用± 例3： 法二： 类型三：利用± 例3： 法二： 类型三：利用± 思路点拨： 法1.直接联立方程组求值； 法2.利用完全平方公式， 将sinxcosx,sinx+cosx和sinx-cosx联系在一起，利用整体代换的思想求解 类型三：利用± 已知 1）求 2）求的值 3）求的值 练习： 类型四：同角三角函数的化简 例4：化简 类型四：同角三角函数的化简 例4：化简 类型四：同角三角函数的化简 思路点拨： 1.化异为同，通过切化弦减少函数种类； 2.对含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后消去根号； 3.对于化简高次三角函数式，常利用 sin2α +cos2α=1进行降次。 类型五：同角三角函数的证明 例5：求证： 法一（作差法）： 类型五：同角三角函数的证明 例5：求证： 法二（左推右）： 除特殊注明外，我们假定三角函数恒等式都在两边有意义的情况下的恒等式 类型五：同角三角函数的证明 例5：求证： 法三（分析法）： 类型五：同角三角函数的证明 例5：求证： 法1（两边凑）： 类型五：同角三角函数的证明 例5：求证： 法2（右推左）： 类型五：同角三角函数的证明 思路点拨： 法3.两边证：等式左右两边都比较复杂，证明左右两边等于同一个式子 法2.左推右或右推左：从一边开始，证他等于另一边 法1.作差法 课 堂 小 结 $$