期末重难点真题特训之压轴满分题型（78题21个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024)

期末重难点真题特训之压轴满分题型（78题21个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、正负数的应用 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，理解题意是解题的关键．根据高于中位数1分记作分，即可得到答案． 【详解】解：高于中位数1分记作分， 故于中位数1分应记作分， 故选B． 2．（23-24七年级上·江苏南通·单元测试）某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 压轴满分题二、用数轴解决实际问题 1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，先根据在数轴上的位置判断出的取值范围，再比较出各数的大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴，故正确； 由数轴可知：，， ∴，故正确； 由数轴可知：， ∴，， ∴，故错误； 由数轴可知：， ∴， ∵， ∴，故正确； 综上可知：正确，共个正确， 故选：． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴上比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴的位置可知，， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图是我国几个城市某年1月份的平均气温，请把这些表示温度的数在数轴上表示出来，并从小到大排列，用“”连接： 北京 武汉 广州 哈尔滨 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、有理数大小比较等知识点，掌握有理数的大小比较方法成为解题的关键． 先在数轴上表示表中的各数，然后从小到大排列，最后用“＜”把这些数连接起来即可． 【详解】解：将表格中表示温度的数在数轴上表示如下： 用“”连接如下：． 压轴满分题三、相反数与绝对值 1．（2024七年级上·全国·专题练习）给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④如果，那么．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义和相反数的意义．根据相反数的性质，绝对值的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①互为相反数的两个数绝对值相等，那么这两个数可能不相等,故①正确，符合题意； ②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数，故②正确，符合题意； ③若，则，故③正确，符合题意； ④ 若，，则，若，，则，故④不正确，不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）绝对值小于的所有实数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的意义，根据绝对值的意义可知，绝对值小于所有实数有无数个，且绝对值相等正数和负数正好是一一对应的相反数，由此即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵绝对值小于所有实数有无数个，且绝对值相等的正数和负数正好是一一对应的相反数， ∴绝对值小于所有实数的和为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，列式并化简绝对值即可； （2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 故答案为：； 等式表示数轴上有理数到的距离是， 即或， 解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 压轴满分题四、有理数加减乘除混合运算与应用 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ） A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了长方形和三角形的面积．根据题意求出长方形的面积，根据涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积得到三角形的面积和长方形面积相等，即可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 长方形的面积为：， ∵涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积， ∴三角形面积等于长方形的面积， 三角形的高为：， 的长为：， 即， 故答案为： 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）2024年，为了获取世界最高峰珠穆朗玛峰的臭氧、二氧化氮等相关大气数据，珠峰大气与人体健康科考分队在珠峰大本营附近进行观测设备安装任务，该科考队5名队员以珠峰大本营为基地，到距离大本营有一定距离，且相对大本营海拔为米的某山峰山顶去安装观测设备，假设海拔上升为正，海拔下降为负，经过一段时间的行进，领队的海拔记录仪上海拔变化数据如下（单位：米）： ，，，，，，，，，． (1)请问他们有没有登上该山峰顶峰？如果没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有多少米海拔差距？ (2)登山时，由于每人都带着比较重的测量仪器，所以5名队员全程都在使用了氧气，若海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升，求该科考队此刻共消耗了多少升氧气？ 【答案】(1)他们没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有米海拔差距． (2)该科考队此刻共消耗了升氧气． 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，有理数的混合运算，理解题意正确的计算是解题的关键． （1）将行程的数据相加，与比较，进而判断是否登上顶峰，再计算距离顶峰多少米； （2）将行程的数据的绝对值相加，根据海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升计算即可 【详解】（1）解： （米）． （米）， 答：他们没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有米海拔差距． （2） （米）， 海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升， （升）， 答：该科考队此刻共消耗了升氧气． 压轴满分题五、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）在数轴上，数a所表示的点在数b所表示的点的左边，且，，则代数式的值为（    ） A． B． C．8或2 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值和平方的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得到的值即可得到答案． 【详解】解：，， ， 数a所表示的点在数b所表示的点的左边， 故， ①当时，； ②当时，． 故选D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的m的值是时，输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和求出代数式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把代入数值运算程序中计算得到结果8，比小，再代入数值运算程序中计算得到结果，比大，依此即可求解． 【详解】解：当输入的m的值是时， ，， 当输入的m的值是时， ，， ∴当输入的m的值是时，输出的结果是， 故答案为： 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一扇窗户如图1，所有窗框为铝合金材料，其下部由长为米，宽米的两个长方形组成，上部是半径为米半圆形状，窗户都安装透明玻璃，现在按照图2的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图2中窗帘下部分是直角边为米的两个等腰直角三角形组成，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金__________米（用含的代数式表示）；一扇这样窗户一共需要玻璃__________平方米（用含的代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计） (2)当时，请求出图2中窗帘部分的面积．（铝合金窗框宽度忽略不计） (3)在（2）的条件下，现某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 窗帘（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元平方米，超过平方米的部分打八折 乙厂商 元平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 若公司只能选择在其中一家厂商购买，问：该公司在哪家厂商购买窗户合算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)出图2中窗帘部分的面积为 (3)在乙厂商购买窗户合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式 ，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据铝合金的长度等于所有边长之和，玻璃的面积等于正方形加上半圆的面积即可求解； （2）计算半圆的面积与2个边为米的等腰直角三角形的面积和，即可求解． （3）当时，分别求出10扇窗户需要铝合金长度和玻璃的面积以及窗帘的面积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：一扇这样窗户一共需要铝合金米； 一扇这样窗户一共需要玻璃平方米， 故答案为：；． （2）解：图2中窗帘部分的面积为 当时， （3）解：当时，扇这样的窗户需要的铝合金长度为米， 玻璃的面积为 窗帘的面积为 甲厂商：元 乙厂商：元 ∴在乙厂商购买窗户合算 压轴满分题六、图形类规律 1．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要6根小棒，图案②需要10根小棒，图案③需要14根小棒，…，按此规律，则第8个图形中需要小棒的根数是（   ） A．32 B．34 C．36 D．38 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图案的变化归纳出第n个图案需要的小棒数是解题的关键．观察图案可知下一个图形比前一个图多4根小棒，找出4与第n个图案的小棒的根数的联系即可． 【详解】解：观察图案，可知下一个图形比前一个图多4根小棒， 图案①需要根小棒， 图案②需要根小棒， 图案③需要根小棒， 则图案n需要根小棒， 第8个图形中需要小棒的根数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时， ． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据图形可知，最后剩余的空白的面积为，利用数形结合的思想可知，的和为圆的面积减去剩余的空白的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意和图可知：剩余的空白的面积为，的和可以看作用彩色纸片覆盖的面积等于圆的总面积减去剩余的空白的面积， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山西·期中）请用归纳策略解答以下问题： 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史. 围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈． 现用黑白棋子围成下列图案： (1)观察思考：第5个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； (2)归纳规律：第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； (3)问题解决：结合图案中两种颜色棋子的排列方式及上述规律，那么第 个图案中黑色和白色棋子之和为313个． 【答案】(1)36，25； (2)，； (3)12． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大． （1）观察图形发现图形的规律，即可求解； （2）根据（1）可写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】（1）第1个图案中黑色棋子的个数为4，白色棋子的个数为1； 第2个图案中黑色棋子的个数为9，白色棋子的个数为4； 第3个图案中黑色棋子的个数为16，白色棋子的个数为9； 第4个图案中黑色棋子的个数为25，白色棋子的个数为16； 由此可知，第5个图案中黑色棋子的个数为36，白色棋子的个数为25； 故答案为：36，25； （2）由上可知，第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得正整数n的值为：， 故答案为：12． 压轴满分题七、整式加减的应用 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，根据题意正确列式是解题的关键．设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的周长（长宽），用x，y，n表示出两个阴影长方形的周长，再求和即可表示出阴影部分周长之和，再化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：阴影部分周长和为， 故选：． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在实际问题中，如果研究对象可能有多种情况出现，就需要分几种情况进行说明，这就是重要的“分类讨论思想”．如图所示，面积分别为16和21的三角形和四边形有部分重叠在一起，如果两个阴影部分的面积分别为m和n，则的值为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式的表示，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据题意，分别表示出左右两边阴影部分的面积，即可得到结果． 【详解】解：设重叠部分的面积为， 依题意，三角形面积和四边形的面积分别为16和21， ①若左边的阴影部分面积为，右边的阴影部分面积为， 则有：，， ， ； ②若左边的阴影部分面积为，右边的阴影部分面积为， 则有：，， ， ， 综上所述，的值为或5， 故答案为：或5． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）有这样一道题：关于x的多项式与的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，所以，则． 【初步尝试】 （1）若关于x的多项式的值与x无关，求a的值． 【深入探究】 （2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为． ①若，求的值． ②当的长变化时，的值始终保持不变，求m与n的等量关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①先求出、，从而可得的值． ②根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】解：（1）， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得：． （2）①根据题意可得，， ，， 则， ， 则． ②设， 由图可知，， 则 ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与的值无关， ∴， ． 压轴满分题八、一元一次方程的三种解法 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意； B、由得，故选项B不符合题意； C、由得，故选项C不符合题意； D、由去分母得，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则关于x的方程的解为；⑤若，则关于x的方程的解为．其中错误的是 ．（请填写序号） 【答案】③/3 【分析】本题考查了等式性质和一元一次方程的解法，根据等式性质判定①②③；由解一元一次方程判断． 【详解】解：①若，等式两边同时乘以得：；故①正确； ②若，，等式两边同时除以得：；故②正确； ③若，则，当，有；故③错误， ④因为是关于x的方程，故；若，即， ∴原方程可化为，即，解得故④正确， ⑤是关于x的方程，故；解得：，又∵，即，故；故⑤正确． 综上所述：③错误． 故答案为：③． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式的值与字母的取值无关． (1)求的值； (2)在满足（）的条件下，求关于方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）先把关于的多项式中的同类项进行合并，然后根据关于的多项式的值与字母的取值无关，列出关于的方程，求出即可； （）把（）中所求的的值代入方程，解方程即可； 本题考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程，掌握整式的运算法则和解一元一次方程的步骤 是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ∵关于的多项式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得，； （2）解：把，代入方程得， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，． 压轴满分题九、一元一次方程的应用（销售、行程、工程）问题 1．（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设快车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解 （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）解：设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元． (1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天； (2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数； (3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)这批新产品的件数为960 (3)两个工厂同时合作完成时，既省时又省钱，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． （1）根据“甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天”列式 ； （2）根据题意找出等量关系：总产品数相等，列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：根据题意，得乙单独加工这批新产品要用天， 故答案为：； （2）解：设甲单独加工这批产品用x天， 由题意得，， 解得：， （件）， 答：这个公司要加工960件新产品； （3）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为（天），需要费用为：（元）； ②由乙厂单独加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）． 因为，， 所以，甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材完成任务． 温州杨梅有着丰富的历史文化、多样的品种、广泛的种植区域以及较高的经济价值．家住茶山的小温一家种植了一些的杨梅树，在每年杨梅成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的杨梅销售贡献自己的一份力量． 素材1 已知当地杨梅售价为30元/千克．本周六，小温家一共采摘了10筐杨梅进行销售，每筐以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0.3 0.2 0.1 筐数 1 3 2 2 2 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：浙江省内，首重1千克以内10元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，物件超过20千克则需要额外支付包装费8元． 素材3 杨梅种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杨梅生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费3000元． 2．劳动力成本：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天150元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请求出小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是多少元？ 任务2 第二天，小温又采摘了22.8千克杨梅，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，请帮小温算算，她需要支付给快递员多少邮费？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杨梅．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为12450元（销售利润销售收入成本），另外本年请了2个修剪工人工作了3天，请了3个采摘工人工作了6天，则小温一家今年售出了多少千克杨梅？ 【答案】任务1：小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是3015元；任务2：她需要支付给快递员元邮费；任务3：小温一家今年售出了千克杨梅． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的的应用，理解题意并正确列式是解题关键． 任务1：先求出10筐杨梅总质量，再乘以当地杨梅售价，即可求出实际收入； 任务2：根据题意可知，邮费首重费用续重费用包装费用，即可求出邮费； 任务3：设小温一家今年售出了千克杨梅，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】解：任务1：10筐杨梅总质量为：千克， 则实际收入为元， 答：小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是3015元； 任务2：22.8千克千克， 则邮费为元， 答：她需要支付给快递员元邮费； 任务3：设小温一家今年售出了千克杨梅， 由题意得：， 解得：， 答：小温一家今年售出了千克杨梅． 压轴满分题十、一元一次方程的应用（几何、古代、电费水费）问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 【答案】(1)的值是； (2)8月份小明家的用水量是21吨． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）用水8吨，根据“用水不超过10吨”收费标准解答； （2）要求8月份用水量多少，就要先设出未知数，先把未知数定出区间，再通过理解题意可知本题的等量关系． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 则的值是； （2）解：因为每月用水不超过10吨时，水费是每吨元， 又因为8月份共缴纳水费37元， 所以8月份小明家的用水量一定超过10吨． 设8月份小明家的用水量是吨，根据题意，得 ， 解得． 答：8月份小明家的用水量是21吨． 2．（2024七年级上·吉林·专题练习）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程．熟练掌握列代数式，解一元一次方程是解题的关键． （1）根据人数，车数的关系列代数式和方程即可； （2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得车数为辆；由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得车数为辆；然后根据车辆数量相等列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为人； 由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为人； 根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为； 故答案为：； （2）解：设乙小组共有人， 依题意得，． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据图形，即可解答； （2）根据长是宽的3倍，列出方程，求出x的值，再根据长方体体积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： ，； 故答案为：，； （2）解：， 解得：． ∴， ∴长方体纸盒的体积为． 压轴满分题十一、二元一次方程组的应用（几何、行程、工程）问题 1．（23-24七年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 3．（24-25七年级上·重庆江北·开学考试）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 压轴满分题十二、二元一次方程组的应用（销售、分配、古代）问题 1．（23-24七年级上·吉林·开学考试）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 【答案】有人，共辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设有人，共辆车，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有人，共辆车，由题意，得： ，解得：， 答：有人，共辆车． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为90元，商品B的标价为120元 (3)商店是打六折出售这两种商品 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，小林以折扣价购买商品A，B是第三次购物． 故答案为：三； （2）解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元． 根据题意，得， 解得：， 故商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． （3）解：设商店打a折出售这两种商品． 根据题意得：， 解得：． 故商店是打六折出售这两种商品的． 压轴满分题十三、三元一次方程组的应用 1．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2）共需要450元． 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求解． 【详解】解：（1）， ①②得：③ ③得： 所以，的值为18； （2）设买1本笔记本需要a元、买1支签字笔需要b元、买1支记号笔需要c元， 由题意得： ①得：③ ②③得 所以，元； 答：买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元． 压轴满分题十四、点、线、面、体四者之间的关系 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 压轴满分题十五、两点确定一条直线 1．（2024七年级上·全国·专题练习）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分两步走，通过充分性和必要性来具体分析． 【详解】解：分两步，充分性， 设直线经过，， 、 、 、都是整数，， 设：，， 则直线， 当，即时，为整数， 、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选： C． 【点睛】本题考查两点确定一条直线，掌握本题中的分情况讨论，正确写出解答过程是解题关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有 条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 【答案】见解析，小海龟经过的路线类似一面旗帜 【分析】根据指令一个一个移动或转弯即可． 【详解】解：如图所示：小海龟经过的路线类似一面旗帜．（画出图画即可，答不出图的形状亦可） 【点睛】本题考查转弯，直行等概念的理解，理解这些概念是本题解题关键． 压轴满分题十六、线段中点的有关计算 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 压轴满分题十七、三角板中角度计算问题 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．    （1）若是平角，则的度数为 （2）若且，则的度数为 【答案】 【分析】（1）利用角平分线的定义求出，的度数，最后利用平角是 进行计算即可解答； （2）利用角平分线的定义求出，的度数进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵，是的平分线． ∴ ， ∵， 是的平分线 ∴， ∵是平角 ∴； 故答案为： （2）∵，是的平分线． ∴， ∵， 是的平分线 ∴， ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线及角的和差计算，掌握角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是关键． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)65，115． (2)定值， 【分析】（1）根据角的和差即可求得． （2）两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，重叠部分是2个，是定值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 故答案为：65，115． （2）是定值， ∵两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起， ∴重叠部分是2个， ∴一个与是， 另一个与是 ∴， 【点睛】此题考查了三角板角度问题，解题的关键是熟知三角板各个角的度数． 压轴满分题十八、角平分线的有关计算 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，是的平分线，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的几等分线，根据几等分线正确推导角是解题的关键． 【详解】解：， ∵是的平分线 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平角定义，角度的折叠问题，根据平角定义计算出，再根据折叠的性质得，即可求出结果．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 长方形纸片沿折叠后，点分别落在、的位置， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题十九、与余角、补角有关的计算 1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．② 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角，根据余角和补角的定义及性质进行判断即可． 【详解】①，则①不符合题意． ②与都有一个相同的余角，那么，则②符合题意． ③与都有一个相同的补角，那么，则③符合题意． ④，则④不符合题意． 综上，②③符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将变 大；小；不变 【答案】 A 【分析】根据，，求出的度数，然后即可求出的度数； 根据同角的余角相等可得； 根据，可得，进而得到逐渐变小，则逐渐变大． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴； 故答案为：； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ∵ ， ∴， ∴逐渐变小，逐渐变大； 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角和补角，以及角的计算，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ， ． 压轴满分题二十、同(等)角的余(补)角相等的应用 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）如图，是一条直线，，图中互补的角有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得解． 【详解】解：∵， ∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°， ∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°， ∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°， ∴图中互补的角有7对． 故选：D． 【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补． 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 压轴满分题二十一、数据的收集与整理 1．（2024七年级上·全国·专题练习）萌萌某日对七（1）班学生参加大课间体育锻炼的情况进行了统计，并绘制了条形统计图和扇形统计图（如图），则该班参加乒乓球活动的人数为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要查了条形统计图和扇形统计图．用参加篮球活动的人数除以其所占的百分比可求出学生的总人数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：学生的总人数为人， ∴该班参加乒乓球活动的人数为人， 故选：C 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果样本方差 那么这个样本的平均数为 ，样本容量为 ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义以及公式中各个字母所表示的意义是解题的关键．先根据方差公式中字母所代表的意义，是样本容量，是样本的平均数进行解答即可． 【详解】解：∵在方差公式中，是样本容量，是样本的平均数， ∴中，这个样本的平均数为2，样本容量为4， 故答案为：2；4． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）某校决定根据七年级学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．数学兴趣小组为给学校提出合理的采购建议，对七年级全体学生进行调查，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图： 注：每位学生选择且只选择一种喜欢的体育项目． (1)该校七年级学生共有________人； (2)该校七年级学生喜欢篮球、排球、足球的人数之和占总人数的百分比是________； (3)根据调查结果，数学兴趣小组给学校提出的采购建议中，需购买的篮球数量应是足球数量的________倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，百分数的应用； （1）根据篮球人数除以占比，即可求解； （2）将七年级学生喜欢篮球、排球、足球占总人数的百分比求和即可求解． （3）用即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：． （3）解：； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知，，，则四个数，，，中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，有理数的加法运算，根据已知可得，，，进而可知，，，，即可得出最大的数． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴最大的数是； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·安徽六安·一模）李老师将本班学生某次考试的数学成绩x分(满分150分，分数均为整数）分为四个等级，其中A等级表示“优”(x≥130)；B等级表示“良好”( 110≤x≤129)；C等级表示“合格”(90≤x≤109 )；D等级表示“不合格”(x≤89)，并根据本次考试的学生成绩制作了如下不完整的扇形统计图，则扇形统计图中表示良好等次以上(含良好)部分所占圆心角的度数为（      ） A．162° B．144° C．108° D．54° 【答案】A 【分析】用360°乘以良好等次以上（含良好）部分所占的百分比即可． 【详解】解：扇形统计图中表示良好等次以上（含良好）部分所占圆心角的度数是： 360°×（1-30%-） =360°×0.45 =162°． 故选：A． 【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值问题，一元一次方程的整体解法问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键．根据题意，分别列出方程，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）宸宸同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板中角度计算，与角平分线的有关计算，与余角、补角有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，进而可得，可判断①的正误；由，可得，则，可判断②的正误；由题意知，的余角共有2个，为，可判断③的正误；由，可得，进而可求，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的余角共有2个，为，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）的绝对值是 ；的倒数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数的定义、绝对值的定义，熟练掌握相关定义是解该题目的关键； 【详解】解：因为的绝对值是， 的倒数是， 故答案为：； 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下表是某校初一(7)班20名学生某次数学成绩的统计表：若这20名学生平均成绩为a(a是整数)，则a至少是 分． 成绩(分) 人数(人) 【答案】 【分析】本题主要考查了统计表的应用，依据名学生的总成绩为分列方程组，即可得到关系式，再根据的取值范围，即可得到的最小取值． 【详解】解：由题可得，， 整理，得 ， 又，且为整数， 当时，的最小值为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如图所示，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推 （1）第5层所对应的点数是 ； （2）六边形的点阵共有n层时的总点数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律问题，解题的关键是找到点数的规律． （1）根据图形即可的第5层所对应的点数； （2）分别求出前四层每层的点数，然后求出第n层对应的点数，然后求和即可． 【详解】解：（1）由图形可得，第5层对应的点数是个． 故答案为：24； （2）第1层对应的点数是1个； 第2层对应的点数是个； 第3层对应的点数是个； 第4层对应的点数是个； ∴第5层对应的点数是个； … ∴第n层对应的点数是个 ∴ ． ∴六边形的点阵共有n层时的总点数是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距个单位，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴及两点间的距离，一元一次方程的应用，设点表示的数是，则，，根据题意列出，然后求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的数是，则，， ∵对折点在点的右边，且，两点相距个单位， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】 102 20或50/50或20 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的数量关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．①由题意可知，旋转8秒时，，从而求出，即可求出的度数；②分两种情况讨论：当的延长线平分角时；当的延长线平分角时，利用角度的和差关系分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旋转8秒时，， , ， ； 若第秒时，所在直线恰好平分， ①如图，当平分角时， ， ， ， ， ， ； ②如图，当的延长线平分角时， ， ， ， , ， ， ； 综上可知，第秒或秒时，所在直线恰好平分， 故答案为：102；20或50． 11．（2024七年级上·安徽·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行，如果有括号的，要先算括号里面的．掌握以上知识是解决本题的关键． （1）先将题中的带分数换成假分数，再按照有理数的混合运算法则进行计算，即可求解； （2）直接按照有理数的混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）（1）根据表中所给的x，y的值，计算与的值，并将计算结果填入表中： x 1 2 3 y 1 （2）结合（1）的计算结果，你能够得出的结论为 （用含x，y的式子表示） （3）请利用你发现的结论进行简便运算：． 【答案】（1）4、1、25、4、1、25；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了代数式求值，含乘方的有理数混合计算，正确计算出对应的和的值是解题的关键． （1）分别把x、y的值代入和中进行求解即可； （2）根据（1）的计算结果可得； （3）根据（2）的结论把变形成，据此求解即可． 【详解】解：（1）当时，，； 当时，，； 当时，，； 填表如下： 4 1 25 4 1 25 （2）由（1）的计算结果可知； （3） ． 14．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某调查小组在某小区随机调查居民每月用于“娱乐支出”的金额（单位：元），将数据分组如下：A．；B．；C．；D．；E．，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知、两组人数在频数分布直方图中的高度比为． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)A组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？ (2)随机调查的人数中每月用于“娱乐支出”的金额不少于300元的有多少人？ (3)求扇形统计图中B组所占扇形的圆心角的大小． 【答案】(1)A组的频数是2，本次调查的样本容量是50 (2)18人 (3)72° 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据、两组户数直方图的高度比为，即两组的频数的比是，据此即可求得组的频数；用、组频数和除以其所占百分比即可； （2）将、组人数相加得出不少于300元的户数； （3）用乘以组所占的百分比，即可得出组对应扇形的圆心角的度数． 【详解】（1）解： A、B两组人数直方图的高度比为， 两组的频数的比是，B组的频数为10， A组的频数是2， 本次调查的样本容量为：， 答：A组的频数是2，本次调查的样本容量是50． （2）解： （人）， 答：每月用于“娱乐支出”的金额不少于300元的有18人． （3）解：， 答：扇形统计图中B组所占扇形的圆心角为． 15．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题．            (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________； 若，则________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①142，45；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了余角和补角，熟练运用角之间的关系是解题的关键． （1）①已知，根据角的和差即可求出和的度数； ②根据前两个小问的结论猜想与之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明； （2）根据（1）的解题思路确定与之间的数量关系并证明． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 故答案为：142，45； ②猜想：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（78题21个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、正负数的应用 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 2．（23-24七年级上·江苏南通·单元测试）某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 压轴满分题二、用数轴解决实际问题 1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图是我国几个城市某年1月份的平均气温，请把这些表示温度的数在数轴上表示出来，并从小到大排列，用“”连接： 北京 武汉 广州 哈尔滨 压轴满分题三、相反数与绝对值 1．（2024七年级上·全国·专题练习）给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④如果，那么．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）绝对值小于的所有实数的和为 ． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 压轴满分题四、有理数加减乘除混合运算与应用 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ） A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）2024年，为了获取世界最高峰珠穆朗玛峰的臭氧、二氧化氮等相关大气数据，珠峰大气与人体健康科考分队在珠峰大本营附近进行观测设备安装任务，该科考队5名队员以珠峰大本营为基地，到距离大本营有一定距离，且相对大本营海拔为米的某山峰山顶去安装观测设备，假设海拔上升为正，海拔下降为负，经过一段时间的行进，领队的海拔记录仪上海拔变化数据如下（单位：米）： ，，，，，，，，，． (1)请问他们有没有登上该山峰顶峰？如果没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有多少米海拔差距？ (2)登山时，由于每人都带着比较重的测量仪器，所以5名队员全程都在使用了氧气，若海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升，求该科考队此刻共消耗了多少升氧气？ 压轴满分题五、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）在数轴上，数a所表示的点在数b所表示的点的左边，且，，则代数式的值为（    ） A． B． C．8或2 D．或 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的m的值是时，输出的结果是 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一扇窗户如图1，所有窗框为铝合金材料，其下部由长为米，宽米的两个长方形组成，上部是半径为米半圆形状，窗户都安装透明玻璃，现在按照图2的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图2中窗帘下部分是直角边为米的两个等腰直角三角形组成，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金__________米（用含的代数式表示）；一扇这样窗户一共需要玻璃__________平方米（用含的代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计） (2)当时，请求出图2中窗帘部分的面积．（铝合金窗框宽度忽略不计） (3)在（2）的条件下，现某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 窗帘（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元平方米，超过平方米的部分打八折 乙厂商 元平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 若公司只能选择在其中一家厂商购买，问：该公司在哪家厂商购买窗户合算？请说明理由． 压轴满分题六、图形类规律 1．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要6根小棒，图案②需要10根小棒，图案③需要14根小棒，…，按此规律，则第8个图形中需要小棒的根数是（   ） A．32 B．34 C．36 D．38 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时， ． 3．（24-25七年级上·山西·期中）请用归纳策略解答以下问题： 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史. 围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈． 现用黑白棋子围成下列图案： (1)观察思考：第5个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； (2)归纳规律：第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； (3)问题解决：结合图案中两种颜色棋子的排列方式及上述规律，那么第 个图案中黑色和白色棋子之和为313个． 压轴满分题七、整式加减的应用 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在实际问题中，如果研究对象可能有多种情况出现，就需要分几种情况进行说明，这就是重要的“分类讨论思想”．如图所示，面积分别为16和21的三角形和四边形有部分重叠在一起，如果两个阴影部分的面积分别为m和n，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）有这样一道题：关于x的多项式与的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，所以，则． 【初步尝试】 （1）若关于x的多项式的值与x无关，求a的值． 【深入探究】 （2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为． ①若，求的值． ②当的长变化时，的值始终保持不变，求m与n的等量关系． 压轴满分题八、一元一次方程的三种解法 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则关于x的方程的解为；⑤若，则关于x的方程的解为．其中错误的是 ．（请填写序号） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式的值与字母的取值无关． (1)求的值； (2)在满足（）的条件下，求关于方程的解． 压轴满分题九、一元一次方程的应用（销售、行程、工程）问题 1．（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元． (1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天； (2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数； (3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材完成任务． 温州杨梅有着丰富的历史文化、多样的品种、广泛的种植区域以及较高的经济价值．家住茶山的小温一家种植了一些的杨梅树，在每年杨梅成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的杨梅销售贡献自己的一份力量． 素材1 已知当地杨梅售价为30元/千克．本周六，小温家一共采摘了10筐杨梅进行销售，每筐以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0.3 0.2 0.1 筐数 1 3 2 2 2 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：浙江省内，首重1千克以内10元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，物件超过20千克则需要额外支付包装费8元． 素材3 杨梅种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杨梅生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费3000元． 2．劳动力成本：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天150元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请求出小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是多少元？ 任务2 第二天，小温又采摘了22.8千克杨梅，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，请帮小温算算，她需要支付给快递员多少邮费？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杨梅．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为12450元（销售利润销售收入成本），另外本年请了2个修剪工人工作了3天，请了3个采摘工人工作了6天，则小温一家今年售出了多少千克杨梅？ 压轴满分题十、一元一次方程的应用（几何、古代、电费水费）问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 2．（2024七年级上·吉林·专题练习）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 压轴满分题十一、二元一次方程组的应用（几何、行程、工程）问题 1．（23-24七年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 3．（24-25七年级上·重庆江北·开学考试）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 压轴满分题十二、二元一次方程组的应用（销售、分配、古代）问题 1．（23-24七年级上·吉林·开学考试）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 压轴满分题十三、三元一次方程组的应用 1．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 压轴满分题十四、点、线、面、体四者之间的关系 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 压轴满分题十五、两点确定一条直线 1．（2024七年级上·全国·专题练习）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024七年级·全国·竞赛）平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有 条． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 压轴满分题十六、线段中点的有关计算 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·北京·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 压轴满分题十七、三角板中角度计算问题 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．    （1）若是平角，则的度数为 （2）若且，则的度数为 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 压轴满分题十八、角平分线的有关计算 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，是的平分线，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 3．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 压轴满分题十九、与余角、补角有关的计算 1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．② 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将变 大；小；不变 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 压轴满分题二十、同(等)角的余(补)角相等的应用 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）如图，是一条直线，，图中互补的角有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 压轴满分题二十一、数据的收集与整理 1．（2024七年级上·全国·专题练习）萌萌某日对七（1）班学生参加大课间体育锻炼的情况进行了统计，并绘制了条形统计图和扇形统计图（如图），则该班参加乒乓球活动的人数为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果样本方差 那么这个样本的平均数为 ，样本容量为 ． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）某校决定根据七年级学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．数学兴趣小组为给学校提出合理的采购建议，对七年级全体学生进行调查，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图： 注：每位学生选择且只选择一种喜欢的体育项目． (1)该校七年级学生共有________人； (2)该校七年级学生喜欢篮球、排球、足球的人数之和占总人数的百分比是________； (3)根据调查结果，数学兴趣小组给学校提出的采购建议中，需购买的篮球数量应是足球数量的________倍． 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知，，，则四个数，，，中，最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 3．（2024·安徽六安·一模）李老师将本班学生某次考试的数学成绩x分(满分150分，分数均为整数）分为四个等级，其中A等级表示“优”(x≥130)；B等级表示“良好”( 110≤x≤129)；C等级表示“合格”(90≤x≤109 )；D等级表示“不合格”(x≤89)，并根据本次考试的学生成绩制作了如下不完整的扇形统计图，则扇形统计图中表示良好等次以上(含良好)部分所占圆心角的度数为（      ） A．162° B．144° C．108° D．54° 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 5．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）宸宸同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）的绝对值是 ；的倒数是 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下表是某校初一(7)班20名学生某次数学成绩的统计表：若这20名学生平均成绩为a(a是整数)，则a至少是 分． 成绩(分) 人数(人) 8．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如图所示，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推 （1）第5层所对应的点数是 ； （2）六边形的点阵共有n层时的总点数是 ． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距个单位，则点表示的数是 ． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 11．（2024七年级上·安徽·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）（1）根据表中所给的x，y的值，计算与的值，并将计算结果填入表中： x 1 2 3 y 1 （2）结合（1）的计算结果，你能够得出的结论为 （用含x，y的式子表示） （3）请利用你发现的结论进行简便运算：． 14．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某调查小组在某小区随机调查居民每月用于“娱乐支出”的金额（单位：元），将数据分组如下：A．；B．；C．；D．；E．，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知、两组人数在频数分布直方图中的高度比为． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)A组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？ (2)随机调查的人数中每月用于“娱乐支出”的金额不少于300元的有多少人？ (3)求扇形统计图中B组所占扇形的圆心角的大小． 15．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题．            (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________； 若，则________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$