期末重难点真题特训之易错必刷题型（132题39个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（132题39个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正负数的定义与应用 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（    ） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的意义，用正负数表示意义相反的两种量：超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，达标的成绩有，共5人， 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如果表示向东走，那么表示 ． 【答案】向西走了 【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东记为正，则向西就记为负，由此得出是负数，直接得出结论即可． 【详解】∵表示向东走， ∴表示向西走了， 故答案为：向西走了． 【点睛】此题考查了正负数的意义，解题的关键数理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 袋数/袋 4 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ (2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？ 【答案】(1)这批样品的总质量比标准总质量少，少克； (2)这批样品的总质量是克． 【分析】本题考查了正负数的实际应用， （）把记录结果相加求和即可得； （）用标准质量减去克即是这批样品的总质量； 解题的关键是掌握正负数表示相反意义的量，正确计算． 【详解】（1）； （克）， 答：这批样品的总质量比标准总质量少，少克； （2） ， （克）， 答：这批样品的总质量是克． 易错必刷题二、有理数的分类 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在（每两个2之间的0个数逐次增加1）中，有理数的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数；有理数也可分为正有理数，零和负有理数． 【详解】解：（每两个2之间的0个数逐次增加1）中，是有理数， 故选：A． 2．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 【答案】 8.9，，3.010010001 0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001 【分析】本题考查了有理数的分类，正分数和非负数的概念，逐个判断即可得到答案，熟练掌握正分数和非负数的概念是解此题的关键． 【详解】解：正分数有：8.9，，3.010010001； 非负数有：0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001； 故答案为：8.9，，3.010010001；0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置． ，，0，，，，8，，． 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握正数、负数和整数的定义．分别根据正数、负数和整数的定义，把各数填在相应的数集里即可； 【详解】解：如图， ． 易错必刷题三、利用数轴比较有理数的大小 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴的对应关系，涉及有理数的大小比较、绝对值等知识，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，可得，再逐项分析即可解题． 【详解】解：根据题意可得， A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确， 故选：D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A，B在数轴上原点的两侧，分别表示的数为a，2，，则a （填＞、＜或＝） 【答案】＜ 【分析】根据OA＞OB，OB=2，可以判断a＜-2，即可判断． 【详解】根据题意可知OA=-a，OB=2， ∵OA＞OB， ∴-a＞2， ∴a＜-2， ∵， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查了运用数轴表示有理数以及有理数大小的比较．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）请在数轴上表示下列有理数：， ， ，，0，并将它们用“”连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴、有理数的大小比较，明确数轴上左边的数小于右边的数是解题的关键．先在数轴上表示各数，然后根据数轴上左边的数小于右边的数比较即可． 【详解】解：，， 数轴如图所示： 用“”连接起来：． 易错必刷题四、相反数与绝对值 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数对中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数，先去绝对值，进行多重符号化简，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相同，不符合题意； B、，，两数相同，不符合题意； C、，，两数互为相反数，符合题意； D、，，两数相同，不符合题意； 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）有下列说法：①任何数的绝对值都是正数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④若|a|＝﹣a，则a一定是负数；⑤绝对值等于它本身的数是0．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】根据绝对值的性质、相反数的意义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①任何数的绝对值都是非负数；故①错误； ②若|a|＝|b|，则a＝±b；故②错误； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；故③正确； ④若|a|＝﹣a，则a一定是非正数；故④错误； ⑤绝对值等于它本身的数是非负数，故⑤错误． ∴正确的有③， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及相反数的意义，解题时应熟练掌握绝对值的性质，此题难度不大，易于掌握． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当A为原点时，点表示的数是，点表示的数是．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． (2)数a和b在数轴上的位置如图所示，将，，，从小到大排列为 ． (3)在所给数轴上表示下列各数：，，，． 【答案】(1)；； (2) (3)数轴见解析 【分析】（1）根据题意，得，，；当为原点时，，，即可得到点，的数；若，互为相反数，则为，即可求出点表示的数； （2）如图示，得，，即可判断出，，，的大小； （3）根据数轴的定义，即可． 【详解】（1）∵当A为原点时，点表示的数是，点表示的数是 ∴，， ∴当为原点时，表示的数为：，表示的数为： 若，互为相反数 ∴表示的数为： ∴表示的数为：． 故答案为：；；． （2）如图所示：， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图，所示 【点睛】本题考查绝对值，相反数，数轴的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的性质，绝对值的性质等． 易错必刷题五、有理数大小比较的实际应用 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列四个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，根据有理数大小得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）比较大小： （填“＜”或“＞”）． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数大小比较，两个负数相比较，绝对值大的数反而小．可利用绝对值概念比较两个负数的大小关系． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值和化简多重符号： （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案； （2）根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴． 易错必刷题六、有理数的加减混合运算 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算．则 （直接写出答案）． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的加减法，正确理解规定的运算法则是解题关键．根据两个图形的运算法则列出式子，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意得：原式 ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，例如：；当时，例如：，根据以上阅读完成： (1)____________． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减计算，正确去绝对值是解题的关键． （1）由得到，再根据绝对值的意义可得答案； （2）先去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： = =． 易错必刷题七、有理数乘除混合运算 1．（24-25七年级上·全国·期中）下列各式中，计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．根据有理数有理数的乘除混合运算法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，这个量杯最多可装120毫升的水，那么现在量杯里的水有 毫升． 【答案】40 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，量杯的刻度分为6个相等的刻度，那么可求出每个刻度表示的体积，再根据量杯中的水是4个刻度体积的一半即可得到答案． 【详解】解：由题意可得（毫升）， 即现在量杯里的水有40毫升， 故答案为：40． 【点评】本题考查有理数的除法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）直接写得数． （1）                （2）            （3） （4）            （5）            （6） （7）                    （8） 【答案】（1）10 （2）0 （3）13 （4）64  （5） （6） （7）12  （8） 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据加法法则计算即可； （2）根据减法法则计算即可； （3）（5）根据除法法则计算即可； （4）根据乘除混合运算法则计算即可； （6）（7）根据乘法法则计算即可； （8）逆用乘法分配律计算即可； 【详解】解：（1） （2）   （3） （4） （5） （6） （7） （8）． 易错必刷题八、含乘方的有理数混合运算 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中的数应为（   ） A．668 B．667 C．666 D．665 【答案】A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据题目中八进制数换算成十进制数的计算方法列式计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴将八进制中的数1234等于十进制中的数应为668， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）嘉琪编写了一个计算机程序如图所示，若输入的数是2，则输出的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确的列出算式是解题的关键；先把2代入程序，所得结果不大于5，再把5代入程序计算即可． 【详解】解：把2代入程序得：， 把5代入程序得：， 输出的数是6， 故答案为：6． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【分析】本题考查含有理数的乘方的混合运算，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 易错必刷题九、有理数加减乘除混合运算的应用 1．（24-25七年级上·浙江·期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的减法和乘法运算，解题的关键是正确列出算式． 首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，列式求解即可． 【详解】解：由图2可得， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍 ∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于 ∴． 故选：B． 2．（2024·山东东营·模拟预测）假设月季、向日葵的盆数都与仙人掌同样多，则三种盆栽一共有( )盆，仙人掌有( )盆． 【答案】 90 30 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，有理数加减法的实际应用，用原本三种盆栽的总数减去相比于仙人掌数量多的数量加上相比于仙人掌数量少的数量即可求出当月季、向日葵的盆数都与仙人掌同样多时，三种盆栽的总数量，进而求出仙人掌的数量． 【详解】解：盆， 盆， ∴三种盆栽一共有90盆，仙人掌有30盆， 故答案为；90；30． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）张掖七彩丹霞景区是张掖唯一的级景区，在今年“十一黄金周”（国庆期间）更是火热，若在月日的游客人数为万人，下表为天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 日 日 日 日 日 日 日 人数变化/万人 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)与月日相比，月日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？ (3)“十一黄金周”（天），丹霞景区共接待游客多少人？ 【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差万人 (2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了万人 (3)“十一黄金周”（天），丹霞景区共接待游客万人 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加减混合运算的应用，注意正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，根据题意列出算式是解题的关键． （1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数； （2）由（1）的结论，根据正负数的意义即可求解； （3）分别计算这7天增加的人数，相加，再加上每天的3万人，可得总人数． 【详解】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是： 1日：（万人） 2日：（万人） 3日：（万人） 4日：（万人） 5日：（万人） 6日：（万人） 7日：（万人） 所以游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差（万人）； （2）解：由（1）可知，与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了万人； （3）解：这7天的游客总人数是 （万人）． 易错必刷题十、用科学计数法表示 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次，数据765000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）洲际弹道导弹是一种能够携带核弹头或常规弹头的远程导弹，主要用于跨大陆的战略攻击任务．作为现代核威慑战略的核心武器之一，它具备极大的毁灭性．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12000公里用科学记数法表示为 公里． 【答案】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解∶， 故答案为∶． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 易错必刷题十一、代数式的概念 1．（24-25七年级上·山东·期末）在式子，，，，中，代数式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单个数字和字母也是代数式，进行判断即可． 【详解】解∶ 在式子，，，，中，代数式有，，，共三个， 故选∶B． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）下列数与式子：① ② ③ ④ ⑤a ⑥0其中是代数式的是（填序号） ． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题考查了代数式的定义，代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，a ，0都是代数式， 故答案为：①②⑤⑥． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】①，③，⑤是代数式；②，④，⑥不是代数式． 【分析】本题考查代数式的判断，根据用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，进行判断即可． 【详解】解：①，③，⑤是代数式，②，④，⑥不是代数式． 易错必刷题十二、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（2024七年级上·辽宁·专题练习）若飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系可以表示为，则当滑行时间为时，滑行的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求代数式的值，将代入计算即可得出结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， 得：， ∴当滑行时间为时，滑行的距离为． 故选：A． 2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小欣每天从家里去学校，需要先乘坐公交车到学校附近的车站，然后再从车站步行到学校．已知公交车的速度为，小欣步行的速度为，那么小欣家到学校的路程可以用代数式表示为 ，若，，则小欣家到学校的路程是 ． 【答案】 / 6180 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值， 根据总路程等于公交车行驶的路程加上步行的路程可得代数式，再代入求值即可． 【详解】小欣家到学校的路程为． 当时，． 故答案为：，6180． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，其中有氧运动时；无氧运动时． (1)一个岁的人有氧运动所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)一个岁的人无氧运动，测得秒钟的心跳次数为次，他有危险吗？ 【答案】(1)次 (2)他有危险 【分析】本题主要考查了代数式求值，读懂题意，把符合条件的字母的值代入代数式进行计算是解题的关键． （1）将代入中求值即可． （2）将代入中求出，再求出的值，与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：且为有氧运动， ， 一个岁的人有氧运动所能承受的每分钟心跳的最高次数是次． （2）当且为无氧运动时， ，    他有危险． 易错必刷题十三、单项式的系数、次数 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）下面说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的系数是 C．的系数是 D．的系数是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的系数，掌握单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数是解题的关键．根据单项式系数的定义求解即可． 【详解】A．的系数是，故本选项错误； B．的系数是，故本选项错误； C．的系数是，故本选项正确； D．的系数是，故本选项错误； 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）写出一个系数是2024，次数是4，所含字母为a、b的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了单项式的概念，掌握单项式的次数与系数概念是解题关键． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，直接利用单项式的次数与系数概念，即可得出答案． 【详解】解：依题意得： 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用单项式表示，并指出它们的系数和次数： (1)一件商品的进货价是元，高于进货价20%出售，销售价是多少元？ (2)学校购买了一批图书，共箱，每箱有册，学校决定将这批图书的捐给社会福利院，则捐给社会福利院的图书有多少册？ (3)一个圆柱体的高为，底面圆的半径是，那么该圆柱体的体积是多少？ 【答案】(1)，它的系数是1.2，次数是1 (2)，它的系数是，次数是2 (3)，它的系数是，次数是3 【分析】本题考查了列代数式、单项式等知识，单项式的次数即单项式中所有字母的指数和，单项式的系数即单项式的数字因数，解题的关键是找出题中的数量关系． （1）根据题意列出算式，求出即可． （2）首先根据题意可得这批图书共有册，它的就是册，据此可得解． （3）根据圆柱体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：一件商品的进货价是元，高于进货价20%出售，销售价是元，它的系数是1.2，次数是1． （2）解：捐给社会福利院的图书有册，它的系数是，次数是2． （3）解：该圆柱体的体积是，它的系数是，次数是3． 易错必刷题十四、多项式的项、项数或次数 1．（24-25七年级上·湖北·期中）对于多项式，下列说法正确的是（   ） A．项数是2 B．二次项系数是2 C．常数项是3 D．次数是3 【答案】D 【分析】此题考查了多项式．根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数即可． 【详解】解：的项数是3；二次项系数是；常数项是；次数是3； 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）请写出一个只含有字母的五次三项式，且该整式不含二次项： ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据多项式的定义进行作答即可． 【详解】解：由题意知，只含有字母的五次三项式，且该整式不含二次项为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）关于，的多项式，其中n为正整数． (1)当，为何值时，它是六次四项式？ (2)当，为何值时，它是四次三项式？ 【答案】(1)， (2)，为任意正整数． 【分析】本题考查了多项式的次数和项数数，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，组成多项式的每一个单项式叫多项式的项； （1）根据多项式是六次三项式，可知多项式中次数最高项的次数是，多项式应由个单项式的和组成，可得：，，从而可以求出、的值； （2）根据多项式是四次三项式，可知多项式应由个单项式的和组成，所以可得，解方程求出的值，因为的系数为，所以这一项不存在，所以为任意正整数． 【详解】（1）解：是六次四项式， ， 解得：， 当、时，多项式是六次四项式； （2）解：多项式是四次三项式， ， 解得：，为任意正整数， ，为任意正整数． 易错必刷题十五、图形类规律探索 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形，第①个图形用了4根火柴棍，第②个图形用了7根火柴棍，第③个图形用了根火柴棍……，以此类推，第个图形应该用了（   ）根火柴棍 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的规律性问题，解题的关键在于能够找出其中隐藏的内在规律并熟练求解．根据第①个图形用了根火柴棍，第②个图形用了根火柴棍，第③个图形用了根火柴棍，以此类推找出规律即可． 【详解】由题意可知， 第①个图形用了根火柴棍， 第②个图形用了根火柴棍， 第③个图形用了根火柴棍， 第个图形应该用了根火柴棍， 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）【观察思考】 【规律发现】第10个图案中“★”和“◎”的个数共有 ． 【答案】 【分析】根据所给图案，依次求出图案中“◎”的个数和图案中“★”的个数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律． 【详解】解：由所给图案可知， 第1个图案中，“◎”的个数为：；“★”的个数为：； 第2个图案中，“◎”的个数为：；“★”的个数为：； 第3个图案中，“◎”的个数为：；“★”的个数为：； 第4个图案中，“◎”的个数为：；“★”的个数为：； ， ∴第个图案中，“◎”的个数为个．“★”的个数为：； 则把代入，得， 把代入，得， ∴（个） 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于点，，，若从点O到点的回形线为第一圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，……依次类推，则第10圈的长为多少？ 【答案】79 【分析】此题考查图形类规律的探究，正确观察图形得到图形的变化规律是解题的关键． 根据第一、二、三圈的长度，再得到规律即可得到答案． 【详解】解：观察图形，可知第一圈长， 第二圈长， 第三圈长，… 所以第n圈长（n为正整数）， 所以， 则第10圈的长度为79． 易错必刷题十六、合并同类项 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则和去括号法则即可求出答案． 【详解】解：、，选项不符合题意． 、，选项符合题意． 、，选项不符合题意． 、与不是同类项，选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）若代数式与的差是单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式计算，根据题意得与是同类项，得，将其代入代数式即可得；根据题意得出与是同类项是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与的差是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山西·期中）（1）化简：； （2）下面是嘉淇同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简： ． 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务一： ①第一步运算的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出正确的化简结果，并求出当，时该整式的值． 【答案】（1）；（2）①乘法对加法的分配律；②二，去括号时，第二项没有变号；；． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）根据去括号法则，合并同类项法则进行计算，化简正确答案，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）任务一：①第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，第二项没有变号； 任务二：原式 ， 当，时，． 易错必刷题十七、整式的加减运算与应用 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些代数式，若图中横行､竖行及斜行上的三个数之和都相等，则的值为（    ） x y 2 6 0 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式加减的应用．首先根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，可得：，据此求解即可． 【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴ 故选：A． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）一个三位数，个位上的数字b，十位数的数字a，百位上的数字比十位数的数字小2，表示这个三位数的式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，先表示出这个三位数的百位数字，再把百位数字乘以100加上十位数乘以10，最后加上个位数字即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个三位数的百位数字为， 又∵这个三位数得到个位上的数字b，十位数的数字a， ∴这个三位数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）如图1是永新某楼盘户型图，图2是户型图的简图．相当于边长为的正方形纸片，减去两个小长方形（虚线部分）再加上一个小长方形（左上部分）得到一个户型图，设减去的右下角的小长方形的长和宽分别为、2，左下角的小长方形的长和宽分别为、1，左上角的小长方形长和宽分别为，1． (1)用含、的式子表示户型图的面积为__________；（结果必须化简） (2)用米，米时，求该户型图图形面积的值．设小区物业费收费标准是按该户型图图形面积每个月一个平方米1.5元，请问这个户型一年要交多少物业费？ 【答案】(1) (2)面积为106平方米，物业费为元． 【分析】考查了列代数式，代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解答本题的关键． （1）根据图形，用正方形的面积减去两个长方形的面积加上一个长方形的面积，列式整理即可； （2）把米，米的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据图形有：， 故答案为：； （2）米，米时， 平方米， ∴物业费为：元， 即面积为106平方米，物业费为元． 易错必刷题十八、去括号、添括号 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）按下列要求，将多项式的后两项用 括起来，要求括号前面带有“”号，则 ． 【答案】 括号 【分析】本题考查了添加括号，掌握添加括号的方法即可．根据添加括号的法则进行解答即可．添加括号时，若括号前为负，要变号． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：括号；． 3．（23-24七年级上·山西大同·期末）下面是小明计算的过程，请你认真观察，回答问题． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)第一步和第三步的依据分别是________、________． (2)你认为小明的计算是否正确？如果错误，请指出是哪一步错了，并直接写出正确的结果．如果正确，不用作任何解释． 【答案】(1)乘法分配律；加法交换律 (2)不正确，第四步错误， 正确结果为 【分析】（1）根据前两步的步骤直接可以写出依据； （2）第四步合并同类项错了． 【详解】（1）解：前两步的依据分别是乘法分配律，去括号法则； 故答案为：乘法分配律；去括号法则． （2）小明的计算不正确，第四步错了， 正确答案为： 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键． 易错必刷题十九、等式的性质 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，下列不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，所以A选项不符合题意； B．若，则，所以B选项不符合题意； C．若，则，所以C选项不符合题意； D．若，则，所以D选项符合题意． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）□、△各代表一个数，已知，．则□= ， ． 【答案】 4 12 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，12． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若满足，求a、b、c的值， 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质和解一元一次方程，熟练掌握比例的性质和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 设，，，构建方程求解即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴，                         ∴， ∴，，． 易错必刷题二十、一元一次方程的三种解法 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）在方程，，，，，中，一元一次方程的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为1次的整式方程．直接利用一元一次方程的定义分析得出答案． 【详解】解： 含有2个未知数，不是一元一次方程， ，不是整式方程，不是一元一次方程， 是一元一次方程， 未知数的次数不为1，不是一元一次方程， 即，是一元一次方程， ，当时，不是一元一次方程， 一元一次方程有：，，共2个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，关键是根据换元法解答． 根据换元法得出，进而解答即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解，， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解 题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________； (2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (3)求该方程的正确解． 【答案】(1)等式的基本性质，乘法分配律 (2)三，移项时没有变号 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答； （2）检查步骤发现，移项时没有变号，据此可解答； （3）直接解方程即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的基本性质，乘法分配律； （2）解：以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号； 故答案为：三，移项时没有变号； （3） ． 易错必刷题二十一、一元一次方程的应用（销售、行程、工程）问题 1．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论． 【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为144米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进23米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进1米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】11天． 【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-1）米，利用甲工程队3天、乙1天共共掘进23米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可. 【详解】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-1）米， 由题意得3x+（x-1）=23，解得x=6，所以乙工程队每天掘进5米， 甲乙两个工程队还需联合工作天数=（天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作11天 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）小王看到两个商场的促销信息如图所示． 甲商场海报 乙商场海报 全场九折 1．购买不超过元不给予优惠． 2．购买超过了元但不超过元的，全部打九五折． 3．购买超过元的，元那部分打九二折，超过元的那部分打八折． (1)当一次性购物标价总额是元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ (2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (3)小王两次到乙商场分别购买标价元和元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）分别计算、即可求解； （2）设标价总额为，可得在甲商场实际付款；再得出在乙商场的实际付款，分类讨论即可求解； （3）分别计算小王两次到乙商场和只去一次乙商场的费用，即可求解． 【详解】（1）解：甲商场实际付款：（元）； 乙商场实际付款：（元）； （2）解：设标价总额为， 由题意得：在甲商场实际付款； 在乙商场实际付款，即： ，解得（舍去）； ，解得（舍去）； ，解得； ∴当标价总额是元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多 （3）解：小王两次到乙商场需要付款：（元）； 若小王只去一次乙商场，需要付款：（元）； 故可节省：（元） 易错必刷题二十二、一元一次方程的应用（几何、古代、电费水费）问题 1．（2024·安徽宿州·三模）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，那么还差4钱． (1)若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为______钱（用含x的式子表示）． (2)计算购买3个该物品所需的钱数． 【答案】(1) (2)159 【分析】（1）根据题设和已知即可列出式子； （2）根据“每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，那么还差4钱”列方程求解即可． 【详解】（1）解：若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为， 故答案为： （2）解：设共同买这一物品的人数为x人， 由题意得：， 解得：， ∴（钱）， ∴购买3个该物品所需的钱数为：（钱）． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意并列出方程是解题关键． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）如图所示是一个长方形,阴影部分的面积为S(单位:cm2). 根据图中尺寸,解答下列问题： （1）用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝5，求S的值． 【答案】（1）；（2）25 【分析】（1）由图形可知阴影面积为一半矩形面积减去左上角小三角形面积，故可列代数式． （2）令x=5，代入（1）所得代数式即可． 【详解】（1）依题意有 化简得． （2）当x=5时 =． 【点睛】本题考查了一元一次方程，将阴影面积拆解为矩形面积一半减去小三角形面积是解题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【答案】(1)20 (2)该户4月份用水； (3)5月份用水，6月份用水量为． 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， 故答案为：20； （2）解：该用户4月份交水费22元，， 设该户居民4月份用水， 根据题意得出：， 解得：． 故该户4月份用水； （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， 该用户6月份用水量超过5月份用水量， ， ①当时，，根据题意得： ，解得：， ， 当时，无解． ②当时，，根据题意得： ， 解得：， 检验知：符合题意，此时； ③当时，，根据题意得： ， 化简得：． 当时，无解． 综上知：5月份用水，6月份用水量为． 易错必刷题二十三、代入消元法、加减消元法 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知x，y满足方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】首先根据解方程组，由直接计算即可． 【详解】解：已知 ， 由得：， 所以． 故答案为2． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在《二元一次方程组》的单元复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组． 小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：②①，得 小华：由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程______，小华的过程______．（在横线处填写“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组：． 【答案】(1)正确；不正确 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）根据小丽和小华的解法分析即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）小丽：②①，得，正确； 小华：由②得③，把①代入③，得，不正确， 应为：由②得③，把①代入③，得． 故答案为：正确；不正确； （2）， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴． ∴． 易错必刷题二十四、二元一次方程组的应用（几何、行程、工程）问题 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度是 m/s，乙的速度是m/s ． 【分析】利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400m；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400m，进而得出方程组求出即可． 【详解】解：设甲的速度是xm/s，乙的速度是ym/s． 根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400； ②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400． 那么列方程组 ， 解得： ， 答：甲的速度是m/s，乙的速度是m/s． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法是解题关键． 2．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)见解析 (2)可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个 (3)最多可以加工成19个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程． （1）根据图2进行填表即可； （2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张； 填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 （2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个． （3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得： ， ∴， ∵m，n，均为非负整数， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∵， ∴最多可以加工成19个铁盒． 易错必刷题二十五、二元一次方程组的应用（销售、分配、古代）问题 1．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【答案】人加工课桌，人加工椅子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系．设人加工课桌，人加工椅子，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人加工课桌，人加工椅子， 由题意得， 解得：， 答：人加工课桌，人加工椅子． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？ 【答案】军官有名，士兵有名 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设军官有名，士兵名，根据共有名，得方程；根据共有尺布，得方程，联立方程组即可． 【详解】解：设军官有名，士兵名，根据题意，得： 解得： 答：军官有名，士兵有名． 易错必刷题二十六、三元一次方程组解与应用 1．（2024·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．设丙的钱数为z，根据丙语列方程，根据甲语列方程 ，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ． 【详解】解：设丙的钱数为z， 根据丙语得：整理得， 根据甲语得：整理得， 根据乙语得：整理得， 故答案为：或或． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 易错必刷题二十七、常见的几何体 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的认识，根据圆柱体的特征逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是四棱锥，故不符合题意； B、是圆柱，故符合题意； C、是四棱柱，故不符合题意； D、是三棱柱，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）长方体的长、宽、高分别是、、，它的体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的底面积和体积，根据长方体的底面积和体积公式计算即可，准确计算是解题的关键． 【详解】解：长方体的底面积长宽（）， 长方体的体积底面积高（）， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个底面边长均为3cm，侧棱长均为5cm的五棱柱，这个棱柱的侧面积之和是多少平方厘米？ 【答案】 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的侧面积的求法．将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 【详解】解： 答：这个棱柱的侧面积之和是． 易错必刷题二十八、几何体中的点、棱、面 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）下列几何体中，含有曲面的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据平面和曲面的特征解答即可． 【详解】解：观察几何体可知，含有曲面的是②球和④圆柱． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是 ； （2）这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； （3）侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】 三角形 3 长方形 相等 6 3 9 45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】解：（1）这个棱柱的底面是三角形； （2）这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； （3）侧面的个数与底面的边数相等； （4）这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； （5）， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为：（1）三角形；（2）3，长方形；（3）相等；（4）6；3，9；（5）45． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 易错必刷题二十九、直线、射线、线段的联系与区别 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及它们之间的联系与区别是解题的关键． 根据两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：①因为两点确定一条直线，所以过两点只能画一条直线，故说法①正确； ②过两点可以画条射线，故说法②错误； ③以两个点为端点只能画一条线段，该说法正确，故说法③正确； 综上，说法正确的有，共个， 故选：． 2．．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确； （2）直线和直线是同一条直线，正确； （3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确． 综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系． 易错必刷题三十、两点确定一条直线 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）要在墙上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子，其依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段可以度量 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】本题考查“两点确定一条直线”在生活中的实际运用，掌握概念即可解题． 【详解】解：因为经过两点有且只有一条直线，要在墙上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子，其依据是“两点确定一条直线”． 故选：B． 2．（2024·吉林松原·模拟预测）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线．由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，沿这根绳子可以砌出直的墙．这样做蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 【答案】见解析，小海龟经过的路线类似一面旗帜 【分析】根据指令一个一个移动或转弯即可． 【详解】解：如图所示：小海龟经过的路线类似一面旗帜．（画出图画即可，答不出图的形状亦可） 【点睛】本题考查转弯，直行等概念的理解，理解这些概念是本题解题关键． 易错必刷题三十一、线段中点的有关计算 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）研究下面解题过程： 如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长． 解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______ 针对其中，给出的数值不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据已知条件项求出的长，进而求出的长，再由线段中点的定义求出的长，即可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：因为，， 所以①． 因为②，而是的中点， 所以③． 所以④， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，在线段上．    (1)如图1，图中共有________条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_______（填“>”“=”或“<”） ②如图2，若，，是的中点，是的中点，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)①＞；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据不等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②解：，分别为，中点 ， ， ． 易错必刷题三十二、两点间的距离 1．（23-24七年级上·河南洛阳·开学考试）如果线段，， 那么A， C 两点之间的线段是（    ） A． B． C． D．最大是 ， 最小是 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差计算，注意共线的前提条件是解题的关键．根据题意，当点，，三点共线时，分两种情况：点C不在线段上时，A， C 两点之间的线段长度最大，点C在线段上时，A， C 两点之间的线段长度最小，据此即可求解． 【详解】解：当点，，三点共线，且点C不在线段上时，如图所示： 此时A， C 两点之间的线段长度最大，且最大值为； 当点，，三点共线，且点C在线段上时，如图所示： 此时A， C 两点之间的线段长度最小，且最小值为； 综上分析可知：A， C 两点之间的线段最大是 ， 最小是． 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）数轴上有三点M、N、E，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为 ． 【答案】8或4 【分析】本题考查了两点间的线段，分类讨论是解题关键．分类讨论：E在线段上，E在线段的反向延长线上，根据线段的差，可得答案． 【详解】解：当在线段．上时，． 当在线段的反向延长线上时，， 综上所述：， 故答案为：8或4． 3．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    【答案】图见解析，A树距B，C两树的实际距离分别是200m，173.2m． 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是正确画出图形，进行测量和换算．画出直角三角形ABC，其中内角分别是 ，，，然后量出，的长，再根据代表进行换算即可得到答案． 【详解】解：如图，    经测量可得：，， 换算可知：A树距B树的实际距离为， A树距C树的实际距离为． 易错必刷题三十三、方向角的表示 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的求解，解题的关键是熟练掌握方向角的有关知识．设正南方向，正北方向分别为点C、D，根据题意求得的度数即可求解． 【详解】解∶如图， 正南方向，正北方向分别为点C、D， 由题意，得，， 又， ∴， ∴B地在灯塔O的南偏东方向， 故选：B． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）电影院在小明家的南偏东方向600米处，那么小明家就在电影院 偏 方向600处． 【答案】 西 北 【分析】此题考查方向角．确定物体位置的两大要素是：方向与距离；根据方向的相对性可知：方向相对，角度不变，两个物体的距离不变，据此解答． 【详解】解：电影院在小明家的南偏东方向600米处，那么小明家就在电影院西偏北方向600处． 故答案为：西，北． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）做一做 (1)说一说王彬从家到商场的行走路线． 从家先向______偏______方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向______偏______方向走到达商场． (2)王彬从家到图书馆共走了多少米？如果每分钟走80米，多少分钟可以到达？ 【答案】(1)北；东 ；北；东 (2)王彬从家到图书馆共走了米，如果每分钟走80米，分钟可以到达 【分析】本题主要考查了方位角的应用，除法的应用： （1）根据上北下南，左西右东的方位，结合图示求解即可； （2）先求出总路程，再除以速度求出时间即可． 【详解】（1）解：由题意得，从家先向北偏东方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向北偏东方向走到达商场， 故答案为：北；东 ；北；东； （2）解：米， 所以王彬从家到图书馆共走了米， 所以如果每分钟走80米，分钟可以到达； 答：王彬从家到图书馆共走了米，如果每分钟走80米，分钟可以到达． 易错必刷题三十四、角的大小比较 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】略 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么 （填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是作出辅助线，得出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，取点E，连接， 根据网格可知，， ∵， ∴． 故答案为：＞． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 【答案】(1)表示方法不对，表示成，表示成，表示成 (2) (3)11个，列举见解析 【分析】（1）（2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）只需要表示出小于180度的角即可． 【详解】（1）解：表示成，表示成，表示成，这样的表示方法不对，正确的表示方法为 表示成，表示成，表示成 （2）解：图中可以用一个字母表示的角为 （3）解：图中小于平角的角有 ∴一共有11个角小于平角． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． 易错必刷题三十五、三角板中角度计算问题 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图，在含角的直角三角板中，过点B的直线交于点D，与边，形成的角分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角板中角度的计算．求出的度数，利用平角的定义求出的度数即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，知：， ∴， ∴； 故选A． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·开学考试）将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则 ．    【答案】 【分析】根据三角板的性质得到，结合已知角，计算可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了角的计算，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握三角板中的特殊角． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，则 ；若，则 ． (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； (3)如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查三角板中的角度计算，结合图形进行角度计算是关键． （1）根据图形进行角度计算即可； （2）根据图形得到，进而进行角度计算即可； （3）根据图形得到，进而进行角度计算即可． 【详解】（1）解：若 ∵， ∴ ∵ ∴ 若 ∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：，； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵ ∴； （3）解：， 理由：∵，， ∴ ∵ ∴． 易错必刷题三十六、角平分线的有关计算 1．（23-24七年级·全国·假期作业）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．4 C．5或23 D．4或22 【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值． 【详解】解：∵， ∴， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ∴； ∴t的值为：5或23． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，若点恰好落在上，且，则 ； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为 ． 【答案】 【分析】①由题意知，，根据，计算求解即可；② 由题意知，，根据，求出的值，进而根据计算求解即可． 【详解】解：①由题意知， ∵， ∴ 故答案为：58°． ②由题意知， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∠BOE＝20°，∠AOB＝122°． (1)求∠DOE的度数． (2)在解答完（1）题后，小明发现（1）题中的四个条件减少一个，也可以求出∠DOE的度数，并且∠DOE的度数不变．你赞同他的说法吗？如果你赞同他的说法，请写出能减少的那个条件，并写出解答过程；如果你不赞同他的说法，请说出你的理由． 【答案】(1)61° (2)赞同，过程见解析 【分析】（1）先求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠COE、∠COD，然后根据∠DOE＝∠COE+∠COD代入数据进行计算即可得解； （2）根据（1）的思路求出∠DOE＝∠AOB． 【详解】（1）解：∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠BOE＝∠COE＝20°， ∴∠AOC＝82°， ∵OD是∠AOC的平分线， ∴∠AOD＝∠COD＝41°， ∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝20°+41°＝61°； （2）解：赞同，去掉∠BOE＝20°， ∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴∠DOE（∠AOC+∠BOC）＝61°． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图，在不同情况下表示出∠COE和∠COD是解题的关键． 易错必刷题三十七、求一个角的余角、求一个角的补角 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是（    ） A．是锐角 B．是钝角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角以及相关计算，根据题意一一判断即可． 【详解】解：A．根据题意得，化简得，由于角大于零，则是钝角，故本选项不符合题意； B．根据有余角，可以推断出是锐角，不是钝角，故本选项不符合题意； C．根据的补角：，的余角：，根据题意得：，化简得，故本选项符合题意； D．无法判断，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）已知与互为余角，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了求一个角余角的度数，根据度数之和为90度的两个角互余进行求解即可． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山西晋中·期中）如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．    (1)与互余的角是___________，互补的角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角； （2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴与互余的角是； ∵， ∴与互补的角是． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． 易错必刷题三十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，需结合余角和补角的定义进行求解； 如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据图象求解即可． 【详解】解：A．由图可知，所以与互余，故本选项错误； B．同角的余角相等，所以，故本选项正确； C．由图可知，但推不出，故本选项错误； D．由图可知，所以和互补，故本选项错误． 故选：B． 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，，，垂足为D，与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义理解．根据“等角的余角相等”，即可得到正确答案． 【详解】解：与相等，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）请补全下面的解题过程 已知：如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分，． 求证：OC是的平分线． 证明：因为OD是的平分线， 所以． 因为． 所以， ． 因为， 所以． 所以OC是的平分线． 【答案】；90；， 【分析】此题考查角平分线的定义，等角的余角相等的性质，根据角平分线的定义以及等角的余角相等逐步推理证明，即可得到结论． 【详解】证明：因为是的平分线， 所以． 因为， 所以， ． 因为， 所以． 所以平分． 故答案为：；90；，． 易错必刷题三十九、数据的收集与整理 1．（2024七年级上·全国·专题练习）为了考察一所中学的教学水平，将对该校七年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽样（已知该校七年级共有20个教学班，并且每个班的学生人数相同）：从全年级20个班中随机抽取1个班，再从该班中随机抽取20人，考察他们的考试成绩．根据上面的叙述，请回答下面的问题： (1)该所中学的教学水平是 （填“定量数据”或“定性数据”）； (2)其中总体、个体、样本分别指什么？样本的容量是多少？ (3)试写出上面抽取样本的步骤． 【答案】(1)定性数据 (2)总体是该校七年级全体学生本学年的考试成绩；个体是七年级每个学生本学年的考试成绩；样本是所抽取的20名学生本学年的考试成绩．样本容量是20 (3)见解析 【分析】此题主要考查了抽样调查，关键是掌握抽样调查的定义． （1）根据题意写出答案即可； （2）总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目； （3）根据抽样调查的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，该所中学的教学水平是定性数据； 故答案为：定性数据； （2）解：总体是该校七年级全体学生本学年的考试成绩；个体是七年级每个学生本学年的考试成绩；样本是所抽取的20名学生本学年的考试成绩．样本容量是20； （3）解：示例： ①先在这20个班中用抽签法抽取1个班； ②然后从抽取的这个班中按学号用抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下面是一幢居民楼内的家庭人口情况统计表．根据下表制作扇形统计图，表示家庭人口数分别是2，3，4，5的户数占这一幢居民楼总户数的百分比． 家庭人口数 2 3 4 5 户数 8 22 6 4 (1)分别计算家庭人口数是2，3，4，5的户数占总户数的百分比； (2)分别计算家庭人口数是2，3，4，5的户数所对应的扇形的圆心角的度数； (3)画出扇形统计图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了扇形统计图； （1）根据表格数据分别计算百分比即可求解； （2）根据百分比乘以，即可求解； （3）根据题意画出扇形统计图，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得这幢居民楼内的总户数为，则家庭人口数是的户数占总户数的百分比为， 家庭人口数是的户数占总户数的百分比为， 家庭人口数是的户数占总户数的百分比为， 家庭人口数是的户数占总户数的百分比为． （2）家庭人口数是的户数所对应的扇形的圆心角的度数为， 家庭人口数是的户数所对应的扇形的圆心角的度数为， 家庭人口数是的户数所对应的扇形的圆心角的度数为， 家庭人口数是的户数所对应的扇形的圆心角的度数为． （3）所画的扇形统计图如答图． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）每年的5月20日为“中国学生营养日”，为传播正确的营养知识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“科学饮食，健康成长”知识考试，阅卷后，学校团委随机抽取了部分学生考卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计表和统计图（如图）． 分数段（分） 频数 所占百分比 a 18 b n 35 12 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生共有 名； (2) ， ， ； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)该校对考试成绩为的学生进行奖励，请你估算全校获得奖励的学生人数． 【答案】(1)100 (2)10；25； (3)见解析 (4)300人 【分析】（1）用表格中分数段为的频数除以所占百分比可得本次抽样调查的学生人数． （2）用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为所占百分比可得a的值；用本次抽样调查的学生人数分别减去分数段为，，，，的人数，可得b的值；用b的值除以本次抽样调查的学生人数再乘以可得n的值． （3）根据（2）所求数据补全频数分布直方图即可． （4）根据用样本估计总体，用2500乘以表格中所占百分比即可得出答案． 本题考查频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 【详解】（1）解：本次抽样调查的学生共有（名）． 故答案为：100． （2）解：，． 故答案为：10；25；25%． （3）补全频数分布直方图如图所示． （4）解：（人）． ∴估计全校获得奖励的学生人数约300人． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列解方程，结果正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤逐个求解即可． 【详解】解：A、由，得，故不符合题意； B、由，得，故符合题意； C、由，得，故不符合题意； D、由，得，故不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据图形得出，即可得解． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）根据下列运算程序，若输入，则第一次输出的结果为（   ） A． B．11 C．21 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，将，代入代数式进行计算，进而判断结果是否大于，如果是则输出，否则将结果作为输入值继续代入，直到结果大于，即可求解． 【详解】解：输入，，返回继续执行程序； 输入，，返回继续执行程序； 输入，，输出． 故选：C． 4．（2024·安徽合肥·二模）七年级四个民乐兴趣小组人数统计图表如下，部分数据丢失用“？”表示，已知统计表中四列中的数据是按从大到小顺序排列的，则表示的是（    ） 民乐小组人数统计表 民乐小组名称 人数 16 ？ ？ 5 A．古筝 B．笛子 C．二胡 D．葫芦丝 【答案】A 【分析】本题考查了统计表，扇形统计图，根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案，从统计图中得出必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表和扇形统计图得组人数最少，为人，组人数最多，为人， 七年级四个民乐兴趣小组总人数为（人）， 组人数所占的百分比为， 笛子人数所占的百分比为：， 由统计表得，统计表中四列中的数据是按从大到小顺序排列的，排在第三位， 表示的是古筝， 故选：A． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和 的平分线．若，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线及角的和差计算，根据角平分线定义及角的和差逐一判断即可． 【详解】解：∵和分别是和 的平分线， ∴，， ∴，说法正确，故A不符合题意； ，说法正确，故B不符合题意； ，说法正确，故C不符合题意； ，说法错误，故D符合题意； 故选D． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）据统计，合肥市常住人口约985.3万，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：985.3万． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点．若， ，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，先根据线段中点的定义得出，，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点． ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中正方形1的边长为m，图中阴影部分的周长为 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了列代数式．根据图意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，结合图形求得阴影部分的周长即可． 【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为， 则阴影部分的周长为：． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点以的速度、乙从点以的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙将在正方形的 边上（用字母表示，例如边） 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，完成本题要注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上时在正方形的那条边上．设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算乙所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇． 【详解】解：设乙x分钟后追上甲， 由题意得，， 解得：， 而， 即乙第一次追上甲是在边上． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期中）甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出 1800 张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，学校共设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已经统计了所有选票， 剩下第四投票箱尚未统计，结果如表所示： 投票箱 候选人得票 废票 合计 甲 乙 丙 一 200 211 147 12 570 二 286 85 244 15 630 三 97 41 205 7 350 四 250 则没有机会当选学生会主席的是 ． 【答案】乙 【分析】根据题意将三个投票箱所得所有票数相加得出甲、乙、丙三名候选人的得票，进而分别分析得票的张数得出答案． 【详解】解：∵第一、第二、第三所投票箱甲得票数为：（票）； 乙得票数为：（票）； 丙得票数为：（票）； 则（票）， 即丙目前领先甲票， 所以第四投票箱甲赢丙票以上，则甲当选，故甲可能当选； ， 若第四投票票都给乙，乙的总票数仍然比丙低，故没有机会当选学生会主席的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】此题主要考查了统计表，正确利用表格中数据分析得票情况是解题关键． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程组．熟练掌握解一元一次方程的步骤和消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）方程整理后，利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 13．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）本学期体育老师对七（1）班50名学生进行了跳绳项目的测试，满分5分，根据测试成绩制作了如图所示的两个统计图． 七（1）班跳绳测试得分人数条形统计图  七（1）班跳绳测试得分人数扇形统计图                     根据统计图解答下列问题： (1)本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？ (2)求出扇形统计图中“2分”所在扇形的圆心角度数； (3)通过一段时间的训练，体育老师对该班学生进行第二次跳绳项目的测试，测得成绩的最低分为3分，得4分的人数没变，且得4分和5分的人数共有40人，试通过计算补全第二次测试的扇形统计图（如图）． 【答案】(1)25人 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用总人数乘以得4分的学生所占的百分比即可得出答案； （2）用乘以“得2分”的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）分别求出第二次测试得3分，4分，5分的人数，再计算它们所在扇形圆心角的度数，由此补全统计图即可． 【详解】（1）解：得4分的学生有（人）． 答：得4分的学生有25人． （2）解：“2分”所在扇形的圆心角度数是． （3）解：由题意可得，得4分的人数为25，占，所在扇形的圆心角度数是； 得3分的人数为（人）， 占， 所在扇形的圆心角度数是； 得5分的人数为（人）， 占， 所在扇形的圆心角度数是． 补全第二次测试的扇形统计图如下： 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）某网约车的车费由里程费、时长费、远途费三部分构成．车费计价规则如下表： 里程费 时长费 远途费 单价 元/千米 元/分钟 当里程不超过千米，不收费用；当里程超过千米，超过千米的部分以元/千米额外加收费用． (1)若行车里程为千米，时长为分钟，需付车费______元： (2)若行车里程为千米，时长为分钟，求应付的车费；（用含、的代数式表示） (3)乘坐该网约车去某地，导航显示两条路线． 路线：行车里程为千米，时长为分钟； 路线：行车里程比路线多千米，时长比路线少分钟． 请问选择哪一条路线所付车费较少？并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)选择路线所付车费较少，见解析 【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，列出代数式，进行解答，即可． （1）根据网约车行车计费规则计算，即可； （2）根据行车里程为千米，分别讨论在千米以内还是大于千米，分别计算出相应的车费，即可； （3）分别用含，的代数式表示路线和路线的车费，进行比较，即可． 【详解】（1）解：行车里程为千米，里程费为：（元）， 时长为分钟，时长费为：（元）， ∵超过千米的部分以元/千米额外加收费用， ∴远途费为：（元）， ∴需付车费为：（元）． （2）解：∵里程费为元/千米，时长费为元/分钟，远途费：当里程不超过千米，不收费用；当里程超过千米，超过千米的部分以元/千米额外加收费用 ∴当，应付车费为：（元）； 当，应付车费为：（元）； ∴若行车里程为千米，时长为分钟，求应付的车费为：． （3）答：路线所付车费较少，理由如下： 路线：行车里程为千米，时长为分钟； ∴应付车费为：（元）； 路线：行车里程比路线多千米，时长比路线少分钟， ∴应付车费为：（元）， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴路线所付车费较少． 15．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）（1）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，．    (1)①如图1，若时，求的度数． ②如图2，若是的平分线，求的度数． (2)如图3，如果两个锐角，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①求出即可；②根据，表示出即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵ ∴； ②∵, ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算．正确找到各角的和差关系是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（132题39个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正负数的定义与应用 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（    ） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如果表示向东走，那么表示 ． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 袋数/袋 4 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ (2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？ 易错必刷题二、有理数的分类 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在（每两个2之间的0个数逐次增加1）中，有理数的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置． ，，0，，，，8，，． 易错必刷题三、利用数轴比较有理数的大小 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A，B在数轴上原点的两侧，分别表示的数为a，2，，则a （填＞、＜或＝） 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）请在数轴上表示下列有理数：， ， ，，0，并将它们用“”连接起来． 易错必刷题四、相反数与绝对值 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数对中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）有下列说法：①任何数的绝对值都是正数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④若|a|＝﹣a，则a一定是负数；⑤绝对值等于它本身的数是0．其中正确的有 ．（填序号） 3．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当A为原点时，点表示的数是，点表示的数是．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． (2)数a和b在数轴上的位置如图所示，将，，，从小到大排列为 ． (3)在所给数轴上表示下列各数：，，，． 易错必刷题五、有理数大小比较的实际应用 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列四个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）比较大小： （填“＜”或“＞”）． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 易错必刷题六、有理数的加减混合运算 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算．则 （直接写出答案）． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，例如：；当时，例如：，根据以上阅读完成： (1)____________． (2)计算：． 易错必刷题七、有理数乘除混合运算 1．（24-25七年级上·全国·期中）下列各式中，计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，这个量杯最多可装120毫升的水，那么现在量杯里的水有 毫升． 3．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）直接写得数． （1）                （2）            （3） （4）            （5）            （6） （7）                    （8） 易错必刷题八、含乘方的有理数混合运算 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中的数应为（   ） A．668 B．667 C．666 D．665 2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）嘉琪编写了一个计算机程序如图所示，若输入的数是2，则输出的数是 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 易错必刷题九、有理数加减乘除混合运算的应用 1．（24-25七年级上·浙江·期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（    ） A． B． C．5 D．9 2．（2024·山东东营·模拟预测）假设月季、向日葵的盆数都与仙人掌同样多，则三种盆栽一共有( )盆，仙人掌有( )盆． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）张掖七彩丹霞景区是张掖唯一的级景区，在今年“十一黄金周”（国庆期间）更是火热，若在月日的游客人数为万人，下表为天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 日 日 日 日 日 日 日 人数变化/万人 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)与月日相比，月日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？ (3)“十一黄金周”（天），丹霞景区共接待游客多少人？ 易错必刷题十、用科学计数法表示 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次，数据765000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）洲际弹道导弹是一种能够携带核弹头或常规弹头的远程导弹，主要用于跨大陆的战略攻击任务．作为现代核威慑战略的核心武器之一，它具备极大的毁灭性．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12000公里用科学记数法表示为 公里． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 易错必刷题十一、代数式的概念 1．（24-25七年级上·山东·期末）在式子，，，，中，代数式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）下列数与式子：① ② ③ ④ ⑤a ⑥0其中是代数式的是（填序号） ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 易错必刷题十二、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（2024七年级上·辽宁·专题练习）若飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系可以表示为，则当滑行时间为时，滑行的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小欣每天从家里去学校，需要先乘坐公交车到学校附近的车站，然后再从车站步行到学校．已知公交车的速度为，小欣步行的速度为，那么小欣家到学校的路程可以用代数式表示为 ，若，，则小欣家到学校的路程是 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，其中有氧运动时；无氧运动时． (1)一个岁的人有氧运动所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)一个岁的人无氧运动，测得秒钟的心跳次数为次，他有危险吗？ 易错必刷题十三、单项式的系数、次数 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）下面说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的系数是 C．的系数是 D．的系数是0 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）写出一个系数是2024，次数是4，所含字母为a、b的单项式： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用单项式表示，并指出它们的系数和次数： (1)一件商品的进货价是元，高于进货价20%出售，销售价是多少元？ (2)学校购买了一批图书，共箱，每箱有册，学校决定将这批图书的捐给社会福利院，则捐给社会福利院的图书有多少册？ (3)一个圆柱体的高为，底面圆的半径是，那么该圆柱体的体积是多少？ 易错必刷题十四、多项式的项、项数或次数 1．（24-25七年级上·湖北·期中）对于多项式，下列说法正确的是（   ） A．项数是2 B．二次项系数是2 C．常数项是3 D．次数是3 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）请写出一个只含有字母的五次三项式，且该整式不含二次项： ．（只写一个） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）关于，的多项式，其中n为正整数． (1)当，为何值时，它是六次四项式？ (2)当，为何值时，它是四次三项式？ 易错必刷题十五、图形类规律探索 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形，第①个图形用了4根火柴棍，第②个图形用了7根火柴棍，第③个图形用了根火柴棍……，以此类推，第个图形应该用了（   ）根火柴棍 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）【观察思考】 【规律发现】第10个图案中“★”和“◎”的个数共有 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于点，，，若从点O到点的回形线为第一圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，……依次类推，则第10圈的长为多少？ 易错必刷题十六、合并同类项 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）若代数式与的差是单项式，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·山西·期中）（1）化简：； （2）下面是嘉淇同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简： ． 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务一： ①第一步运算的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出正确的化简结果，并求出当，时该整式的值． 易错必刷题十七、整式的加减运算与应用 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些代数式，若图中横行､竖行及斜行上的三个数之和都相等，则的值为（    ） x y 2 6 0 A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）一个三位数，个位上的数字b，十位数的数字a，百位上的数字比十位数的数字小2，表示这个三位数的式子是 ． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）如图1是永新某楼盘户型图，图2是户型图的简图．相当于边长为的正方形纸片，减去两个小长方形（虚线部分）再加上一个小长方形（左上部分）得到一个户型图，设减去的右下角的小长方形的长和宽分别为、2，左下角的小长方形的长和宽分别为、1，左上角的小长方形长和宽分别为，1． (1)用含、的式子表示户型图的面积为__________；（结果必须化简） (2)用米，米时，求该户型图图形面积的值．设小区物业费收费标准是按该户型图图形面积每个月一个平方米1.5元，请问这个户型一年要交多少物业费？ 易错必刷题十八、去括号、添括号 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）按下列要求，将多项式的后两项用 括起来，要求括号前面带有“”号，则 ． 3．（23-24七年级上·山西大同·期末）下面是小明计算的过程，请你认真观察，回答问题． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)第一步和第三步的依据分别是________、________． (2)你认为小明的计算是否正确？如果错误，请指出是哪一步错了，并直接写出正确的结果．如果正确，不用作任何解释． 易错必刷题十九、等式的性质 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，下列不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2024七年级上·全国·专题练习）□、△各代表一个数，已知，．则□= ， ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若满足，求a、b、c的值，               易错必刷题二十、一元一次方程的三种解法 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）在方程，，，，，中，一元一次方程的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是 ． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解 题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________； (2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (3)求该方程的正确解． 易错必刷题二十一、一元一次方程的应用（销售、行程、工程）问题 1．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为144米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进23米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进1米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）小王看到两个商场的促销信息如图所示． 甲商场海报 乙商场海报 全场九折 1．购买不超过元不给予优惠． 2．购买超过了元但不超过元的，全部打九五折． 3．购买超过元的，元那部分打九二折，超过元的那部分打八折． (1)当一次性购物标价总额是元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ (2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (3)小王两次到乙商场分别购买标价元和元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 易错必刷题二十二、一元一次方程的应用（几何、古代、电费水费）问题 1．（2024·安徽宿州·三模）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，那么还差4钱． (1)若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为______钱（用含x的式子表示）． (2)计算购买3个该物品所需的钱数． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）如图所示是一个长方形,阴影部分的面积为S(单位:cm2). 根据图中尺寸,解答下列问题： （1）用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝5，求S的值． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 易错必刷题二十三、代入消元法、加减消元法 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知x，y满足方程组，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在《二元一次方程组》的单元复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组． 小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：②①，得 小华：由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程______，小华的过程______．（在横线处填写“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组：． 易错必刷题二十四、二元一次方程组的应用（几何、行程、工程）问题 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？ 2．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 易错必刷题二十五、二元一次方程组的应用（销售、分配、古代）问题 1．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？ 易错必刷题二十六、三元一次方程组解与应用 1．（2024·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 2．（2024七年级上·全国·专题练习）[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？  易错必刷题二十七、常见的几何体 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）长方体的长、宽、高分别是、、，它的体积是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个底面边长均为3cm，侧棱长均为5cm的五棱柱，这个棱柱的侧面积之和是多少平方厘米？ 易错必刷题二十八、几何体中的点、棱、面 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）下列几何体中，含有曲面的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是 ； （2）这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； （3）侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 易错必刷题二十九、直线、射线、线段的联系与区别 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 易错必刷题三十、两点确定一条直线 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）要在墙上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子，其依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段可以度量 D．两点之间，线段最短 2．（2024·吉林松原·模拟预测）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的数学依据是 ． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 易错必刷题三十一、线段中点的有关计算 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）研究下面解题过程： 如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长． 解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______ 针对其中，给出的数值不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，在线段上．    (1)如图1，图中共有________条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_______（填“>”“=”或“<”） ②如图2，若，，是的中点，是的中点，求线段的长度． 易错必刷题三十二、两点间的距离 1．（23-24七年级上·河南洛阳·开学考试）如果线段，， 那么A， C 两点之间的线段是（    ） A． B． C． D．最大是 ， 最小是 2．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）数轴上有三点M、N、E，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为 ． 3．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    易错必刷题三十三、方向角的表示 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）电影院在小明家的南偏东方向600米处，那么小明家就在电影院 偏 方向600处． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）做一做 (1)说一说王彬从家到商场的行走路线． 从家先向______偏______方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向______偏______方向走到达商场． (2)王彬从家到图书馆共走了多少米？如果每分钟走80米，多少分钟可以到达？ 易错必刷题三十四、角的大小比较 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么 （填“＞”“＜”或“＝”） 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 易错必刷题三十五、三角板中角度计算问题 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图，在含角的直角三角板中，过点B的直线交于点D，与边，形成的角分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·开学考试）将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则 ．    3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，则 ；若，则 ． (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； (3)如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 易错必刷题三十六、角平分线的有关计算 1．（23-24七年级·全国·假期作业）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．4 C．5或23 D．4或22 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，若点恰好落在上，且，则 ； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为 ． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∠BOE＝20°，∠AOB＝122°． (1)求∠DOE的度数． (2)在解答完（1）题后，小明发现（1）题中的四个条件减少一个，也可以求出∠DOE的度数，并且∠DOE的度数不变．你赞同他的说法吗？如果你赞同他的说法，请写出能减少的那个条件，并写出解答过程；如果你不赞同他的说法，请说出你的理由． 易错必刷题三十七、求一个角的余角、求一个角的补角 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是（    ） A．是锐角 B．是钝角 C． D． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）已知与互为余角，若，则 ． 3．（23-24七年级上·山西晋中·期中）如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．    (1)与互余的角是___________，互补的角是___________； (2)若，求的度数． 易错必刷题三十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，，，垂足为D，与的关系是 ． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）请补全下面的解题过程 已知：如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分，． 求证：OC是的平分线． 证明：因为OD是的平分线， 所以． 因为． 所以， ． 因为， 所以． 所以OC是的平分线． 易错必刷题三十九、数据的收集与整理 1．（2024七年级上·全国·专题练习）为了考察一所中学的教学水平，将对该校七年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽样（已知该校七年级共有20个教学班，并且每个班的学生人数相同）：从全年级20个班中随机抽取1个班，再从该班中随机抽取20人，考察他们的考试成绩．根据上面的叙述，请回答下面的问题： (1)该所中学的教学水平是 （填“定量数据”或“定性数据”）； (2)其中总体、个体、样本分别指什么？样本的容量是多少？ (3)试写出上面抽取样本的步骤． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下面是一幢居民楼内的家庭人口情况统计表．根据下表制作扇形统计图，表示家庭人口数分别是2，3，4，5的户数占这一幢居民楼总户数的百分比． 家庭人口数 2 3 4 5 户数 8 22 6 4 (1)分别计算家庭人口数是2，3，4，5的户数占总户数的百分比； (2)分别计算家庭人口数是2，3，4，5的户数所对应的扇形的圆心角的度数； (3)画出扇形统计图． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）每年的5月20日为“中国学生营养日”，为传播正确的营养知识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“科学饮食，健康成长”知识考试，阅卷后，学校团委随机抽取了部分学生考卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计表和统计图（如图）． 分数段（分） 频数 所占百分比 a 18 b n 35 12 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生共有 名； (2) ， ， ； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)该校对考试成绩为的学生进行奖励，请你估算全校获得奖励的学生人数． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列解方程，结果正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）根据下列运算程序，若输入，则第一次输出的结果为（   ） A． B．11 C．21 D．24 4．（2024·安徽合肥·二模）七年级四个民乐兴趣小组人数统计图表如下，部分数据丢失用“？”表示，已知统计表中四列中的数据是按从大到小顺序排列的，则表示的是（    ） 民乐小组人数统计表 民乐小组名称 人数 16 ？ ？ 5 A．古筝 B．笛子 C．二胡 D．葫芦丝 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和 的平分线．若，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）据统计，合肥市常住人口约985.3万，用科学记数法表示为 ． 7．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点．若， ，则的长为 ； 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中正方形1的边长为m，图中阴影部分的周长为 （用含m的代数式表示） 9．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点以的速度、乙从点以的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙将在正方形的 边上（用字母表示，例如边） 10．（23-24七年级上·江苏南京·期中）甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出 1800 张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，学校共设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已经统计了所有选票， 剩下第四投票箱尚未统计，结果如表所示： 投票箱 候选人得票 废票 合计 甲 乙 丙 一 200 211 147 12 570 二 286 85 244 15 630 三 97 41 205 7 350 四 250 则没有机会当选学生会主席的是 ． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）解方程（组）： (1)； (2)． 13．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）本学期体育老师对七（1）班50名学生进行了跳绳项目的测试，满分5分，根据测试成绩制作了如图所示的两个统计图． 七（1）班跳绳测试得分人数条形统计图  七（1）班跳绳测试得分人数扇形统计图                     根据统计图解答下列问题： (1)本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？ (2)求出扇形统计图中“2分”所在扇形的圆心角度数； (3)通过一段时间的训练，体育老师对该班学生进行第二次跳绳项目的测试，测得成绩的最低分为3分，得4分的人数没变，且得4分和5分的人数共有40人，试通过计算补全第二次测试的扇形统计图（如图）． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）某网约车的车费由里程费、时长费、远途费三部分构成．车费计价规则如下表： 里程费 时长费 远途费 单价 元/千米 元/分钟 当里程不超过千米，不收费用；当里程超过千米，超过千米的部分以元/千米额外加收费用． (1)若行车里程为千米，时长为分钟，需付车费______元： (2)若行车里程为千米，时长为分钟，求应付的车费；（用含、的代数式表示） (3)乘坐该网约车去某地，导航显示两条路线． 路线：行车里程为千米，时长为分钟； 路线：行车里程比路线多千米，时长比路线少分钟． 请问选择哪一条路线所付车费较少？并说明理由． 15．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）（1）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，．    (1)①如图1，若时，求的度数． ②如图2，若是的平分线，求的度数． (2)如图3，如果两个锐角，直接写出与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$