6.3 相似图形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.3　相似图形 学习目标 1. 了解形状相同的图形是相似形，能在诸多图形中找出相似形； 2. 了解相似多边形和相似比； 3. 能根据多边形的定义判断两个多边形是否相似. 2 知识回顾 什么是全等图形？如何表示？ 全等图形的性质是什么？ 如何判断两个图形是否全等？ 问题情境 放映电影时，银幕上的画面是由放映机把底片上的画面经过放大后投影得到的，底片上的画面与银幕上的画面之间有什么联系？ 4 问题情境 用复印机打印出来的图片与原图片有什么区别和联系？ 5 观察与思考 下列各组图形有什么共同的特征? 你还能举出具有这样特征的图形吗? 概念学习 形状相同的图形叫做相似形 (similar figures)． 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 7 新知巩固 1.你见过哈哈镜吗？哈哈镜中的你与你本人相似吗？ 等比例放大或缩小. 8 新知巩固 2.在下列图形中，找出相似图形. 相似形不仅仅指平面图形,也包括立体图形. 9 新知巩固 3. 在图④~⑨中，找出分别与图①、图②、图③相似的图形. ① ⑨ ② ⑤ ③ ⑦ 图形的大小位置不一定相同. 10 在数学中，两个多边形具有怎样的特征才能说它们“形状相同”, 称为相似多边形呢? 讨论与交流 11 思考与探索 1. 图(1)中的两个正三角形的边和角分别有怎样的数量关系？ C B A A′ B′ C′ （1） 各角分别相等，各边成比例. ∠A＝∠A′，∠B ＝∠B′，∠C ＝∠C′ 12 思考与探索 1. 图(2)中的两个三角形的边和角分别有怎样的数量关系？ ∠A＝∠A′，∠B ＝∠B′，∠C ＝∠C′ A B C A′ B′ C′ （2） 各角分别相等，各边成比例. 13 思考与探索 2. 图(1)中的两个正方形的边和角分别有怎样的数量关系？ ∠A＝∠A′，∠B ＝∠B′，∠C ＝∠C′，∠D＝∠D′ C B A D A′ B′ C′ D′ （1） 各角分别相等，各边成比例. 14 思考与探索 2. 图(2)中的两个四边形的边和角分别有怎样的数量关系？ ∠A＝∠A′，∠B ＝∠B′，∠C ＝∠C′，∠D＝∠D′ A′ B′ C′ D′ A B C D （2） 各角分别相等，各边成比例. 15 概念学习 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形(similar polygons). 相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 如何用符号语言描述两个多边形相似？ 16 思考与探索 A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ A B C D △ABC与△A′B′C′相似 记作：△ABC∽△A′B′C′ 读作：△ABC相似于△A′B′C′ 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似 记作：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′ 读作：四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′ 表示两个多边形相似应把对应顶点的字母写在对应的位置上. 17 概念学习 相似多边形的对应边的比叫做相似比(similarity ratio)． 全等图形是相似图形，相似比是1. 18 尝试与交流 （2） A′ B′ C′ D′ C B A D A B C D 60° A′ B′ C′ D′ 30° 1.下图(1)中的两个矩形是相似多边形吗？为什么？图(2)中的两个菱形呢？ （1） 图(1)中的两个矩形的各角相等，但各边不成比例，它们不是相似多边形. 图(2)中的两个菱形的各边成比例，但各角不分别相等，它们不是相似多边形. 19 尝试与交流 2.下面每组两个三角形相似，请把它们表示出来，并说出它们的相似比. △______与△_______， △ABC与 △ A'B'C' 的相似比为_____； 1.5 3 1.5 △______与△_______， △DEF与 △ABC的相似比为_______. C B A A′ B′ C′ 2 C B A 4 2 E F D ABC A'B'C' 1:2 ABC DEF 2:1 20 例题讲解 例1 如图，已知△ABC∽△A′B′C′．求∠α的大小和A′C′的长. A B C 8 10 60° A′ B′ C′ 6 α 解：∵△ABC∽△A′B'C'， ∴∠α＝∠A＝60°，， (相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ) ∴ A′C′＝＝7.5 . 21 例题讲解 例2 如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．△DEF与△ABC相似吗？为什么？ A B C D E F 解：由三角形中位线的性质，知 EF∥BC， DE∥AB，DF∥AC； EF＝BC，DE＝AB，DF＝AC． 于是，在▱AFDE、▱BDEF、▱CEFD中， ∠EDF＝∠A，∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠C. 又∵ ， ∴ △DEF∽△ABC. 22 新知巩固 1. (1)所有的等腰三角形都相似吗? 为什么? (2)所有的直角三角形都相似吗? 所有的等腰直角三角形呢? 为什么? 解：(1)所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似; (2)所有的直角三角形的两个锐角不一定相同，故不一定相似， 所有的等腰直角三角形的两个锐角都是45°，故一定相似. 23 新知巩固 2. △ABC的三条边的长分别为4、5、6，与△ABC相似的△A'B'C'的最长边的长为18，求△A'B'C'的最短边的长. 解：设△A'B'C'的最短边为x， ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴ . 解得x12. 答：△A'B'C'的最短边的长是12. 24 新知巩固 3. 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．求∠α、∠β的大小和A'D'的长. A B C D 8 6 β 75° 80° A' B' D' C' 9 α 120° 解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠α＝∠C＝80°，∠A＝∠A'＝120°， ， (相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ) ∴∠β360°－80°－75°－120°85° A′D′12 . 25 新知巩固 4. 如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点O(不与点A、B重合)，连接OC、OD，分别取OA、OB、OC、OD的中点A'、B'、C'、D'，连接 A'D'、D'C'、C'B'．四边形 A'B'C'D'与四边形ABCD相似吗？为什么？ 解:由三角形中位线的性质，知 A'D' ∥AD ，D'C'∥DC ，C'B' ∥CB； A'D'＝AD，D'C'＝DC，C'B'＝CB . ∴∠B'A'D'＝∠A，∠A'D'C'＝∠ADC， ∠D'C'B'＝∠DCB，∠C'B'A'＝∠B， 且． ∴由相似多边形的定义得： 四边形 A'B'C'D'∽四边形ABCD． A B C D O D' A' C' B' 26 相似形的概念 相似多边形、相似比的概念 相似多边形的特征 课堂总结 当堂检测 基础过关 1．下列哪组图形是相似图形 (　　) A．  B．   C．   D． C 28 当堂检测 基础过关 2．下列命题正确的是 (　　) A．等腰三角形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．菱形都是相似图形 D．圆都是相似图形 D 3．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是 (　　) A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 C 29 当堂检测 基础过关 4．下列说法中正确的是 (　　) A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 D 30 当堂检测 基础过关 5. 若△ABC∽△A′B′C′，且2，则△ABC与△A′B′C′相似比是____，△A′B′C′与△ABC的相似比是_____． 2:1 1:2 6. 五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3， (1)若∠D135°，则∠D′= ______； (2)若A′B′15cm，则AB= ______. 135° 5 31 当堂检测 基础过关 7．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； 解：（1）∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似， ∴∠C=∠C1=90°， ∴∠D=360°−∠A−∠B−∠C=360°−40°−110°−90°=120°. 32 当堂检测 基础过关 (2)已知AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长． 解：（2）∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长AB+BC+CD+AD=9+12+15+6=42. 33 当堂检测 能力提升 8．如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰(小花园的一边靠墙)，兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 解：∵矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵，对应边不成比例， ∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似． 34 当堂检测 基础过关 9. 如图，D，E分别是AC，AB上的点，且△ADE∽△ABC.若DE＝5，BC＝10，CD＝3，AD＝7，求AE，BE的长. 解：∵CD＝3，AD＝7， ∴AC＝CD＋AD＝10. ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴AE＝5，AB＝14， ∴BE＝AB－AE＝9. A C B E D 35 当堂检测 能力提升 1．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　) A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 D 36 当堂检测 能力提升 2. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为 (　　) A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm C 37 当堂检测 能力提升 3．在矩形中，E、F分别为、的中点，如果矩形ABCD ∽矩形EFCB，那么它们的相似比为 (　　) A． B．2 C． D． A D C B E F A 38 当堂检测 能力提升 4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是 (　　) A． B． C． D． B 39 当堂检测 能力提升 5．下列说法： ①放大(缩小)的图片与原图片是相似形； ②比例尺不同的中国地图是相似形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形． 其中正确的说法有_____个  5 40 当堂检测 能力提升 6．如图，，且，则与的相似比为 ． 41 当堂检测 能力提升 7. 如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为_________. A B C D E F 42 8．两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为 ． 当堂检测 能力提升 9．已知两个相似五边形的相似比是，且其中一个五边形的最短边长等于，则另一个五边形的最短边长等于 ． 2:3 9或25 43 当堂检测 能力提升 10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； O D H G A B C E F 证明：∵E、F分别是OA、OB的中点， ∴FE＝AB，FE∥AB. ∵G，H分别是OC，OD的中点， ∴HG＝CD，HG∥CD. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴FE＝HG，FE∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 44 当堂检测 能力提升 10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点. (2)四边形EFGH与▱ABCD相似吗？说明理由. 解：(2)相似．理由： 由(1)得，FE∥AB， ∴∠OEF＝∠OAB. 同理∠OEH＝∠OAD， ∴∠HEF＝∠DAB. 同理∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA. 又＝＝＝＝， ∴▱EFGH∽▱ABCD. O D H G A B C E F 45 2021 Blues 4800.0 $$