15.3 等腰三角形（第1课时 等腰三角形的性质）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题;（重点） 2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想; 3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法．（难点） 情景导入 同学们，大家在小学就学过很多关于等腰三角形的知识，本节我们要更全面、更系统地学习等腰三角形的相关知识. 画一个等腰三角形ABC.如图，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，并出现折痕AD.观察图形：△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？ （ B ） 新知探究 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴. 由上面的操作，我们可以得到等腰三角形的如下性质： 定理1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”. 概念归纳 下面我们来证明定理1 已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C. 证明：过A作AD⊥BC，垂足与于D， ∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴∠B＝∠C. 由上面的证明可得，BD=DC，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90° 因此有如下的性质： 定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线“三线合一”. 根据定理1可得 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 概念归纳 例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数. 课本例题 解：∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∴∠B=∠C= ×（180°-120°）=30°. 又∵BD=AD, ∴∠BAD=∠B=30°. 同理，∠CAE＝∠C=30° ∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE =120°-30°-30°=60° 课堂练习 1.填空: (1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 。 (2)如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的顶角的度数是 。 (3)如果等腰三角形有一个内角等于80°,那么这个三角形的最小内角等于 。 45° 100° 20°或50° 2.如图,用一块等腰三角板,在底边中点做一个记号 D;再从顶点悬下一个铅锤,把这块2等腰三角板的底边放在屋梁上,看铅垂线是不是通过记号D,就能检查屋梁是不是水平.这是为什么? 解:因为 AD 是等腰三角形ABC 底边上的中线, 所以AD⊥BC. 若铅垂线经过点D,则铅垂线垂直于BC,即屋梁水平。 3.填空:如图,在AABC中,AB =AC. (1)∵AD⊥BC,ㄥ =ㄥ ; = （等腰三角形底边上的高与 、 重合 ）； (2)∵AD 是中线，∴ ⊥ ，ㄥ =ㄥ (等腰三角形底边上的中线与 、 重合);， (3)∵ AD 是角平分线，∴ ⊥ ， = (等腰三角形顶角平分线与 、 重合). BAD CAD BD DC 顶角平分线、 底边上的中线 AD BC BAD CAD 底边上的高 顶角平分线 AD BC BD CD 底边上的高 底边上的中线 知识点1　等腰三角形的“等边对等角”的性质 1. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 边上的一点，若 AB ＝ AC ， AD＝ BD ， ∠ CAD ＝24°，则∠ C ＝ ⁠°. (第1题) 52　 分层练习-基础 2. [2023·台州]如图，锐角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，连接 BE ， CD . 下列命题中，假命题是(　A　) A. 若 CD ＝ BE ，则∠ DCB ＝∠ EBC B. 若∠ DCB ＝∠ EBC ，则 CD ＝ BE C. 若 BD ＝ CE ，则∠ DCB ＝∠ EBC D. 若∠ DCB ＝∠ EBC ，则 BD ＝ CE (第2题) 【点拨】 ∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ，∵ BC ＝ BC ，∠ DCB ＝∠ EBC ，∴△ DCB ≌△ EBC ( ASA )，∴ CD ＝ BE ， BD ＝ CE ，故选项B，D是真命题，不符合题意；∵ BC ＝ BC ，∠ ABC ＝∠ ACB ， BD ＝ CE ，∴△ DCB ≌△ EBC ( SAS )，∴∠ DCB ＝∠ EBC ，故选项C是真命题，不符合题意；当 CD ＝ BE 时，不能证明∠ DCB ＝∠ EBC ，故选项A是假命题，符合题意.故选A. 【答案】 A 3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 边上的一点，点 E 在 AC 边上， AD ＝ AE ，若∠ BAD ＝20°，则∠ CDE ＝(　A　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° (第3题) A 知识点2　 等腰三角形的“三线合一”的性质 4. [2023·长春]如图，用直尺和圆规作∠ MAN 的平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是(　B　) A. AD ＝ AE B. AD ＝ DF C. DF ＝ EF D. AF ⊥ DE (第4题) 根据题中的作图痕迹，可知作法如下：①以点 A 为圆心， AD 的长为半径作弧，分别交 AM ， AN 于点 D ， E ；②分别以点 D ， E 为圆心， DF 的长为半径作弧，两弧在∠ MAN 内相交于点 F ；③作射线 AF ， AF 即为∠ MAN 的平分线.根据角平分线的作法可知， AD ＝ AE ， DF ＝ EF ，根据等腰三角形的三线合一可知 AF ⊥ DE ，故选B. 【点拨】 【答案】 B 5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC . 分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 的长为半径作弧，两弧交于点 D ，作直线 AD 交 BC 于点 E ，若∠ BAC 110°，则∠ BAE 的大小为 度. 55　 6. 如图， AB ＝ AE ， BC ＝ DE ，∠ B ＝∠ E . (1)求证： AC ＝ AD ； 【证明】在△ ABC 和△ AED 中， △ ABC ≌△ AED ( SAS )， ∴ AC ＝ AD . (2)用直尺和圆规作图：过点 A 作 AF ⊥ CD ，垂足为 F . (不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图， AF 即为所求. 知识点3　 等边三角形的性质 7. 如图， BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心， DB 长为半径作弧，交 BC 的延长线于点 E ，则 ∠ DEC ＝(　C　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° (第7题) 在等边三角形 ABC 中，∠ ABC ＝60°， ∵ BD 是 AC 边上的高， ∴ BD 平分∠ ABC ，∴∠ CBD ＝ ∠ ABC ＝30°. ∵ BD ＝ ED ，∴∠ DEC ＝∠ CBD ＝30°.故选C. C 8. 如图，△ ABC 是等边三角形， AD 是角平分线，△ ADE 是等边三角形，有下列结论：① AD ⊥ BC ；② EF ＝ FD ；③ BE ＝ BD . 其中正确结论的个数为(　A　) (第8题) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 因为△ ABC 是等边三角形， AD 是角平分线，所以 AD ⊥ BC ，∠ BAD ＝30°，①正确；因为△ ADE 是等边三角形，所以∠ DAE ＝60°， AE ＝ AD . 因为∠ BAD ＝30°，所以∠ BAE ＝30°，所以 AB 平分∠ EAD ，所以 EF ＝ FD ， AB ⊥ ED ，即 AB 垂直平分 ED ，所以 BE ＝ BD ，②③正确，所以正确结论的个数是3. A 易错点　 求角的度数时考虑问题不全而漏解 9. [新考法·分类讨论法 2023·河北]在△ ABC 和△A'B'C'中，∠ B ＝∠B'＝30°， AB ＝A'B'＝6， AC ＝A'C'＝4，已知∠ C ＝ n °，则∠C'＝(　C　) A. 30° B. n ° C. n °或180°－ n ° D. 30°或150° ∵ AC ＝A'C'，∴A'C'＝A'C″， 当 BC ＝B'C'时，△ ABC ≌△A'B'C'， ∴∠C'＝∠ C ＝ n °. 当 BC ＞B'C'时，如图， 延长 B ' C '到 C ″，使 B ' C ″＝ BC ，连接 A ' C ″，易得△ ABC ≌△ A ' B ' C ″，∴∠ C ″＝∠ C ＝ n °， A ' C ″＝ AC . ∴∠AC'C″＝∠ C ″＝ n °，∴∠A'C'B'＝180°－ n °. 当 BC ＜B'C'时，同理可得∠C'＝180°－ n °. ∴∠C'＝ n °或180°－ n °. C 【答案】 10. [2024·亳州六校期中]如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，点 E ， F 在边 AB 上， CE ＝ CF ，延长 CF 至点 D ，使 DC ＝ BC ，连接 BD . (1)求证：△ ACE ≌△ BCF ； 【证明】∵ AC ＝ BC ， CE ＝ CF ， ∴∠ A ＝∠ CBA ，∠ CEF ＝∠ CFE ， ∴∠ AEC ＝∠ BFC ， ∴△ ACE ≌△ BCF ( AAS ). 分层练习-巩固 (2)若∠ ACE ＝20°，求∠ BDC 的度数. 【解】∵∠ ACE ＝20°，由(1)知△ ACE ≌△ BCF ( AAS )， ∴∠ BCF ＝20°，又∵ DC ＝ BC ， ∴∠ BDC ＝ ×(180°－∠ BCF )＝80°. 11. [2023·苏州]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 的角平分线，以点 A 为圆心， AD 长为半径画弧， AB ， AC 分别交于点 E ， F ，连接 DE ， DF . (1)求证：△ ADE ≌△ ADF ； 【证明】∵ AD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . 由题意知 AE ＝ AF . 在△ ADE 和△ ADF 中， ∴△ ADE ≌△ ADF ( SAS ). (2)若∠ BAC ＝80°，求∠ BDE 的度数. 【解】∵∠ BAC ＝80°， AD 为△ ABC 的角平分线， ∴∠ EAD ＝ ∠ BAC ＝40°.由题意知 AE ＝ AD ，∴∠ AED ＝∠ ADE ， ∴∠ ADE ＝ ×(180°－40°)＝70°. ∵ AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 的角平分线， ∴ AD ⊥ BC ，∴∠ BDE ＝90°－∠ ADE ＝20°. 12. [新考法·猜想验证法 2022·威海节选]回顾：用数学的思维思考. (1)如图①，在△ ABC 中， AB ＝ AC . ① BD ， CE 是△ ABC 的角平分线，求证： BD ＝ CE ； ②点 D ， E 分别是边 AC ， AB 的中点，连接 BD ， CE ，求证： BD ＝ CE . (从①②两题中选择一题加以证明) 猜想：用数学的眼光观察. 分层练习-拓展 【证明】①∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ DBC ＝ ∠ ABC . 同理可得∠ ECB ＝ ∠ ACB ，∴∠ DBC ＝∠ ECB . 在△ BCD 和△ CBE 中， ∴△ BCD ≌△ CBE ( ASA ).∴ BD ＝ CE . ②∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ D 是 AC 的中点，∴ CD ＝ AC . 同理可得 BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD . 在△ BCD 和△ CBE 中， ∴△ BCD ≌△ CBE ( SAS ).∴ BD ＝ CE . (选择其中一题证明即可) (2)经过做题并反思，小明同学认为：在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为边 AC 上一动点(不与点 A ， C 重合)，对于点 D 在边 AC 上的任意位置，在另一边 AB 上总能找到一个与其对应的点 E ，使得 BD ＝ CE . 进而提出问题：若点 D ， E 分别运动到边 AC ， AB 的延长线上， BD 与 CE 还相等吗？请回答下面的问题： 如图②，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 的延长线上，请添加一个条件(不再添加新的字母)，使得 BD ＝ CE ，并证明. 【解】(答案不唯一)添加条件： BE ＝ CD . 证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵∠ ABC ＋∠ EBC ＝∠ ACB ＋∠ BCD ＝180°， ∴∠ CBE ＝∠ BCD . 在△ BCD 和△ CBE 中， ∴△ BCD ≌△ CBE ( SAS ).∴ BD ＝ CE . 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 推论 等边三角形三个内角相等，且均等于60° 课堂小结 $$