专题14构造全等三角形的六种常用方法-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题14构造全等三角形的六种常用方法 题型01翻折法 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【例1-2】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，于点，为外一点，且，，连接．若，，则的长为 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．在上取点F，使得，证明，得到，，进而推出，从而证得，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：在上取点F，使得， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3 【例1-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是内的一点，，，垂足分别为点，，． 求证： (1)； (2)点P在的角平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及角平分线的有关知识，作射线是解答本题的关键． （1）连接，根据证明，可得到； （2）利用（1）中的全等，可得出，那么点在的平分线上． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长， ， 又，， 在和中 ， ． （2）证明：， ， 是的角平分线， 故点在的角平分线上． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知的面积为14，平分，且于点P，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】延长交于D，证明得到，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中线平分三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】解：如图所示，延长交于D， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选： C． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．连接，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，四边形中，，点在上，平分，平分．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在上取一点，使，连接，由，分别平分，可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，利用可证得，于是可得，然后利用及等量代换即可得出结论； （2）由可得，由可得，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：如图，在上取一点，使，连接， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，全等三角形的判定与性质（和），等式的性质，垂线的定义等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型02补形法 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A． B． C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长、交于点，由题意证得，证得，，即可证得，，利用即可求得结果． 【详解】解：延长、交于点， 平分，且于点， 在和中， ， ， ，， ，， 的面积为40， ， ． 故选：C． 【例2-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【例2-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，平分．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 延长，相交于点，证明，得到，再证明即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 平分， ． 又，， ， ， ． ，，， ． 又， ， ． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【详解】解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，点是斜边上的一点，过点作于点，连接．若，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，过C作交的延长线于F，利用证明，推出，然后由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过C作交的延长线于F，如图： ， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， 故答案为：8． 【变式2-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）在中，，，的延长线于E，．  求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，延长，相交于点F．先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，等量代换可得出． 【详解】证明：如图，延长，相交于点F． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 题型03倍长中线法 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【例3-2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【例3-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系． （1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证； （2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中点， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】延长至点，使得，连接，证明，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是△的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．延长至H，使，连接，证明，推出，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质； （1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围； （2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）延长至，使 ，连接． 则 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：， （2）∵ ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 题型04截长补短法 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 【例4-2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知为内部一点，延长线交边于点D，连接，，．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，在上截取，连接，设，证明，得出，即可得出答案． 【详解】证明：如图，在上截取，连接，设， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ． 【例4-3】．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在四边形中，，．若，则的长不可能是（     ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，三角形三边关系的应用．延长，截取，连接，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，截取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴的长不可能13． 故选：D． 【变式4-2】（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见解析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 【变式4-3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型05作垂线法 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—垂直模型．熟记模型构成的条件、结论是解题关键．过点作交l2于点，过点作轴，证即可求解． 【详解】解：过点作交l2于点，过点作轴，如图所示：    由题意得：，， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴P点坐标为， 故答案为： 【例5-2】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【答案】点的坐标是． 【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴，    ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是． 【例5-3】（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点，点在第二象限，，．    (1)求的值； (2)当时． ①求三角形的面积； ②在坐标平面内是否存在点（不与点重合），使与全等？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①②存在，符合条件的的坐标是或或 【分析】（1）过点C作轴于E，证明，由全等三角形的性质得出，，即可得出答案． （2）根据梯形面积减去两个三角形的面积，可得出答案； （3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作轴于E，如图：    ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则 （2）解：①如图    因为 所以，， 所以三角形的面积为； ②存在点，使与全等， 分为三种情况： 第一种情况：如图，过作轴于，则，    ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即的坐标是； 第二种情况：如图，过作轴于，过作轴于，    则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 设点 ∴，， ∵，轴， ∴， 故， 则， 即的坐标是； 第三种情况：如图，过作轴于，    则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即的坐标是， 综合上述，符合条件的的坐标是或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，割补法求三角形的面积，垂线模型，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，难度较大，综合性较强，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型 【变式5-2】（22-23八年级上·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【答案】(1)、 (2)，证明见解析 【分析】（1）画出图形，作坐标轴的垂线，证明全等即可； （2）作轴于E，即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 当时，过B作于， ∵等腰直角， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点B的坐标是 同理，当时，过B作于，此时， 点B的坐标是 综上，点B的坐标是、； 故答案为：、； （2）． 证明：作轴于E， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴，， ∵轴于E，BD⊥y轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 题型06作平行线法 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为3，点P是边上一点，过点P作于点E，Q为延长线上一点，连接交边于点D，当时，则的长为（　　）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．添加辅助线构造等边三角形，全等三角形是解题的关键． 如图，作，则，证明是等边三角形，则，证明，则，由等边三角形三线合一的性质可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 如图，作，    ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵等边三角形，， ∴， ∴， 故选：A． 【例6-2】（22-23八年级上·山东德州·期末）是等腰直角三角形，，，点是线段上的点，点是线段延长线上的点，且，连接交于点，过点作，垂足为点．若，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】过点作交于点，由得到，又因为，所以，证明，得到，所以，即可求解． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为∶ 2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造三角形全等是解决问题的关键 【例6-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，点在AB上，点在的延长线上，且，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点D作的平行线交于点G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证即可， 【详解】证明：如图，过点D作的平行线交于点G， ，． ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知是边长为9的等边三角形，D为的中点，，交线段于E，交的延长线于F．若，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】过点D作交于K，先证明三角形是等边三角形，再结合D是的中点得出，再由证明得出，再根据，得出的长即可推出结果． 【详解】解：如图，过点D作交于K， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，证明是解题的关键 【变式6-2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】过点作轴交的延长线于点，如图所示，则，证明，得，根据对称性及，求得，得，再证，得，根据线段和差得，从而即可得解． 【详解】解：过点作轴交的延长线于点，如图所示： ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点与点关于轴对称， ，， ∴， ， 又是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，平行线的性质，中点定义，等角的补角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）在等边三角形中，已知点在直线上，点在直线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“>”“<”或“=”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当为边上任意一点时，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展结论，设计新题】 若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)= (2)．见解析 (3)3或1 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在延长线上，点在延长线上；②点在延长线上，点在延长线上；由等边三角形的性质和全等三角形的性质分别求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ， 是等边三角形， ， 点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：的边长为1， ， 分两种情况： ①如图3，点在延长线上，点在延长线上，过点作，交的延长线于点， 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ； ②如图4，点在延长线上，点在延长线上，过点作，交直线于点， 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ； 综上所述，的长为3或1， 故答案为：3或1． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14构造全等三角形的六种常用方法 题型01翻折法 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，于点，为外一点，且，，连接．若，，则的长为 【例1-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是内的一点，，，垂足分别为点，，． 求证： (1)； (2)点P在的角平分线上． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知的面积为14，平分，且于点P，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 【变式1-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，四边形中，，点在上，平分，平分．求证： (1)； (2)． 题型02补形法 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A． B． C． D．25 【例2-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【例2-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，平分．求的长． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，点是斜边上的一点，过点作于点，连接．若，则的值是 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）在中，，，的延长线于E，．  求证：． 题型03倍长中线法 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例3-2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【例3-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是△的中线，，，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 题型04截长补短法 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知为内部一点，延长线交边于点D，连接，，．若，求证：． 【例4-3】．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在四边形中，，．若，则的长不可能是（     ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式4-2】（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【变式4-3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 题型05作垂线法 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．    【例5-2】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【例5-3】（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点，点在第二象限，，．    (1)求的值； (2)当时． ①求三角形的面积； ②在坐标平面内是否存在点（不与点重合），使与全等？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【变式5-2】（22-23八年级上·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【变式5-3】（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 题型06作平行线法 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为3，点P是边上一点，过点P作于点E，Q为延长线上一点，连接交边于点D，当时，则的长为（　　）    A． B． C． D．不能确定 【例6-2】（22-23八年级上·山东德州·期末）是等腰直角三角形，，，点是线段上的点，点是线段延长线上的点，且，连接交于点，过点作，垂足为点．若，则线段的长为 ． 【例6-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，点在AB上，点在的延长线上，且，连接交于点．求证：． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知是边长为9的等边三角形，D为的中点，，交线段于E，交的延长线于F．若，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式6-2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）在等边三角形中，已知点在直线上，点在直线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“>”“<”或“=”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当为边上任意一点时，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展结论，设计新题】 若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$