2025年中考数学（江苏地区）一轮专题复习 课件：第26课时　与圆有关的计算

第四章　图形的认识 第26课时　与圆有关的计算 图形与几何 01 课前热身 02 知识整理 03 课堂互动 目 录 1. （2023·安徽）如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC、OD，则∠BAE－∠COD的度数为（　D　） A. 60° B. 54° C. 48° D. 36° 第1题 D 返回目录 2. （2024·遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中涂色部分）宽AB为1米，则淤泥横截面的面积为（　A　） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 第2题 A 返回目录 3. （2023·西藏）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 　108°　. 4. （2024·镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边BC于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则 的长为 　　（结果保留π）. 第4题 108° ​ 返回目录 5. 如图，用尺规作☉O的内接正四边形ABCD（不写作法，保留作图痕迹）. 第5题 如图，四边形ABCD即为所求 返回目录 1. 各边 　相等　、各角也 　相等　的多边形叫做正多边形.正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的 　中心　.正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的 　半径　，正多边形每一边所对的 　圆心角　叫做正多边形的中心角，正多边形的 　中心　到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 相等 相等 中心 半径 圆心角 中心 2. 正多边形都是 　轴　对称图形，一个正n边形共有 　n　条对称轴.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是 　中心　对称图形， 　对称　中心就是这个正多边形的中心. 轴 n 中心 对 称 返回目录 3. 圆的有关计算公式（设半径为R，圆心角的度数为n°）： （1） 圆周长C＝ 　 2πR　，弧长l＝ 　 　. （2） 圆面积S＝ 　 πR2　，S扇形＝ 　​ 　＝ 　 lR　. 2πR ​ πR2 ​ lR 返回目录 4. （1） 连接圆锥的顶点和底面圆上一点的 　 线段　叫做圆锥的母线，圆锥的母线长 　相等　；连接顶点与 　底面圆圆心　的线段叫做圆锥的高. （2） 圆锥的侧面展开图是一个 　 扇形　.这个扇形的 　半径　是圆锥的母线长， 　弧长　是圆锥底面圆的周长. （3） 设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则S圆锥侧＝ 　 πrl　， S圆锥全＝ 　πrl＋πr2　. 线段 相等 底面圆圆心 扇形 半径 弧长 πrl πrl＋πr2 返回目录 一 与正多边形有关的计算 例1 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD、CE，AD与CE交于点O，连接OB. 若正六边形的边长为4，则OB的长为 　2 例1图 2 . 返回目录 例2 （2024·镇江）如图，AB是☉O的内接正n边形的一边，点C在☉O上，∠ACB＝18°，则n＝ 　10　. 例2图 10 返回目录 【跟踪训练】 1. （2024·呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于☉O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　B　） A. 26° B. 27° C. 28° D. 30° 第1题 B 返回目录 2. （2024·广元）如图，F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长，与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为 　18°　. 第2题 18° 返回目录 3. 如图，中心为点O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P、Q分别从A、D两点同时出发，均以1cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动，连接PB、PE、QB、QE. 设运动时间为ts. 第3题 返回目录 （1） 求证：四边形PBQE为平行四边形； 如图①，连接BE、OA. 由题意，得∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB＝6cm，B、O、E三点共线.∴ △AOB是等边三角形，BE＝2OB＝12cm.∴ AB＝OA＝6cm.∵ 六边形ABCDEF是正六边形， ∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝6cm，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝∠DEF＝∠F＝120°. 第3题 返回目录 ∵ 点P、Q分别从A、D两点同时出发，均以1cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动，∴ AP＝DQ＝tcm，PF＝QC＝（6－t）cm.在△ABP和△DEQ中， ∴ △ABP≌△DEQ. ∴ BP＝EQ. 同理，可证PE＝QB. ∴ 四边形PBQE为平行四边形 返回目录 （2） 当▱PBQE为矩形时，求矩形PBQE与正六边形ABCDEF的面积之比. 由（1），得AB＝OA＝6cm，BE＝12cm，∠BAF＝∠F＝120°，AF＝EF. 如图①，连接BD、AE. 当t＝0时，点P与点A重合，点Q与点D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE. 同理，四边形ABDE是平行四边形.∵ 易知∠EAF＝∠AEF＝30°，∴ ∠BAE＝120°－30°＝90°. ∴ 此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝6 （cm）.∴ S矩形PBQE＝S矩形ABDE＝AB·AE＝6×6 ＝36 （cm2）. ∴ S正六边形ABCDEF＝6S△AOB＝6× S矩形ABDE＝ 6× ×36 ＝54 （cm2）. 返回目录 如图②，连接BF、CE. 当t＝6时，点P与点F重合，点Q与点C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE. 同理，四边形FBCE是平行四边形，∠BFE＝90°，此时四边形FBCE是矩形，即四边形PBQE是矩形.易知此时矩形PBQE的面积也为36 cm2.综上所述，当t＝0或t＝6时，四边形PBQE是矩形.∴ 矩形PBQE与正六边形ABCDEF的面积之比为36 ∶54 ＝2∶3 返回目录 二 与弧长有关的计算 例3 （2023·黄石模拟）如图，在☉O中，点C在优弧AB上，将 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若☉O的半径为5，AB＝4 ，则 的长为（　A　） 例3图 A A. B. C. D. 4π 返回目录 解析：如图，连接OC、AC、OB、OD、CD，过点C作CF⊥AB于点F，过点O作OE⊥CF于点E. 由题意，可知OD⊥AB，AD＝BD＝ AB＝2 .又∵ OB＝5，∴ OD＝ ＝ .∵ CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴ CA＝CD. ∴ △CAD为等腰三角形.∵ CF⊥AB，∴ AF＝DF＝ AD＝ .∵ CF⊥AB，OE⊥CF，OD⊥AB， ∴ ∠OEF＝∠EFD＝∠ODF＝90°. 返回目录 ∴ 四边形ODFE为矩形.∵ OD＝DF＝ ，∴ 四边形ODFE为正方形.∴ OE＝OD＝EF＝ .∴ CE＝ ＝2 .∴ CF＝CE＋EF＝3 .∵ BF＝DF＋BD＝3 ，∴ CF＝BF. ∴ △CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°.∴ 所对的圆心角的度数为90°. ∴ 的长为 ＝ . 返回目录 例4 如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B按顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E. 例4图 （1） 求证：△ABD≌△ECB； ∵ ∠A＝90°，CE⊥BD，∴ ∠A＝∠BEC＝90°. ∵ BC∥AD， ∴ ∠ADB＝∠EBC. 由旋转的性质，得BD＝CB. 在△ABD和△ECB中， ∴ △ABD≌△ECB 返回目录 （2） 若∠ABD＝30°，EB＝3，求 的长. ∵ △ABD≌△ECB，∴ AD＝EB＝3.∵ ∠A＝90°，∠ABD＝30°，∴ BD＝2AD＝6.∵ BC∥AD，∴ ∠A＋∠ABC＝180°. ∴ ∠ABC＝90°.∴ ∠DBC＝60°.∴ 的长为 ＝2π 例4图 返回目录 【跟踪训练】 4. （2024·广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC、BC分别相交于点D、E，则 的长为（　C　） A. B. C. D. 第4题 C 返回目录 5. （2024·兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，如图①所示是陈列在展览馆的仿真模型.如图②所示是模型驱动部分的示意图，其中☉M、☉N的半径分别是1 cm和10 cm，当☉M按顺时针方向转动3周时，☉N上的点P随之旋转n°，则n＝ 　108　. 第5题 108 解析：∵ ☉M的周长为2π cm， ∴ ☉M按顺时针方向转动3周时， 点P移动的弧长为6π cm. ∴ 6π＝ ，解得n＝108. 返回目录 6. 如图，将一把含有30°角的三角尺ABC在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到三角尺A'B'C的位置.若BC＝12cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 　16π　cm. 第6题 16π 返回目录 三 与扇形有关的计算 例5 （2023·阜新）如图，AB是☉O的直径，C、D是☉O上位于AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE. 　例5图 返回目录 （1） 求证：DE是☉O的切线； 如图，连接OD. ∵ DE⊥CB，∴ ∠E＝90°.∵ BD平分∠ABE， ∴ ∠ABD＝∠DBE. ∵ OD＝OB，∴ ∠ODB＝∠ABD. ∴ ∠ODB＝∠DBE. ∴ OD∥BE. ∴ ∠ODE＝180°－∠E＝90°，即OD⊥DE. ∵ OD是☉O的半径，∴ DE是☉O的切线 　例5图 返回目录 （2） 若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中涂色部分的面积. 如图，连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F. ∵ ∠ABC＝60°，OB＝OC，∴ △OBC是等边三角形.∴ OB＝OC＝BC＝ AB＝2，∠BOC＝60°.∵ 在Rt△OBF中，OF＝OB· sin 60°＝2× ＝ ，∴ S涂色部分＝S扇形OBC－S△BOC＝ － BC·OF＝ － ×2× ＝ － .∴ 图中涂色部分的面积为 － 　例5图 返回目录 【跟踪训练】 7. （2023·孝感）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点三角形ABC外接圆的一部分，小正方形的边长均为1，则涂色部分的面积为（　D　） A. － B. － C. － D. － 第7题 D 返回目录 8. （2024·资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与 交于点F，则图中涂色部分的面积为 　 ＋ 　. 第8题 ＋ 返回目录 9. 如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，☉O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF. 第9题 返回目录 （1） 判断直线AF与☉O的位置关系，并说明理由； 直线AF与☉O相切 理由：连接OC. ∵ PC为☉O的切线，∴ PC⊥OC. ∴ ∠OCP＝90°.∵ OF∥BC，∴ ∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB. ∵ OC＝OB，∴ ∠OCB＝∠B. ∴ ∠AOF＝∠COF. 在△AOF和△COF中， ∴ △AOF≌△COF. ∴ ∠OAF＝∠OCF＝90°. ∴ AF⊥OA. 又∵ OA为☉O的半径， ∴ 直线AF与☉O相切. 第9题 返回目录 （2） 若☉O的半径为6，AF＝2 ，求AC的长； ∵ ∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴ E为AC的中点，即AE＝CE＝ AC，OE⊥AC. ∵ ∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2 ， ∴ tan∠AOF＝ ＝ ＝ .∴ ∠AOF＝30°. ∴ AE＝ OA＝3.∴ AC＝2AE＝6 第9题 返回目录 （3） 在（2）的条件下，求涂色部分的面积. 由（2），得AC＝6，∴ AC＝OC＝OA＝6.∴ △AOC是等边三角形.∴ ∠AOC＝60°.∵ ∠OCP＝90°，∴ CP＝OC·tan60°＝6× ＝6 .∴ S△OCP＝ OC·CP＝ ×6×6 ＝18 ，S扇形OAC＝ ＝6π.∴ 涂色部分的面积为S△OCP－S扇形OAC＝18 －6π 第9题 返回目录 四 与圆锥侧面展开图有关的计算 例6 （2024·呼和浩特改编）如图所示为平行四边形纸片ABCD，BC＝36 cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，M为BC的中点，若以点M为圆心，MC长为半径画弧，交对角线BD于点N，将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），求： 例6图 返回目录 （1） ∠NMC的度数； ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠ADC＝180°－∠A＝70°.∵ ∠BDC＝50°，∴ ∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝20°.∵ AD∥BC，∴ ∠DBC＝∠ADB＝20°.∵ M为BC的中点，∴ BM＝MC＝ BC＝18cm.∵ 以点M为圆心，MC长为半径画弧，交对角线BD于点N，∴ MN＝MC. ∴ BM＝MN. ∴ ∠MBN＝∠MNB. ∴ ∠NMC＝2∠MBN＝40° 例6图 返回目录 （2） 这个圆锥的底面圆的半径. 的长为 ＝4π（cm）.设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，则2πr＝4π，解得r＝2.∴ 这个圆锥的底面圆的半径为2 cm 例6图 返回目录 【跟踪训练】 10. （2024·烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接FB、FD，以点F为圆心，FB的长为半径作 ，剪下图中的涂色部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 　. 第10题 ​ 返回目录 $$