精品解析：黑龙江省黑河市嫩江市高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性考试（12月）数学试题

2024级高一上学期第二次阶段性考试 数学试卷 命题人： 时间：2024年12月 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 设有意义，有意义，若是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程的解在内 B. 函数的零点是 C. 函数有三个不同的零点 D. 用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若定义域为R的函数值域为，则函数的值域为 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 函数单调递增区间是 11. 已知，且，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 化简式子的值为__________. 13. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为______． 14. 设表示不超过x的最大整数，如，则不等式的解集是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知点在角的终边上，且，求m，． （2）已知，求和的值． 16. 已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求x的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若对于恒成立，求实数的最小值． 18. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域 （2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 19. 已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； （3）设函数，.当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上学期第二次阶段性考试 数学试卷 命题人： 时间：2024年12月 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，根据集合中的元素的特征，判断两集合的关系，由此可得结论. 【详解】由，， 可得，， 所以集合是由元素的奇数倍构成的，集合是由元素的整数倍构成的， 所以，. 故选：C. 2. 设有意义，有意义，若是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，对应的范围，然后检验充分必要性即可判断． 【详解】由可得， 由可得， 故推不出，， 故是的必要不充分条件． 故选：B 3. 在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合指数函数、对数函数的图象与性质可得两函数图象经过的定点，验证即可得解. 【详解】指数函数的图象过点，对数函数的图象过点， 只有C选项符合，当，函数图象与C选项一致. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数图象与性质的应用，属于基础题. 4. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第三象限，所以，， 所以的终边在第四象限. 故选：D. 5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数的定义域是， 令，所以， 所以函数的定义域是. 故选：. 6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】设天平左臂长，右臂长，且， 设草莓有，草莓有千克， 所以， 所以. 故选：C 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程的解在内 B. 函数的零点是 C. 函数有三个不同的零点 D. 用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若定义域为R的函数值域为，则函数的值域为 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 函数单调递增区间是 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的定义判断A，求出扇形面积判断B，根据反函数的定义判断C，求出定义域即可判断D． 【详解】定义域为R的函数值域为，则函数的值域仍为，A错； 圆心角为的扇形的弧长为，则半径为，面积为，B正确； 与函数是互为反函数，图象关于直线对称，C正确； 函数中，由得，即，因此D错． 故选：BC． 11. 已知，且，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为， 且，所以所以， 故A正确； ， 且，所以所以， B错误，C正确； 联立解得， 所以，故D正确； 故选:ACD. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 化简式子的值为__________. 【答案】##1.25 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解析式． 【详解】是定义在R上的奇函数， 时，，， 故答案为：． 14. 设表示不超过x的最大整数，如，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把作为一个未知数解不等式，然后再根据取整函数定义得结论． 【详解】，所以， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知点在角的终边上，且，求m，． （2）已知，求和的值． 【答案】（1）；；（2）， 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角函数定义可求的值，进而可求的值； （2）由已知化弦为切求得，再把化弦为切求值. 【详解】（1）因为点角的终边上，且， 根据三角函数定义，则， 解得或（舍）， 所以． （2）由，得，解得． ； 16. 已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）已知点坐标代入求得，然后由求得，再把互换位置即得； （2）由的单调性解不等式． 【小问1详解】 的图象过点，则，即，∴（负值舍去）， ∴， 由得，所以； 【小问2详解】 在定义域内是减函数， 因此由得，解得． 17. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若对于恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的定义与性质结合复合函数的单调性求值域即可； （2）利用复合函数的单调性求参数即可； （3）利用对数函数的单调性，分离参数结合基本不等式计算即可. 【小问1详解】 时，， 可知， 易知在上单调递增，在上单调递减， 又单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 即，故的值域为； 【小问2详解】 易知定义域内单调递增，在上单调递减， 所以要满足题意需； 【小问3详解】 由，， 整理得：时，恒成立， 易知，当且仅当时取得最大值，即. 故最小值为. 18. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域 （2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】（1）选择模型②， （2）441元. 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据的增减性，结合函数的单调性，可得答案； （2）根据分段函数的性质，结合基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数 所以选择模型②， 由，可得，解得 由，解得 所以日销售量与时间的变化的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知： 所以 即 当时， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441元. 19. 已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； （3）设函数，.当时，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解； （3）易得，设，利用复合函数的单调性求解. 【小问1详解】 依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为 【小问2详解】 由题意得，所以，所以的“伴随”函数为. 依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立① 由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下， ①等价于当时，恒成立，即，即. 设，要使当时，恒成立 只需，即成立，解得，即，且， 即a的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）可得当时，在区间上，， 即 设，则，令，则 所以， 因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立， 满足，则t的最大值为， 所以的最大值是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $