6.3.3 余角和补角（重点基础题型分类专练） 2024-2025学年人教版(2024)数学七年级上册

6.3.3 余角和补角 【知识考点 余角和补角】 【考点知识清单】 1. 余角的概念 一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余；其中一个角是另一个角的余角． 2. 补角的概念 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补；其中一个角是另一个角的补角． 3. 余角、补角的性质 （1）余角的性质 同角（等角）的余角相等． （2）补角的性质 同角（等角）的补角相等． 【重点基础题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 求一个角的余角 【题型2】 求一个角的补角 【题型3】 与余角、补角有关的计算 【题型4】 与同（等）角的余（补）角相等的应用 【题型1】 求一个角的余角 1.（2024-2025七年级上·辽宁大连·期末）若，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要余角的概念和计算，根据余角的概念“和为的两个角，互为余角” 即可求解． 【解答】解：的余角． 故选：． 2.（2024-2025七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（   ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 【答案】B 【分析】本题考查了互余，解题关键是掌握若两个角的和等于，即这两个角互余． 根据已知条件，得出，即可得到答案． 【解答】解：∵，， ， 与互余， 故选：B． 3．（2024-2025七年级上·全国·单元测试）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关计算与角平分线的定义．结合已知条件与角平分线的定义解题即可． 【解答】解：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：B． 4.（2024-2025七年级上·山东青岛·期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题主要考查了余角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，根据互余的两个角的度数之和为90度建立方程求解即可． 【解答】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为， ∴， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 5．（2023-2024七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与 互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【解答】（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 【题型2】 求一个角的补角 6.（2024-2025七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键；根据补角及角度的运算可进行求解 【解答】解：由题意得：； 故选A 7.（2023-2024七年级·山东聊城·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤， 正确的有（   ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为，再分别代入计算即可． 【解答】解：∵和互余， ∴， ∴表示的补角的式子：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误； ⑤，故正确； ∴符合题意的有①②⑤， 8．（2023-2024七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，先根据已知条件证明，再由平角的定义推出，，据此证明，进而利用角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【解答】解；∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴图中与互补的角有，，共2个， 故选：C． 9.（2023-2024七年级上·江西赣州·期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用邻补角求度数，根据即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10.（2023-2024七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)是的平分线，理由见详解 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【解答】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 【题型3】 与余角、补角有关的计算 11.（2023-2024七年级上·北京丰台·期末）如图，点O在直线上，平分，，下列说法不一定正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互余 D．与相等 【答案】A 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系以及平角定义可得，，从而可得，再利用同角的余角相等可得，最后根据，从而可得，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B、C、D都正确； ∵， ∴， 故A不正确； 故选：A． 12．（2023-2024七年级上·湖南永州·期末）已知是锐角，与互补，与互余，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与互补，得到，结合与互余，得，则，解答即可． 本题考查了互余，互补，熟练掌握互余，互补的意义，学会用表示其余的两个角是解题的关键． 【解答】解：根据与互补，得到， 又与互余，得， 则． 故选C． 13.（2024-2025七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角 为 度． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的概念以及运用．设这个角的度数是，这个角的补角为，余角为．根据“一个角的余角等于这个角的补角的”列方程求解即可．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．解题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 【解答】解：设这个角的度数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个角为度． 故答案为：． 14.（2024-2025七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 15.（2023-2024七年级·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为或． 【分析】（）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可； （）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可； （）分情况画出图形讨论即可求解； 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 【题型4】 与同（等）角的余（补）角相等的应用 16.（2024-2025七年级上·全国·课后作业）已知，，若，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了等角的补角相等，根据等角的补角相等求解即可． 【解答】解：∵，， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 17.（2024七年级上·湖南长沙·专题练习）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要查了三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质．根据三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质解答，即可求解． 【解答】解：左起第1个图形，，正确； 左起第2个图形，根据同角的余角相等，可以得到，正确； 左起第3个图形，由图可知，所以，正确； 左起第4个图形，由图可知，显然与不相等，错误； 所以正确的个数有个． 故选B． 18.（2024-2025七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【解答】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19.（2023-2024七年级·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知，并给出下列说法：； 与互补；的余角只有；⑤若则，其中一定正确的是 ．（填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】根据余角的定义、角的计算和角平分线性质，对五个结论逐一计算即可．本题考查了角的计算，余角的定义和角平分线定义，解题的关键是对角平分线的理解和掌握． 【解答】解：如图： ∵， ∴ ∴ 故是正确的； ∵ ∴ 则 故是正确的； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故⑤是正确的； ∵ ∴的余角有、 故是错误的； 但无法得出 故是错误的； 故答案为：②③⑤ 20.（2023-2024七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【解答】解：（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.3 余角和补角 【知识考点 余角和补角】 【考点知识清单】 1. 余角的概念 一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余；其中一个角是另一个角的余角． 2. 补角的概念 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补；其中一个角是另一个角的补角． 3. 余角、补角的性质 （1）余角的性质 同角（等角）的余角相等． （2）补角的性质 同角（等角）的补角相等． 【重点基础题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 求一个角的余角 【题型2】 求一个角的补角 【题型3】 与余角、补角有关的计算 【题型4】 与同（等）角的余（补）角相等的应用 【题型1】 求一个角的余角 1.（2024-2025七年级上·辽宁大连·期末）若，则的余角是（   ） A． B． C． D． 2.（2024-2025七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（   ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 3．（2024-2025七年级上·全国·单元测试）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4.（2024-2025七年级上·山东青岛·期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ． 5．（2023-2024七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与 互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【题型2】 求一个角的补角 6.（2024-2025七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（   ） A． B． C． D． 7.（2023-2024七年级·山东聊城·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤， 正确的有（   ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 8．（2023-2024七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9.（2023-2024七年级上·江西赣州·期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ． 10.（2023-2024七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【题型3】 与余角、补角有关的计算 11.（2023-2024七年级上·北京丰台·期末）如图，点O在直线上，平分，，下列说法不一定正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互余 D．与相等 12．（2023-2024七年级上·湖南永州·期末）已知是锐角，与互补，与互余，则等于（   ） A． B． C． D． 13.（2024-2025七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角 为 度． 14.（2024-2025七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 15.（2023-2024七年级·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【题型4】 与同（等）角的余（补）角相等的应用 16.（2024-2025七年级上·全国·课后作业）已知，，若，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 17.（2024七年级上·湖南长沙·专题练习）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18.（2024-2025七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 19.（2023-2024七年级·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知，并给出下列说法：； 与互补；的余角只有；⑤若则，其中一定正确的是 ．（填序号） 20.（2023-2024七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$