6.2.3排列的综合应用学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

排列的综合应用 课标要求　1.进一步理解排列的概念，掌握几种有限制条件的排列. 2.会应用排列知识解决简单的实际问题. 一、数字排列问题 例1 (链接教材P19例4)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 迁移1 若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 迁移2 若本例条件不变，能组成的所有的六位数按从小到大的顺序排成一数列，则240135是第几项？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.数字排列的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置上不排某个元素. 2.解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置，若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时，应分类讨论.主要解法是直接法与间接法. 训练1 若用0，1，3，5，7这五个数字，则可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、排队问题 角度1　“相邻”与“不相邻”问题 例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排. 在下列情况下，各有多少种不同的站法. (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列. 2.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 角度2　“在”与“不在”问题 例3 甲、乙等6人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先. 2.三种思路：(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数. 训练2 (1)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法正确的是(　　) A.共计有720种不同的排法 B.男生甲排在两端的共有120种排法 C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D.男女生相间排法总数为72种 (2)某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 三、定序问题 例4 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序，主要有两种解法： (1)整体法，若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，在A种排法中，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种. (2)插空法，若m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素插入由以上m个元素形成的空中. 训练3 在某研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F 6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(　　) A.100 B.120 C.300 D.600 【课堂达标】 1.有6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 2.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有(　　) A.20个 B.48个 C.52个 D.120个 3.有3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为________. 4.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件. 排列的综合应用 例1　解　(1)法一　从特殊位置入手　第一步，排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法. 故组成无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个). 法二　从特殊元素入手 0不在两端有A种排法； 从1，3，5中任选一个排在个位上，有A种排法， 其他数字全排列有A种排法. 故组成无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个). (2)法一　需分两类：第一类，当个位上排0时，有A种排法； 第二类，当个位上不排0时，有A·A·A种排法. 故符合题意的六位数有A＋A·A·A＝504(个). 法二(间接法)　6个数字的全排列有A个；0在十万位上的排列有A个； 5在个位上的排列有A个； 0在十万位上且5在个位上的排列有A个. 故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个). 迁移1　解　个位上的数字必须是0或5. 若个位上是0，则有A个； 若个位上是5，不含0，则有A个； 若个位上是5且含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，则有AA个五位数.故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数. 迁移2　解　由于是六位数，首位数字不能为0.首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3A个数， 所以240135的项数是A＋3A＋1＝193，即240135是数列的第193项. 训练1　解　第一类：0在十位位置上，五位数个数为A＝24. 第二类：0不在十位位置上，十位上排1，3，7有A种方法； 万位位置上只能排5或1，3，7被选作十位上的数字后余下的两个数字，有A＝3种； 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列，有A＝6种. 根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A·A·A＝54. 依据分类加法计数原理，共有满足条件的五位数有24＋54＝78(个). 例2　解　(1)(捆绑法)男生必须站在一起，把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站一起，把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有A种排法. 由分步乘法计数原理，共有A·A·A＝288(种)排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有A·A＝720(种)不同的排法. (3)(插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法. 故有A·A＝1 440(种)不同的排法. (4)先排男生有A种排法，让女生插空，有A·A＝144(种)不同的排法. 例3　解　(1)法一(元素分析法)　要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置中任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置中全排列，有A种站法. 根据分步乘法计数原理，共有AA＝480(种)站法. 法二(位置分析法)　甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法. 根据分步乘法计数原理，共有AA＝480(种)站法. (2)甲、乙先站两端，有A种站法，再让其他4人在中间4个位置全排列，有A种站法. 故共有AA＝48(种)站法. (3)法一(直接法)　以甲为对象分为两类：①甲站右端，有A种站法.②甲在中间4个位置中任选1个，而乙不在右端，有AAA种站法. 故共有A＋AAA＝504(种)站法. 法二(间接法)　甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种. 故甲不站左端，乙不站右端，共有A－2A＋A＝504(种)站法. 训练2　(1)AD　(2)B　[(1)3男3女排成一排共有A＝720(种)排法，A正确； 男生甲排在两端的共有2A＝240(种)，B错误； 男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)，C错误； 男女生相间排法总数2AA＝72(种)，D正确. (2)若第一棒选A，则有A种选派方法； 若第一棒选B，则有2A种选派方法. 由分类加法计数原理知，共有A＋2A＝36(种)选派方法.] 例4　解　(1)法一(整体法)　5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种. 因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20种. 法二(插空法)　记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”.则三人形成四个空档(含两端). ①若2个年轻人出场顺序相邻，有A·A种顺序，②若2个年轻人出场顺序不相邻，有A种顺序. 因此满足条件的出场顺序有A·A＋A＝20(种). (2)设符合条件的排法共有x种， 用(1)的方法可得x·A·A＝A， 解得x＝＝10. 训练3　A　[先排B成果，有5种排法，再排(除成果B外)剩余的5个成果，有A种排法. 由于A，C，D顺序确定， 所以不同的汇报安排共有＝100(种).] 课堂达标 1.C　[将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置， 所以总的排法有A·A＝240(种).] 2.C　[分两类： (1)0在个位，满足条件的三位数有A＝20个. (2)0不在个位，个位有A种排法，百位上有A种排法，十位上有A种排法. 则此时无重复数字的三位偶数有AAA＝32个. 综上，由分类加法原理，这样的三位数共有20＋32＝52个.] 3.144　[先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法. 故共有AA＝144(种)排法.] 4.210　[若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法， 故1，3，5，7的顺序一定的排法占全排列种数的. 故有×A＝210(个)七位数符合条件.] 学科网（北京）股份有限公司 $$