精品解析：广东省东莞市光明中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广东省东莞市光明中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：张新成 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的． 1. 已知点、，则过、两点的直线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】已知点、，则过、两点的直线斜率为. 故选：A. 2. 向量，，若，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为向量，，且， 则，解得， 故选：C. 3. 若空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】因为空间向量，， 则， 因此，. 故选：C. 4. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 5. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 6. 若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出该椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆的右焦点坐标是，长轴长是， 则，可得，所以，该椭圆的标准方程为. 故选：A. 7. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量夹角余弦公式计算求角. 【详解】设与的夹角为, 所以,又因为,所以. 故选：C. 8. 已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得直线过定点，求得，，数形结合可求的取值范围. 【详解】由直线方程，可知直线过定点， ，， 作出示意图如图所示：直线与线段相交， 则可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可. 【详解】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量. 故选：AD. 10. 下列说法一定正确的是（ ） A. 过点的直线方程为 B. 直线的倾斜角为 C. 若，，则直线不经过第三象限 D. 过、两点的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解. 【详解】对于A选项，实数、满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆上点， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； 对于B选项，原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误； 对于C选项，令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为，故C正确； 对于D选项，令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，且与间的距离为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线平行可求出的值，根据平行线间的距离公式求出的值，即可求得的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 所以，直线的方程为，可化为， 因为与间的距离为，则，解得或， 当时，； 当时，. 故答案为：或. 14. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【详解】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）经过点，点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）先求得斜率，再由点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. 【小问2详解】 由条件可得斜率，故方程为：， 整理得： 16. 直线的方程为，. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【小问1详解】 当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积， 由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 17. 如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由点分别为棱的中点，得，又平面，平面， 所以平面ADE. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，再分别求平面和平面的法向量，进而用空间向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 由平面，得平面的一个法向量为， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知圆的圆心在直线上，且过点， （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于、两点，求线段的长度. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）因为圆心在直线上，设，根据，即可求得圆心和半径； （2）利用垂径定理可得线段的长. 【小问1详解】 设圆心为，因为圆过点，，则 ，解得：， 则半径， 则圆的方程为：. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 则. 19. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑． （1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑； （2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：点是的中点， 因为，所以， 又因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，所以四面体为鳖臑； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证平面，平面，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面平面的一个法向量与平面的一个法向量，进而利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 则， 设平面一个法向量为， 则，令，则， 所以平面一个法向量为， 设平面一个法向量为， 则，令，则， 所以平面一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市光明中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：张新成 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的． 1. 已知点、，则过、两点的直线斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 向量，，若，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 若空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法一定正确的是（ ） A. 过点的直线方程为 B. 直线的倾斜角为 C. 若，，则直线不经过第三象限 D. 过、两点的直线方程为 11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与间的距离为______ 13. 若直线与直线平行，且与间的距离为，则______． 14. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）经过点，点. 16. 直线的方程为，. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 17. 如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过点， （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于、两点，求线段的长度. 19. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑． （1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑； （2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $