精品解析：广东省建文教育集团两学部2024-2025学年高三上学期12月第一次模拟数学试题

广东省建文教育集团两学部12月第一次模拟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】方法1：根据复数除法运算求出，然后共轭复数概念结合乘法运算可得；方法2：利用复数模的性质求出，然后由性质可得. 【详解】法1：因为，所以，所以. 法2：因为，所以，即. 故选：C. 2. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再判断命题否定的真假，即可得到正确答案. 【详解】当时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题； 当时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题. 故选：B. 3. 记为非零数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列求出，再利用计算即得. 【详解】在非零数列中，，由，，得数列是等比数列，， 因此，所以. 故选：C 4. 已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，与轴交于点，得点坐标，点也在函数的图象上，由直线方程（斜率）求得点坐标，可得周期，从而求得，再利用点坐标求得，从而得解析式． 【详解】连接，与轴交于点， 由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为. 设，由，得， 所以的最小正周期满足， 解得，即，解得， ，.因为点是图象的一个最高点， 所以，结合， 解得， 故选：C. 5. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 6. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，根据三角函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）, 得到， 对于A，由，得， 所以函数在上单调递增，故A不符合； 对于B，由，得， 所以函数在上不单调，故B不符合； 对于C，由，得， 所以函数在上单调递减，故C符合； 对于D，由，得， 所以函数在上不单调，故D不符合. 故选：C. 7. 已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 8. 椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定焦点位置，列方程求，再结合离心率的定义求椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长为6， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例即可判断ACD；根据复数的几何意义即可判断B. 【详解】设，则， 对于A，当时，， 则，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，当时，，， 满足，但，故C错误； 对于D，当时，， 而，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. D. 该圆锥内部半径最大的球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】又圆锥的侧面积、体积公式，及线面角的定义，内切球半径的确定，逐个判断即可. 【详解】由已知，，，易得等腰三角形的底边长， ， 对于A，该圆锥的侧面积为，A错误； 对于B该圆锥的体积为，B正确； 对于C，如图，取中点为，连接， 则为与底面所成角为，故，C正确； 对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上， 设为，球半径为，过向作垂线，垂足为，则，又， 所以，所以， 球的表面积为，D正确， 故选：BCD 11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C. 若，点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意有，设为上任意一点，得到，再根据各项给定条件或值，判断各项正误. 【详解】已知原点在上，则，设为上任意一点， 则有，整理得． 若，则的方程为，故A正确； 若，则，代入方程得，显然点不在此曲线上，故B错误； 若，点在上，有， 整理得，所以，故C正确； 因为，，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即，所以，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题干背景得到曲线方程为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解. 【详解】由，整理得， 得，解得，所以. 另解：由题知，则， 利用基本不等式可得， 当且仅当时取等号，解得. 故答案为：4 13. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，不妨设，再分和两种情况讨论，分别求出，进而可得出答案. 【详解】存在（互不相等），满足， 则， 不妨设，且是相邻最值点. 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意可得，不妨设，再分和求出是解决本题的关键. 14. 已知函数的最小值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值. 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：同构变形不等式，利用函数单调性转化成求函数的最小值是关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且． （1）若，且的面积为，求A； （2）若，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合面积公式计算即可. （2）运用余弦定理，结合解方程组和数量积定义计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 所以的面积， 则，因为，所以或． 【小问2详解】 因为，所以， 所以.由余弦定理得， 因为，所以或， 又，所以，所以， 所以． 16. 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． （1）计算． （2）设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 【答案】（1）18 （2）① ； ②因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且． 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以， 而，所以． 令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以， 而，所以． 综上，． 【解析】 【分析】（1）根据题设定义，即可求解； （2）根据题设定义，得到，（i）先利用极值点的定义，求得，进而有，即可求解；（ii）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，再构造函数，利用二次函数的性质得到的单调性，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 ． ①． 当或时，；当时，． 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1． 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以， 则公差，所以， 所以． ②略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面平面为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 方法一；由，有， ，因为为正方形，故， 又平面平面交于平面， 所以，平面， 又平面，所以， 又平面平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. 方法二；因为为正方形，故， 而平面平面交于平面， 所以平面，又平面， 所以， 平面和平面交线平行于. 故是平面和平面所成二面角的平面角. .有， 故平面平面. 方法三：取中点为，先证明：， ，点为的中点.， 而平面平面交于平面， 所以，平面，又平面， 所以，， 由已知，建立如图空间直角坐标系， 因为. 故， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， ，故， 所以，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，证明平面，得到，进而证明面，得证；方法二，根据二面角平面角定义判断是平面和平面所成二面角的平面角，由勾股定理可得，得证；方法三，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量判断. （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为.由（1）知，， 建立如图所示空间直角坐标系，则，， 所以，， 显然可知平面的法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，，取，得， 则， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解； （3）由参变分离得恒成立，设，，则，令，利用导数证明即可求出. 【小问1详解】 ， 当时，，， 当时，，， 函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若，则；若，则， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，， 令，则或， （ⅰ）当，即时， 若，则或；若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当，即时，恒成立，在上递增； （ⅲ）当，即时， 若，则或，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 的定义域为， 由得恒成立，即恒成立， 设，，则， 因为，同构可得， 令，因为，所以， 下面证． 设，，于是， 令，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以，即， 所以， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，和 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，可求得. （2）利用错位相减法，得到， 然后得到， 然后利用单调性进行放缩讨论，可证明题设成立. 【小问1详解】 当时，得； 当时，， 两式相减得， 所以是以1为首项，为公比的等比数列. 所以. 【小问2详解】 ① 设， 所以， 上面两式相减得， 所以 所以， 所以. ② 因为都是递减数列； 所以； 则， 令，即恒成立， 所以数列单调递增， 当时，； 则 所以； 当时，； 则， 所以，，成立，解得，存在； 当时，； 当时，；不满足题意，故不存在： 综上所述，当正整数对取和时，成立. 【点睛】关键点睛：由，结合单调递减； 得到：，进而结合的单调性，通过，， 讨论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省建文教育集团两学部12月第一次模拟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 3. 记为非零数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. D. 该圆锥内部半径最大的球的表面积为 11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C. 若，点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________. 14. 已知函数的最小值为0，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且． （1）若，且的面积为，求A； （2）若，求． 16. 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． （1）计算． （2）设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面平面为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若，求实数的取值范围． 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $