专题09与相似有关的压轴题-2024-2025学年九年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题09与相似有关的压轴题 1．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，故答案为：． 2．已知：在中，，为的角平分线，点在角平分线的延长线上． (1)如图，连接、，，求证，； (2)过点作，垂足为点； ①如图，若、，求的度数； ②如图，若垂足点恰好与点重合，点在线段上，且点在线段的垂直平分线上，连接，．若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)①；② 【分析】（）如图，过点作的延长线于点，于点，由角平分线的性质可得，进而可证，得到，由可得四边形是矩形，得到，即得，即可求证； （）①连接，证明可得，又由可得，即得到，进而直角三角形两锐角互余即可求解；②如图，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，证明可得，即得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后证明，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作的延长线于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，过点作于，过点作于，过点作于，则， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC的面积． 3．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段，请你证明； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 【答案】(1)见解析；(2)10；(3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点N作于点M， ∵， ∴， ∴， 即， 即， 又∵， ∴， ∴ 设，则， ，解得： ∴； 4．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在中，平分，交于点，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，△ABC中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，△ABC中，平分，的延长线交外角角平分线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)6；(3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据是的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）作交于点，则，进而证明，即可得出，根据角平分线分线段成比例可得，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （3）解：如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． 平分， ， ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 5．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒． (1)当时，t的值为______； (2)连接，当时，求出t的值； (3)直接写出当t为何值时，△PQM是等腰三角形． 【答案】(1)；(2)；(3)满足条件的时间t为或或或． 【分析】（1）判断出得出比例式建立方程即可得出结论； （2）先判断出得出比例式求出，，再判断出，得出比例式建立方程即可得出结论； （3）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， 根据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点Q在线段上时， 由（1）（2）得， ∴， Ⅰ、若， ∴， ∴， Ⅱ、若时，如图1，作于N， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， Ⅲ、若时，如图1，作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点M在线段上时，如图2，是钝角， 由（1）（2）得， ∴， ∴只可能， ∴， ∴，即：满足条件的时间t为或或或． 6．综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． (1)请在上述两个方案中任选一个加以证明； (2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）选择方案一：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明得，可得结论； 选择方案二：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点，证明四边形和四边形都是矩形，得，，，证明．得，可得结论； （2）如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明，由相似三角形的性质可得结论。 【详解】（1）选择方案一： 证明：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； 选择方案二： 证明：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴； （2）解：如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．已知△ABC中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果△ADE是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)15；(2)；(3)为或 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）由（1）可得，再证明，可得，从而得到，过作交于，可得，同理，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； （3）解：①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ，． ②当时，在上截取，连接， ，； ， ， ，， ， ． 综上，若△ADE是以为腰的等腰三角形，则为或． 8．（1）如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？ （2）如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值； （3）如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）先判断出，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）构造出正方形，同（1）的方法得出，进而得出，再判断出，即可得出结论； （3）先构造出矩形，同（1）的方法得，，进而判断出，即可求出，再证明，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2：过点A作， 过点C作，两线相交于M，延长交于G， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴矩形是正方形， ， 同（1）的方法可得，， ， 又∵D为边的中点， ， ， ， ， ； （3）解：如图3： 在中，， ， ∵点D是的中点， ， 过点A作， 过点C作，两线相交于N，延长交于P， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形， ∴， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： 【问题发现】 （1）如图①，在等边三角形中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则和的数量关系为__________； 【变式探究】 （2）如图②，在等腰三角形中，，点是边上任意一点（不含端点、），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （3）如图③，在正方形中，点为边上一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接、、，若正方形的边长为8，，直接写出正方形的边长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）正方形的边长为10． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，证明，根据全等三角形的性质得到答案； （2）证明．得到，再证明，根据相似三角形的性质证明结论； （3）证明～，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）与是等边三角形， ，，， ， 在与中， ,，，故答案为：； （2）∠， 理由如下：，， ，又， ． ，即 ， ， ， ； （3）四边形，为正方形， ，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 如图，连接， ∵以为边作正方形，点为正方形的中心， ∴是等腰直角三角形， 可得， ，即， 又， ， ，即 ， ， 在，，， 答：正方形的边长为． 10．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在△ABC中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 【答案】（）见解析；；（）． 【分析】（）四边形是矩形，，，再利用同角的余角相等得，根据相似三角形的判定即可求证； 根据相似三角形的性质即可求解； （）过点分别作于点，于点，由勾股定理求出，由，，， 则四边形为矩形，，，则是的中位线，是的中位线，故有，，再同（）理证明，得即可． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （）解：如图，过点分别作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形，，， ∵是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析；(2)，，理由见解析；(3)8． 【分析】（1）证明，后证明即可； （2）延长，交于点H，交于点K，．根据（1）的证明方法，类似证明即可． （3）设与交的交点为M，根据平行四边形的判定和性质，勾股定理，结合．解答即可． 【详解】（1），． 理由如下：延长，交于点N，交于点P， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）解：，． 理由如下：延长，交于点H，交于点I， ∵四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （3）解：设与交的交点为M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， ∴． 12．(1)如图1，在△ABC中，点分别为的中点，则△ADE与四边形的面积比为________． (2)如图2，△ABC中，是△ABC中边上的点，，过点D画条直线，将△ABC分成两部分，与△ABC的另边交点为点P，使其所分的三角形与△ABC相似，并求出的长； (3)如图3所示，在等腰△ABC中，，在△ABC中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，若较大的正方形的边长为a，请用含有a的代数式表示较小的正方形的边长． 【答案】(1)；(2)或或或；(3) 【分析】（1）根据点分别为的中点，得到，从而得到，根据相似的性质解答即可． （2）根据题意，分与，相交，每种相交中再分平行相交的相似和一半相似两种情况解答即可 （3）作于G，设正方形的边长为．求得，，根据，得到△BFP∽△BGC，△ADN∽△AGC， 结合，解答即可． 【详解】（1）解：∵点分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故答案为：． （2）解：如图，当时，根据题意，得， ∴ ， ∵，， ∴ ，解得； 如图，当时，根据题意，得， ∴ ， ∵，， ∴ ，解得； 如图，当时，由，根据题意，得， ∴ ， ∵，， ∴ ，解得； 如图，当时，由，根据题意，得， ∴ ， ∵，， ∴ ，解得； 综上所述，的长为或或或． （3）解：如图3，作于G，设正方形的边长为． ∵， ∴， ∴， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，解得． 13．如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． (1)若，，，求的长； (2)如图，若，，，连接交于点，求的长； (3)如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据进行计算即可求解； （2）由（1）得出，过点作交于点，根据平行线分线段成比例得出，证明，，得出比例式，代入数据即可求解． （3）根据已知条件证明，根据，证明，延长至，至，使得，，补形为正方形，证明是菱形，由，设，则，设，则，在中，根据勾股定理得出，的关系，进而求得，，由（1）得，进而根据，等量代换得出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ， ，，， ； （2）解：，，， ，， ， ， ， ， 如图，过点作交于点， ， ，，解得， ，， ， ， ， ， ，解得； （3）解：平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，， ，，， ， 如图，延长至，至，使得，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 又， ， ， ，即是菱形， ， 又， 设，则， ， 设，则， ， ， 在中，，，， ， ， 整理得， ， ，即， ， ， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ． 14．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． (1)如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当△ADE是等腰三角形时，求的长． (2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 【答案】(1)证明见解析；或或；(2)存在， 【分析】（1）由等边对等角可得出，由三角形的内角和定理可得出，由，得出，于是得证；分为三种情况：第一种情况，；第二种情况，；第三种情况，；分别根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可推出的长； （2）利用三角形外角的性质可证得，进而可证得，于是可得，又因，于是可求得的长，确定点的位置． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 解：当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况： 第一种情况：如图，， ， ， ， ， 由可知：， ， ， 点为的中点， ； 第二种情况：如图，， 此时点和点重合，点和点重合， 即； 第三种情况：如图，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中， ，， ， ， ，解得：， ； 综上所述，的长为或或； （2）解：存在（只有一种情况）， 理由如下： 如图，由（1）可知：， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 答：存在，． 15．如图1，正方形的边长为，点是边上任意一点（不与端点重合），在边上任一点，连接，过点作交边于点，连接． (1)求证：； (2)点为的中点时， ①如图2，试猜想，，的数量关系，并证明结论． ②如图3，连接交于点，交于点．当与相似，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)①，证明见解析；②2或． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，即；再根据可得，即；再结合即可证明结论； （2）①由中点的定义可得；再根据相似三角形的性质可得，进而得到，再运用勾股定理可得，进而得到，再运用完全平方公式得到即可解答；②如图1，延长交的延长线于，先证明可得，再根据等腰三角形的性质可得、；然后分和两种情况解答即可 【详解】（1）解：如图1：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，证明如下： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． ②解：如图1，延长交的延长线于， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵与相似； ∴①， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，，即，解得：； ∴． ②， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△BEG∽△BCA， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当与相似，线段的长为2或． 16．已知四边形中，E，F分别是、边上的点，与交于点G． (1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：=； (2)如图2，若四边形是平行四边形，，，，求的长； (3)如图3，若，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)= 【分析】（1）由矩形的性质和同角的余角相等易证，即得出； （2）作交的延长线于点H，在的延长线上取点M，连接，使，由平行四边形的性质得出，结合含30度的直角三角形的性质可求出，，从而可求出，再利用勾股定理可求出．由等腰三角形的性质得出，又易证，即可证，得出，即可求出； （3）连接交于点O，易证，从而得出，即可证，又易证，即可证，得出．由，，可证，得出，．结合题意可求出．设，则，即得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴； （2）解：作交的延长线于点H，在的延长线上取点M，连接，使，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴． 试卷第40页，共42页 试卷第39页，共42页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09与相似有关的压轴题 1．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 2．已知：在中，，为的角平分线，点在角平分线的延长线上． (1)如图，连接、，，求证，； (2)过点作，垂足为点； ①如图，若、，求的度数； ②如图，若垂足点恰好与点重合，点在线段上，且点在线段的垂直平分线上，连接，．若，求的面积． 3．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段，请你证明； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 4．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在中，平分，交于点，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，△ABC中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，△ABC中，平分，的延长线交外角角平分线于点．若，，求的长． 5．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒． (1)当时，t的值为______； (2)连接，当时，求出t的值； (3)直接写出当t为何值时，△PQM是等腰三角形． 6．综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． (1)请在上述两个方案中任选一个加以证明； (2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 7．已知△ABC中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果△ADE是以为腰的等腰三角形，求长． 8．（1）如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？ （2）如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值； （3）如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长． 9．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： 【问题发现】 （1）如图①，在等边三角形中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则和的数量关系为__________； 【变式探究】 （2）如图②，在等腰三角形中，，点是边上任意一点（不含端点、），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （3）如图③，在正方形中，点为边上一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接、、，若正方形的边长为8，，直接写出正方形的边长． 10．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在△ABC中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 11．如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 12．(1)如图1，在△ABC中，点分别为的中点，则△ADE与四边形的面积比为________． (2)如图2，△ABC中，是△ABC中边上的点，，过点D画条直线，将△ABC分成两部分，与△ABC的另边交点为点P，使其所分的三角形与△ABC相似，并求出的长； (3)如图3所示，在等腰△ABC中，，在△ABC中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，若较大的正方形的边长为a，请用含有a的代数式表示较小的正方形的边长． 13．如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． (1)若，，，求的长； (2)如图，若，，，连接交于点，求的长； (3)如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 14．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． (1)如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当△ADE是等腰三角形时，求的长． (2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 15．如图1，正方形的边长为，点是边上任意一点（不与端点重合），在边上任一点，连接，过点作交边于点，连接． (1)求证：； (2)点为的中点时， ①如图2，试猜想，，的数量关系，并证明结论． ②如图3，连接交于点，交于点．当与相似，求线段的长． 16．已知四边形中，E，F分别是、边上的点，与交于点G． (1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：=； (2)如图2，若四边形是平行四边形，，，，求的长； (3)如图3，若，求的值． 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$