专题07一元二次方程的应用题-2024-2025学年九年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题07一元二次方程的应用题- 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？ 2．（贵州省六盘水市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题）某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等．已知该发电机每月可销售300台，每台的利润为2000元，若在每台降价幅度不超过1000元的情况下，每台降价100元，则每月可多销售100台． (1)分析：设每台降价元（为整百数）．请完成下表： 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 ______ ______ 降价后 ______ ______ (2)当该发电机降价多少时，月利润能达到120万元？ 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） (2)当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）聚焦“书香青岛”品牌建设，我市持续推进全民阅读．在年开展“阅动山东·书行青岛”读书月活动前夕，书店购进大量书签，一种书签平均每天可售出张，每张赢利元．为了尽快减少库存，书店老板决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种书签的售价每降价元，那么平均每天可多售出张．老板要想平均每天赢利元，每张书签应降价多少元？ 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 6．（河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A期中测试题）玩具店销售一款单个成本价为40元的小汽车玩具，每天的销售单价与销售数量之间的关系如下表： 售价/元 58 60 62 64 销量/个 24 20 16 12 设这款小汽车玩具的售价为x元/个． (1)请直接用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)，并求当时的日销售利润； (2)若设定日销售利润为（1）中所得的日销售利润，玩具店想尽快销售完该款商品，求每个小汽车的售价． 7．（河南平顶山2024-2025学年上学期阶段性学情分析（二）九年级数学期中试卷）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为米的道路．已知停车位的面积（即阴影面积）为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为21120元，同时尽可能让利于居民？ 8．（24-25八年级上·上海·期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长米，用米长的铁栅栏围一个所占地形状为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 9．（22-23九年级上·辽宁锦州·阶段练习）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植100亩，到2022年的种植面积达到144亩． (1)求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率． (2)某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则“玫瑰香”葡萄每千克售价应定为多少元？ 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)为了让顾客得到更多的实惠，且使商场日盈利达到2100元，每件商品应降价多少元？ (2)商场定了“日盈利达到2500元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时每件商品应降价多少元；若不能达成．请说明理由． 11．（21-22八年级下·江苏盐城·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 12．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小雅的爷爷用总长56m的篱笆一面靠墙（墙长42m）围一个矩形苗圃，在与墙平行的一边设置两个宽1m的小门方便进出．设与墙垂直的一边长为m，若围成的矩形苗圃的面积是，求与墙垂直的一边长的值． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某商场销售某手机时发现，当手机售价元时，日平均销售量可以达到每日件，售价每下降元，日平均销售量会提升件，手机的成本为元． (1)当手机售价为多少元时，日平均利润能恰好达到元？ (2)某公司到该商场批量购买手机，总预算元，请求出购买手机的数量与手机单价之间的函数关系式；并直接写出商场出售手机利润率不低于时出售给公司的手机数量的取值范围． 15．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（） 16．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． (1)设育苗区的边长为，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是______，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是______， (2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ 17．（24-25九年级上·江西萍乡·期中）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）满足一次函数关系，下表给出和的部分对应数据． 销售单价万元 … … 年销售量台 … … (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 18．（24-25九年级上·山西晋中·期中）左权县素有“中国核桃之乡”的美誉，核桃种植已经有1000多年的历史，该地种植的核桃以果仁饱满、皮薄、个大、味香、营养价值高而著称，不仅可以生吃，而且还是制作月饼、元霄、糕点馅的原料、某特产专卖店购进左权核桃进行销售，进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克． (1)若单价降低3元，则平均每天的销售量为______千克，每天获利______元； (2)若该专卖店销售这种核桃想平均每天获利2240元，并尽可能地减少库存，每千克核桃应降价多少元？ 19．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到14.4万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 20．（24-25九年级上·江西九江·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元? 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07一元二次方程的应用题- 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？ 【答案】2个． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键．设应增加x个网店，根据销售总量每个网店销售量网店数量列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应增加x个网店，则增加后共有，每个网店头盔月销售量为， ， 即， 整理得， 解得， 网店越多，运营成本就越多，且， 为了尽可能减少运营成本，符合题意， 答：应多开个网店． 2．（贵州省六盘水市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题）某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等．已知该发电机每月可销售300台，每台的利润为2000元，若在每台降价幅度不超过1000元的情况下，每台降价100元，则每月可多销售100台． (1)分析：设每台降价元（为整百数）．请完成下表： 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 ______ ______ 降价后 ______ ______ (2)当该发电机降价多少时，月利润能达到120万元？ 【答案】(1)2000，300，， (2)当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用， （1）根据题意完成表格即可； （2）根据表格及题目中的等量关系列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每台降价元（为整百数），则 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 2000 300 降价后 （2）设每台发电机应降价元， 由题意，可列方程为， 整理得， 解得，， 每台降价幅度不超过1000， ， 答：当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） (2)当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【答案】(1) (2)羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，； 当时，，； 答：羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）聚焦“书香青岛”品牌建设，我市持续推进全民阅读．在年开展“阅动山东·书行青岛”读书月活动前夕，书店购进大量书签，一种书签平均每天可售出张，每张赢利元．为了尽快减少库存，书店老板决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种书签的售价每降价元，那么平均每天可多售出张．老板要想平均每天赢利元，每张书签应降价多少元？ 【答案】每张书签应降价元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每张书签应降价元，则每张盈利元，平均每天可售出张，利用总利润每张的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解∶设每张书签应降价元，则每张盈利元，平均每天可售出张， 根据题意得∶． 整理得∶．解得， 又∵要尽快减少库存， ∴ 答∶每张书签应降价元． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】售价应定为元 【分析】设售价应定为元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程可求解；本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设售价应定为元， 由题意可得：， 整理得， 解得：，， 更大优惠让利消费者，， 答：售价应定为元 6．（河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A期中测试题）玩具店销售一款单个成本价为40元的小汽车玩具，每天的销售单价与销售数量之间的关系如下表： 售价/元 58 60 62 64 销量/个 24 20 16 12 设这款小汽车玩具的售价为x元/个． (1)请直接用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)，并求当时的日销售利润； (2)若设定日销售利润为（1）中所得的日销售利润，玩具店想尽快销售完该款商品，求每个小汽车的售价． 【答案】(1)，利润为400元 (2)每个小汽车的售价为50元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，并列式或方程是解题的关键． （1）根据依题可知，售价每增加2元，销量减少4个，以售价58元销量为24为基础列式可得y与x的关系式，根据总利润等于单个利润乘以销量计算利润； （2）根据“日销售利润为（1）中所得的日销售利润”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：售价每增加2元，销量减少4个， ∴销售量． 由表格可知，时，， (元)， 答：用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)为，并当时的日销售利润为400元； （2）依题意得：，解得：． ∵尽快销售完该款商品， ∴价格要低，销量会更多， ∴， 答：每个小汽车的售价为50元． 7．（河南平顶山2024-2025学年上学期阶段性学情分析（二）九年级数学期中试卷）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为米的道路．已知停车位的面积（即阴影面积）为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为21120元，同时尽可能让利于居民？ 【答案】(1)道路的宽是4米 (2)每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积（即阴影面积）为，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为21120元，根据“该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【详解】（1）解：道路的宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽是4米； （2）解：设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为21120元， 由题意得：， 整理得：，解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元． 8．（24-25八年级上·上海·期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长米，用米长的铁栅栏围一个所占地形状为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 【答案】长方形的两条邻边长分别是48米、24米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，根据长方形的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程得出的值，再结合墙长米，即可确定结论． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形的两条邻边长分别是米、米． 9．（22-23九年级上·辽宁锦州·阶段练习）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植100亩，到2022年的种植面积达到144亩． (1)求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率． (2)某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则“玫瑰香”葡萄每千克售价应定为多少元？ 【答案】(1)；(2)14元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【详解】（1）解：设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：，解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ，解得，所以， ∴（元）． 答：“玫瑰香”葡萄每千克售价应定为14元． 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)为了让顾客得到更多的实惠，且使商场日盈利达到2100元，每件商品应降价多少元？ (2)商场定了“日盈利达到2500元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时每件商品应降价多少元；若不能达成．请说明理由． 【答案】(1)每件商品应降价20元；(2)不能达成“日盈利达到2500元”的这个“小目标”，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式： （1）设每件商品应降价x元，根据使商场日盈利达到2100元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件商品应降价m元，根据使商场日盈利达到2500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件商品应降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件商品应降价20元； （2）解：不能达成“日盈利达到2500元”的这个“小目标”，理由如下： 设每件商品应降价m元， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不能达成这个“日盈利达到2500元”的“小目标”． 11．（21-22八年级下·江苏盐城·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)；(2)4条 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 12．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小雅的爷爷用总长56m的篱笆一面靠墙（墙长42m）围一个矩形苗圃，在与墙平行的一边设置两个宽1m的小门方便进出．设与墙垂直的一边长为m，若围成的矩形苗圃的面积是，求与墙垂直的一边长的值． 【答案】20或9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据围成的矩形苗圃的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 答：的值为20或9． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】(1)；(2)72元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，根据题意即可得出关于的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为， 依题意得， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让利顾客，赢得市场， ， 即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元． 14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某商场销售某手机时发现，当手机售价元时，日平均销售量可以达到每日件，售价每下降元，日平均销售量会提升件，手机的成本为元． (1)当手机售价为多少元时，日平均利润能恰好达到元？ (2)某公司到该商场批量购买手机，总预算元，请求出购买手机的数量与手机单价之间的函数关系式；并直接写出商场出售手机利润率不低于时出售给公司的手机数量的取值范围． 【答案】(1)售价为3850元时，日平均利润恰好达到5000元 (2)（且为正整数）或（且y为正整数） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，求函数值的取值范围； （1）设手机降价元日平均利润恰好达到元，则，解方程，即可求解； （2）根据总预算400000元，列出函数关系式，再由商场出售手机利润率不低于得出出售给公司的手机数量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设手机降价元日平均利润恰好达到元，则 解得：， 元 答：售价为元时，日平均利润恰好达到元 （2）根据题意得：， ∴ ∵商场出售手机利润率不低于 ∴ ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴出售给公司的手机数量的取值范围为且为正整数（或且为正整数） 15．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（） 【答案】(1)1152；(2)能；定价为90元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键； （1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润； （2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润=销售价×每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解. 【详解】（1）由题意得，若降价8元，每天能多售出件， 所以此时的销售价为元，销售量为件， 所以每天销售T恤衫的利润为元． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）设此时每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润. 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，符合题意， 此时定价为元； 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，当定价为90元时，每天能获得1200元的利润，且每件T恤衫的利润率不低于． 16．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． (1)设育苗区的边长为，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是______，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是______， (2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ 【答案】(1)；；；(2) 【分析】本题考查的是列代数式，整式乘法的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意可知：花卉A的种植面积是：；花卉B的种植面积是：；花卉C的种植面积是：； （2）先计算出A，B两种种花卉的总产值分别是百元、百元，根据A，B两种花卉的总产值相等，可得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 花卉A的种植面积是：； 花卉B的种植面积是； 花卉C的种植面积是：； 故答案为：；；． （2）解：两种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元， ，B两种花卉的总产值分别百元、百元， ，B两种花卉的总产值相等， ， 解得：（舍去）或， ∴育苗区的边长为时，A，B两种花卉的总产值相等． 17．（24-25九年级上·江西萍乡·期中）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）满足一次函数关系，下表给出和的部分对应数据． 销售单价万元 … … 年销售量台 … … (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】(1)；(2)万元 【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设年销售量与销售单价的函数关系式为，根据表格，利用待定系数法求解即可； （2）根据利润一台的利润销量，即可求解． 【详解】（1）解：设年销售量与销售单价的函数关系式为，将、代入， 得：，解得：， 年销售量与销售单价的函数关系式为； （2）设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意得：， 整理得：，解得：，， 此设备的销售单价不得高于万元， ， 答：该设备的销售单价应是万元/台． 18．（24-25九年级上·山西晋中·期中）左权县素有“中国核桃之乡”的美誉，核桃种植已经有1000多年的历史，该地种植的核桃以果仁饱满、皮薄、个大、味香、营养价值高而著称，不仅可以生吃，而且还是制作月饼、元霄、糕点馅的原料、某特产专卖店购进左权核桃进行销售，进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克． (1)若单价降低3元，则平均每天的销售量为______千克，每天获利______元； (2)若该专卖店销售这种核桃想平均每天获利2240元，并尽可能地减少库存，每千克核桃应降价多少元？ 【答案】(1)，；(2)元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），因式分解法解一元二次方程，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，根据“该专卖店销售这种核桃获得的总利润每千克核桃的销售利润每天的销售量”正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）依据题意直接列式计算即可； （2）设每千克核桃应降价元，则每千克核桃盈利为元，平均每天可售出千克，根据“该专卖店销售这种核桃获得的总利润每千克核桃的销售利润每天的销售量”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽可能地减少库存，即可得出结论． 【详解】（1）解：单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克， 若单价降低3元，则平均每天的销售量为： （千克）， 每天获利为：（元），故答案为：，； （2）解：设每千克核桃应降价元，则每千克核桃盈利为元，平均每天可售出千克， 根据题意可得：， 整理，得：，解得：，， 要尽可能地减少库存，， 答：每千克核桃应降价元． 19．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到14.4万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】(1)；(2)17.28万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，解题的关键是根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）解：（万人）， 答：六月份的参观人数为17.28万人． 20．（24-25九年级上·江西九江·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元? 【答案】(1)每次下降的百分率为；(2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率； （2）设涨价x元，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）或， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 由题意得：，整理，得，解得： ， ∵商场规定每千克涨价不能超过8元，∴， 答：每千克应涨价5元． 试卷第12页，共14页 试卷第11页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$