2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：特殊三角形

特殊三角形 教材考点梳理 考点1　等腰三角形 1．等腰三角形的定义 有两条边________的三角形叫做等腰三角形(如图1)，相等的两边叫做______，第三边叫做______．两腰所夹的角叫做________，底与腰所夹的角叫做底角． 相等 腰 底 顶角 图1 2．等腰三角形的性质 (1)如图2，等腰三角形是______对称图形，对称轴是底边上的__________． (2)如图3，若AB＝AC，则____________，简称“等边对等角”． 轴 图2 图3 中垂线 ∠B＝∠C (3)“三线合一”，即等腰三角形底边上的高、底边上的________以及顶角的____________三线重合． 中线 角平分线 3．等腰三角形的判定 (1)定义：有______________的三角形叫做等腰三角形． (2)“等角对等边”：有两个角________的三角形是等腰三角形． 4．等腰三角形的面积 S＝ah(a为等腰三角形的底边，h为底边上的高)． 两条边相等 相等 方法技巧 (1)当等腰三角形的顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验． (2)等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加． 考点2　等边三角形 1．等边三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形(等边三角形是特殊的________ ______)． 2．等边三角形的性质 (1)等边三角形是轴对称图形，有___条对称轴，分别是各边的中垂线. (2)具有旋转不变性(最小的旋转角为120°)． (3)三边相等，三个角都等于______． (4)具有等腰三角形的所有性质． 等腰三 3 60° 角形 3．等边三角形的判定 (1)三边相等的三角形． (2)有一个角是________的等腰三角形． (3)三个角都________的三角形． 4．等边三角形的面积 S＝a2(a为等边三角形的边长)． 60° 相等 考点3　直角三角形 1．直角三角形的定义 有一个角是________的三角形是直角三角形． 2．勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：直角三角形两条直角边的_________等于____________.如图，在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，即a2＋b2＝c2. (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__________，那么这个三角形是________三角形． 直角 平方和 斜边的平方 a2＋b2＝c2 直角 3．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角________． 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°. (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.如图1，在Rt△ABC中，D是斜边AB上的中点，则CD＝_____． 互余 (3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的________.如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝______． 图1 图2 一半 AB 一半 AB 4．直角三角形的判定 (1)定义：有一个角为直角的三角形是直角三角形． (2)有两个角________的三角形是直角三角形． (3)勾股定理的逆定理． (4)如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形． 5．直角三角形的面积 S＝ab＝ch(a，b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高)． 互余 一半 考点4　等腰直角三角形 1．等腰直角三角形的性质 (1)两直角边相等，即AC＝BC． (2)两锐角相等且都等于________，即∠A＝∠B＝________． (3)具有等腰三角形、直角三角形的所有性质． 45° 45° 2．等腰直角三角形的判定 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形． (2)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形． (3)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形． (4)有两个角为________的三角形是等腰直角三角形． 3．等腰直角三角形的面积 S＝a2＝ch＝c2＝ah(其中a为直角边长，h为斜边c上的高)． 45° 核心考点突破 突破点1　等腰三角形 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC三个内角的度数． 解析　本题中共有三个等腰三角形，较小的角为∠A，可以设∠A＝x°，用含x的式子分别表示出∠ABC，∠C的大小，再用三角形的内角和为180°建立方程即可． 解答 解：设∠A＝x°，∵BD＝AD， ∴∠1＝∠A＝x°. 又∵∠2＝∠1＋∠A＝2x°，BD＝BC， ∴∠C＝∠2＝2x°. 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2x°. 在△ABC中，∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°， ∴x°＋2x°＋2x°＝180°，解得x＝36， ∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 1．(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　) A．100° B．115° C．130° D．145° 2．(2024·镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为_____． B 6 3．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为_______°. 4．(2024·贵州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为_____． 100 5 突破点2　等边三角形 【例2】如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； 解答 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°. (2)若CD＝2，求DF的长． 解：(2)∵∠ACB＝∠F＋∠CEF＝60°，且∠F＝30°， ∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE. ∵∠EDC＝∠DCE＝60°， ∴△DEC为等边三角形． ∴DC＝CE，∴DF＝2DC＝4. 解答 5．(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上．若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A．45° B．39° C．29° D．21° B 6．(2024·自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　　) A．(24－12) m B．(24－8) m C．(24－6) m D．(24－4) m D 7．(2024·大庆)如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，三段弧所围成的图形就是一个曲边三 角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是_____________． 突破点3　直角三角形 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是________． 解析　∵∠ACB＝∠ECF＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠CEF，∠F＝30°，∴∠A＝30°.又∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝2DE＝2. 答案　2 8．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点．连接AE，则图中的直角三角形共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 9．(2024·青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是(　　) A．3 B．6 C． D．3 A 10．(2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为_________． 6或12 11．(2024·临夏州)如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°.将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′＝ AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 突破点4　勾股定理及其逆定理 【例4】如图，将矩形ABCD的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处．已知AB＝8，BC＝10，求BE的长． 解答 解：设BE＝x，则AE＝8－x. 由折叠可知，△BCE≌△FCE， ∴BC＝FC＝10，EF＝BE＝x. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°， ∴DF＝＝＝6， ∴AF＝AD－DF＝4. 在Rt△AEF中， ∵AF2＋AE2＝EF2， 即42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5， ∴BE的长为5. 12．(2024·巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　) A．8 B．10 C．12 D．13 C 13．(2024·南通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n)，若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 B 14．(2024·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D．E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 C 15．(2024·陕西)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为______． 60 16．(2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为_________________. x2＋22＝(x＋0.5)2 图1 图2 谢谢观看！ $$