2025年九年级中考数学一轮复习教材考点整合课件：特殊平行四边形

特殊平行四边形 教材考点梳理 考点1　矩形的性质与判定 1．矩形的性质 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，其具有以下性质： 类型 性质 数学语言 边 两组对边分别____________ 在矩形ABCD中，AB∥DC，AD ∥BC；AB＝DC，AD＝BC 角 四个角都是________ 在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90° 平行且相等 直角 方法点拨　矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质．由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 类型 性质 数学语言 对角线 对角线互相______________ 在矩形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD 对称性 矩形既是______对称图形，又是________对称图形，有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线，对称中心是两条对角线的________ 平分且相等 轴 中心 交点 2．矩形的判定 类型 判定方法 定义 有一个角是________的平行四边形是矩形 内角 有三个内角是________的四边形是矩形 对角线 ①对角线________的平行四边形是矩形； ②对角线相等且____________的四边形是矩形 直角 直角 相等 互相平分 考点2　菱形的性质与判定 1．菱形的性质 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，其具有以下性质： 类型 性质 数学语言 边 四条边都________，两组对边分别________ 在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AB∥DC，AD∥BC 角 两组对角分别________ 在菱形ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB 相等 平行 相等 类型 性质 数学语言 对角线 对角线互相________ _____，且每条对角线_______________ 在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，∠ADO＝∠CDO；∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO 对称性 菱形既是__________图形，又是____________形，有2条对称轴，分别是对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点 平分且 平分一组对角 轴对称 中心对称 垂直 方法点拨　菱形具有平行四边形的一切性质．①在有一个角是60°的菱形中，较短的对角线的长度等于边长，较长的对角线的长度是较短的对角线的倍；②菱形的面积等于两对角线乘积的一半． 2．菱形的判定 类型 判定方法 定义 一组邻边________的平行四边形是菱形 边 四条边________的四边形是菱形 对角线 ①对角线____________的平行四边形是菱形； ②对角线平分____________的平行四边形是菱形 相等 相等 互相垂直 一组对角 考点3　正方形的性质与判定 1．正方形的性质 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，其具有以下性质： 类型 性质 数学语言 边 四条边都________，两组对边分别________ 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AB∥DC，AD∥BC 角 四个角都是________ 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°　 相等 平行 直角 方法点拨　正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质． 类型 性质 数学语言 对角线 对角线互相平分、垂直、相等且将每个角平分为_____ 在正方形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AC＝BD，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是四个全等的等腰直角三角形 对称性 正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形(有_____条对称轴) 45° 4 2．正方形的判定 类型 判定 数学语言 边 有一组邻边相等的________是正方形 在矩形ABCD中，∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形 角 有一个角是直角的________是正方形 在菱形ABCD中，∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形 矩形 菱形 类型 判定 数学语言 对角线 对角线____________的矩形是正方形 在矩形ABCD中，∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形 对角线________的菱形是正方形 在菱形ABCD中，∵AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形 对角线________________的平行四边形是正方形 在□ABCD中，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是正方形 互相垂直 相等 互相垂直且相等 3．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 核心考点突破 突破点1　矩形的性质与判定 【例1】(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． (1)求证：四边形ADCE是矩形； 解答 (1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°. ∵CE∥AD， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°. ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． (2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长． (2)解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4， ∴BD＝CD＝BC＝2. 由(1)可知，四边形ADCE是矩形， ∴AE＝CD＝2，∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3， 解答 由勾股定理，得AC＝＝. ∵EF⊥AC， 由三角形的面积公式，得 S△AEC＝AC·EF＝AE·CE， ∴EF＝＝＝. 1．(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD C 2．(2024·西藏)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分为别点D，E.连接DE，则DE的最小值是(　　) A． B． C． D． B 3．(2023·西藏)如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是CD边上的一点．过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH＋EG的值是(　　) A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 A 4．(2024·德阳)如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形．F是GD的中点，P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是_____． 2 5．(2022·西藏)如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点(与点B，C不重合)，连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E. (1)若CG为∠DCF的平分线，请判断BP与CP的数量关系，并证明； 解：(1)BP＝CP.证明如下： ∵CG为∠DCF的平分线， ∴∠DCG＝∠FCG＝45°， ∴∠PCE＝45°. ∵CG⊥AP， ∴∠E＝90°， ∴∠CPE＝45°＝∠APB． 又∵矩形ABCD，∴∠B＝90°， ∴∠BAP＝∠APB＝45°， ∴AB＝BP. ∵AB＝BC， ∴BP＝BC， ∴BP＝PC． (2)若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长． 解：(2)∵△ABP≌△CEP， ∴AP＝CP. ∵AB＝3， ∴BC＝2AB＝6. ∵在Rt△ABP中，AP2＝AB2＋BP2， ∴(6－BP)2＝9＋BP2， ∴BP＝. 突破点2　菱形的性质与判定 【例2】如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； 解答 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AF∥CE， ∴∠FAC＝∠ECA． 又∵O是AC的中点，EF⊥AC， ∴∠AOF＝∠COE＝90°，OA＝OC． 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE(ASA)， ∴OF＝OE. ∵O是EF的中点， ∴EF和AC互相垂直平分， ∴四边形AECF是菱形． (2)若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积.(结果保留根号) (2)解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝. 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°， ∴FC＝2FD． 设FD＝x，则FC＝2x. ∴(2x)2＝x2＋()2， 解答 ∴x＝1， 则FC＝2. 又∵四边形AECF是菱形， ∴AF＝FC＝2， ∴S菱形AECF＝AF·CD＝2×＝2. 6．(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE＝3，则菱形的边长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 A 7．(2024·长沙)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F.设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ C 8．(2023·西藏)如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起．已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是(　　) A． B．3 C． D．6 D 9．(2024·西藏)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件____________________________，使四边形ABCD是菱形． AD＝AB(不唯一，合理即可) 10．(2024·宿迁)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 证明： 选甲：连接AE. ∵E是BC的中点， ∴EC＝BC． ∵AD＝BC， ∴AD＝EC． ∵AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AD＝DC， ∴四边形ADCE是菱形． 选乙：连接AC． 由甲知，四边形ADCE是菱形， ∴AE＝CE＝BE， ∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B． ∵∠EAC＋∠ECA＋∠EAB＋∠B＝180°， 即2∠EAC＋2∠EAB＝180°， ∴∠EAC＋∠EAB＝90°， 即∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 突破点3　正方形的性质与判定 【例3】如图，在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E. (1)求证：AE＝CE； ∴△ABE≌△CBE(SAS)， ∴AE＝CE. 解答 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD． 在△ABE和△CBE中， (2)求∠BEC的大小． (2)解：由(1)知，△ABE≌△CBE， ∴∠BEC＝∠BEA． ∵∠BEA＝∠DAF＋∠ADB＝25°＋45°＝70°， ∴∠BEC＝70°. 解答 11．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　) A．2 B．3 C． D． B 12．(2024·黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件_____________________，使得菱形ABCD为正方形． AC＝BD(答案不唯一) 13．(2024·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG ＝4，则△AEF的面积为______． 14．(2023·绍兴)如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG＝∠EGH； (1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°， ∴AD∥GE， ∴∠DAG＝∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由． (2)解：AH⊥EF.理由如下． 连接GC交EF于点O，如图． ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG(SAS)， ∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形． ∴OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠DAG＝∠OEC． 由(1)得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴AH⊥EF. 谢谢观看！ $$