2025年中考数学二轮复习课件：专题三圆的综合应用

专题三　圆的综合应用 类型一　与圆有关的性质、证明及计算 【例1】如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E.DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD． (1)求∠F的度数； 解答 解：(1)如图，连接OD． ∵FD为⊙O的切线， ∴∠ODF＝90°. ∵DF∥AB， ∴∠AOD＝180°－∠ODF＝90°， ∴∠ACD＝∠AOD＝45°. ∵CF＝CD， ∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°. (2)若DE·DC＝8，求⊙O的半径． 解答 解：(2)∵OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠EAD＝45°. ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠EAD． ∵∠ADE＝∠CDA， ∴△DAE∽△DCA， ∴＝， ∴DA2＝DE·DC＝8. ∵DA＞0， ∴DA＝2. ∵OA2＋OD2＝DA2＝8， ∴2OA2＝8， ∴OA＝2， ∴⊙O的半径为2. 类型二　与切线有关的证明与计算 【例2】如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E. (1)求证：DF为⊙O的切线； 解答 (1)证明：如图，连接BD，OD． ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． 又∵OD＝OC， ∴∠C＝∠ODC． ∴∠ODC＝∠A， ∴OD∥AB， 又∵DE⊥AB， ∴DF⊥OD． ∵OD是半径， ∴DF是⊙O的切线． (2)若BE＝3，cos C＝，求BF的长． 解答 (2)解：由于cos C＝＝， 可设CD＝4x，则BC＝5x， ∴BD＝＝3x. ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴∠DBE＝∠CBD． ∵∠BED＝∠BDC＝90°， ∴△BED∽△BDC， ∴＝， 即＝， 解得x＝. 经检验，x＝是原方程的解， ∴BC＝5x＝， ∴OD＝BC＝. ∵OD∥BE， ∴△FEB∽△FDO， ∴＝， 即＝， 解得FB＝，即BF的长为. 专题集训 1．(2023·成都)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC； (1)证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠B＝∠BAC， ∴AC＝BC． (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． (2)解：如图，连接AE. ∵∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝. ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴tan B＝＝2， ∴AD＝2BD． ∵CD＝3， ∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. ∵AD2＋CD2＝AC2， ∴(2BD)2＋32＝(BD＋3)2， 解得BD＝2或BD＝0(舍去)， ∴AD＝2BD＝4，AB＝＝＝2，BC＝2＋3＝5. ∵＝， ∴＝， ∴DE＝2. 2．(2024·包头)如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)．连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE. (1)如图1，若BE＝1，CE＝，求⊙O的半径； 图1 (1)解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H. ∵OC＝OB，OH⊥BC， ∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH. ∵∠BOC＝2∠BCE， ∴∠BOH＝∠BCE. 图1 ∵∠BOH＋∠OBH＝90°， ∴∠BCE＋∠OBH＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴BC＝＝＝， ∴CH＝BH＝. ∵cos∠OBH＝＝， ∴＝， ∴OB＝3， ∴⊙O的半径为3. (2)如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．(请用两种证法解答) 图2 (2)证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE， ∴OE＝BK. ∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB， ∴Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)， ∴∠COE＝∠OBK， ∴OC∥BD． 图2 证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE， ∴OE＝BK. ∵cos∠COE＝，cos∠OBK＝，OC＝OB， ∴cos∠COE＝cos∠OBK， ∴∠COE＝∠OBK， ∴OC∥BD． 图2 3．(2024·淮安)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F. (1)求证：DF为⊙O的切线； (1)证明：连接OD，BD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC． ∵AB＝CB， ∴D为AC的中点． ∵O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝∠DEC． ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DF⊥OD． ∵OD为⊙O的半径 ∴DF为⊙O的切线． (2)若BE＝1，BF＝3，求sin C的值． (2)解：∵DE⊥BC，BE＝1，BF＝3， ∴由勾股定理，得EF＝＝＝2. 由(1)知BE∥OD， ∴△ODF∽△BEF， ∴＝＝. ∵BE＝1，BF＝3，OB＝OD， ∴＝＝， 解得OB＝，DE＝ ∴AB＝3. 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BD＝＝＝. ∵BA＝BC， ∴∠C＝∠A， ∴sin C＝sin A＝＝. 4．(2024·济南)如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD＋∠EDB＝45°. (1)求证：AG与⊙O相切； (1)证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧， ∴∠EDB＝∠EAB． ∵∠EAD＋∠EDB＝45°， ∴∠EAD＋∠EAB＝45°， 即∠BAD＝45°. ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝45°. ∵AB＝AG， ∴∠B＝∠G＝45°， ∴∠GAB＝90°. ∵AB为⊙O的直径， ∴AG与⊙O相切． (2)若BG＝4，sin∠DAE＝，求DE的长． (2)解：如图，连接CE. ∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧， ∴∠DAE＝∠DCE. ∵DC为直径， ∴∠DEC＝90°. 在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin∠DAE＝＝. ∵BG＝4，∠B＝45°，∠BAG＝90°， ∴AB＝BG＝2＝DC， ∴DE＝DC sin∠DAE＝2＝. 5．(2024·宜宾)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD． (1)求证：AE是⊙O的切线； (1)证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC． ∵AB＝AC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴∠FOB＝∠FOC， ∴OF⊥BC． ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OFB＝90°. ∵OA是⊙O的半径， 且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． (2)若tan∠ABE＝，求CD和DE的长． (2)解：∵OB＝OA， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝， ∴AF＝2BF. ∵AB＝＝＝BF＝10， ∴BF＝2，AF＝4. ∵BF2＋FO2＝OB2，且OB＝OA＝4－FO， ∴(2)2＋FO2＝(4－FO)2，解得FO＝， ∴OD＝OB＝OA＝4＝. ∵OB＝OD，BF＝CF， ∴CD＝2FO＝2×＝3. ∵＝cos∠AOE＝cos∠FOB＝， ∴OE＝＝＝， ∴DE＝OE－OD＝＝. $$