2025年九年级中考数学二轮复习课件：专题二方程(组)、不等式(组)的综合应用

专题二　方程(组)、不等式(组)的综合应用 类型一　方程的应用 【例1】直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音商场对一款成本价为40元的小商品进行直播销售.如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件. (1)若日销量为50件，此时每件售价是多少？ 解答 解：(1)设日销量为50件，每件售价应定为m元．由题意，得 20＋2×(60－m)＝50， 解得m＝45. 故若日销量为50件，此时每件售价是45元． (2)若要保证日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，此时每件售价应定为多少？ 解答 解：(2)设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为(x－40)元，日销售量为20＋2(60－x)＝(140－2x)件．依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20， 整理，得x2－110x＋3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60. 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴x＝50. 即每件售价应定为50元． 方法技巧　列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答． 类型二　方程组的综合应用 【例2】(2024·江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm. (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，则书架上数学书和语文书各多少本？ 解答 解：(1)设书架上数学书x本，则语文书y本．根据题意，得 解得 即书架上数学书60本，语文书30本． (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 解答 解：(2)设数学书还可以摆m本，则 10×1.2＋0.8m≤84， 解得m≤90. 所以数学书最多还可以摆90本． 类型三　不等式(组)的应用 【例3】为建设“美丽拉萨”，我市绿化改造工程正在大力进行中．某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． (1)若购买两种树苗的总金额为90 000元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？ 解答 解：(1)设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(400－x)棵． 由购买两种树苗的总金额为90 000元， 得200x＋300(400－x)＝90 000. 解得x＝300， 则400－x＝100. 即购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵． (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 解答 解：(2)由购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，可得 200x≥300(400－x)， 解得x≥240. 答：至少应购买甲种树苗240棵． 专题集训 1．(2024·辽宁)甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36 m3.工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8 m3/h.若排水3 h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． 解：(1)设甲池的排水速度是x m3/h. 根据题意，得36－3x＝2(36－3×8)， 解得x＝4. ∴甲池的排水速度是4 m3/h. (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24 m3，那么最多可以排水几小时？ 解：(2)设排水t小时． 根据题意，得36×2－(4＋8)t≥24， 解得t≤4. ∴最多可以排水4小时． 2．(2023·临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ 解：(1)设这台M型平板电脑价值x元． 根据题意，得(x＋1 500)＝x＋300， 解得x＝2 100， ∴这台M型平板电脑价值2 100元． (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬？(用含m的代数式表示) 解：(2)由(1)知，一台M型平板电脑价值2 100元， ∴工作一个月，她应获得的报酬为 2 100＋1 500＝3 600(元)． 若工作m天，她应获得的报酬为×3 600＝120m(元)． 3．(2024·重庆A卷)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 解：(1)设该企业有x条甲类生产线．y条乙类生产线， 根据题意，得 解得 即该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线． (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同．那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 解：(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m＋5)万元． 根据题意，得＝， 解得m＝45. 经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意， ∴10(m＋5)＋20m－70＝10×(45＋5)＋20×45－70＝1 330. ∴还需投入1 330万元资金更新生产线的设备． 4．(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)． 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … 解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y＝kx＋b. 结合表格数据，图象过(45，55)，(55，45)， ∴ 解得 ∴所求函数关系式为y＝－x＋100. (2)该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 解：(2)由题意，销售额w＝x(－x＋100)＝－x2＋100x. ∵销售额是2 600元， ∴2 600＝－x2＋100x， ∴x2－100x＋2 600＝0. ∴Δ＝(－100)2－4×2 600 ＝10 000－10 400 ＝－400<0. ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2 600元． 5．(2023·郴州)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x. 由题意可，得1.6(1＋x)2＝2.5， 解得x＝25%，x＝－(不合题意舍去)． 则这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人． 由题意，可得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)， 解得a≤0.1. 即5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 6．(2024·通辽)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机，经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元？ 解：(1)设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元．根据题意，得 ∴　解得 ∴每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元． (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半？请你给出最节省费用的购买方案． 解：(2)设购买m台煎蛋器，则购买(50－m)台三明治机． 根据题意，得50－m≥m， 解得m≤. 设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则 w＝65m＋110(50－m)＝－45m＋5 500. ∵－45<0， ∴w随m的增大而减小． 又∵m为正整数， ∴当m＝33时，w取得最小值， 此时50－m＝50－33＝17， ∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机． 7．(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ 解：(1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．根据题意，得 　解得 ∴种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生． (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 解：(2)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10－m)亩． 根据题意，得5m＋6(10－m)≤55， 解得m≥5. ∴m的最小值为5. ∴至少种植甲作物5亩． 8．(2024·黑龙江)为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ 解：(1)设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元．根据题意，得 解得 ∴购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元． (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，有几种购买方案？ 解：(2)设购买m个甲种品牌毽子，则购买＝个乙种品牌毽子．根据题意，得 解得≤m≤64. 又∵m，均为正整数， ∴m可以为60，62，64. ∴学校共有3种购买方案． 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元.在(2)的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 解：(3)学校选择方案1商家可获得的总利润为5×60＋4×10＝340(元)； 学校选择方案2商家可获得的总利润为5×62＋4×7＝338(元)； 学校选择方案3商家可获得的总利润为5×64＋4×4＝336(元)． ∵340＞338＞336， ∴在(2)的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元． $$