精品解析：2024-2025学年北师大版数学八年级上册期末考试模拟卷二

北师大版八年级（上）期末考试模拟卷（二） 考试时间：120分钟 总分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 9算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 2. 下列实数：，，，，最小的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 已知点在一次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. m、n的大小关系不确定 6. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 7. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，是的平分线，，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 抢微信红包成为节日期间人们最喜欢活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（　　） A. 20，20 B. 30，20 C. 30，30 D. 20，30 10. 在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 已知一次函数是正比例函数，则a的值为__________． 12. 已知是二元一次方程组的解，则的值为__________． 13. 直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点，O为坐标原点，则的面积为__________． 14. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 三、解答题（共54分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程组： 17. 已知，， （1）求及的值； （2）求的值． 18. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4﹣7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）补全条形图； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）请你计算平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？ 19. 有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题： （1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？ （2）现某物流公司有吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，若A型货车每辆需租金元/次，B型货车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 20. 如图，直线l与x轴相交于点，与y轴相交于点，且a、b满足． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点P为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求k值． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则＝______． 22. 在平面直角坐标系中，点，点，点C是x轴上一动点，则周长的最小值为_________． 23. 对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于__________． 24. 长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为__________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 二、解答题（共30分） 26. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(1)所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(2)所示．(销售额=销售单价×销售量) (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)分别求第10天和第15天的销售额； (3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少元? 27. 如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）探究之间的关系，并证明； （3）若，，，求的面积． 28. 如图，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线与直线、分别交于点、，若，求的值； （3）将中直线向上平移后经过点，与轴交于点，为线段上一点（含端点），连接，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段运动到，再以每秒个单位的速度沿线段运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级（上）期末考试模拟卷（二） 考试时间：120分钟 总分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：9的算术平方根是3， 故选C． 考点：算术平方根． 2. 下列实数：，，，，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．根据正数大于0大于负数，绝对值越大的负数反而越小，即可作答．也考查了立方根． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴实数，，，都大于 ∴最小的是， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据二次根式的加减法法则，二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可． 【详解】解：A．，故本选项计算正确，符合题意， B．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意， C．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意， D．，故本选项计算错误，不符合题意， 故选：A． 5. 已知点在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. m、n的大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据函数的性质解决问题是解题的关键．根据一次函数的性质可得出随的增大而增大，再比较后即可得出结论． 【详解】解： 随的增大而增大， 点在一次函数的图象上，且， 故选：C． 6. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 7. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点的坐标是， 故关于，的二元一次方程组的解是， 故选：C 8. 如图，中，，是的平分线，，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是的平分线， 在中，， 即， 解得， 故选：C． 9. 抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（　　） A. 20，20 B. 30，20 C. 30，30 D. 20，30 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数． 【详解】解：抢的红包金额30元的人数为20人，最多，则众数为30， 50名员工，中间两个数分别为30和30，则中位数是30， 故选C． 【点睛】本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可． 【详解】解：若点P在轴上，设， ，， ，， ，即， ， ， ， 若点P在轴上，设， ，点， ，， ，即， ， ， ， 即或， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 已知一次函数是正比例函数，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 已知是二元一次方程组的解，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程，再相减即可求出值． 【详解】解：把代入方程组得：， 由得：， 故答案为：1 13. 直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点，O为坐标原点，则的面积为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形及坐标中点公式，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形及坐标中点公式，先求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点， ， ， 的面积， 故答案为：12， 14. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题（共54分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算及实数的混合运算，熟知有关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先将除法化为乘法，再相乘，最后化简二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ， 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是二元一次方程组的解法．由可得：，先求解x的值，再求解y的值即可． 【详解】解： 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 17. 已知，， （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）7 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解：， 将代入得： 18. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4﹣7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）补全条形图； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）请你计算平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？ 【答案】（1）补全条形图见解析；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）估计260名学生共植树5.3×260=1378棵. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用总人数20乘以对应的百分比即可求得D类的人数，从而补全直方图； （2）根据众数、中位数的定义即可直接求解； （3）首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260即可． 试题解析：（1）D类的人数是：20×10%=2（人）． （2）众数为5棵，中位数为5棵 （3）（棵）． 估计260名学生共植树5.3×260=1378（棵） 19. 有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题： （1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？ （2）现某物流公司有吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，若A型货车每辆需租金元/次，B型货车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨 （2）当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：，计算求解即可； （2）由题意可得：，即n，进而可得，共有，和三种情况，设租车费用为元，依题意得，，由，可知随m的增大而增大，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨． 【小问2详解】 解：由题意可得：，即n， ∵m，n均为整数， ∴共有，和三种情况． 设租车费用为元， 依题意得，， ∵， ∴随m的增大而增大， ∴当时，最小，此时， ∴当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为元． 20. 如图，直线l与x轴相交于点，与y轴相交于点，且a、b满足． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点P为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求k值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的结合，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据平方和根式的非负性，解得，，可得点和点的坐标，设直线l的函数表达式为，将点和点的坐标代入，求出的值，即可得到函数解析式； （2）作轴于G，轴于H，则，由于是以为底的等腰直角三角形，故，易证，得到，，设，易求出，从而得到，利用待定系数法即可求出． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设直线l的函数表达式为 ∴ 解得： ∴直线l的函数表达式为． 【小问2详解】 解：作轴于G，轴于H， 则， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称的性质即可确定x的值，代入所求代数式计算即可解决问题． 【详解】解：∵A，B两点的分别为1，， ∴C点所表示的数是． 根据绝对值的意义进行化简： 原式＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的混合运算，解题时要求能够熟练计算数轴上两点间的距离及掌握分母有理化的方法． 22. 在平面直角坐标系中，点，点，点C是x轴上一动点，则的周长的最小值为_________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题． 先作出点B关于x轴的对称点，连接，点C 运动到上时，的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：作点B关于x轴的对称点，连接， 当点C运动到上时，的周长有最小值， ∵点，点， ∴, ∴, ， ∴． ​故答案为：27． 23. 对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 24. 长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为__________． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可． 【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为， ， ， 设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E， 如图，当直线在下方时， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， 令，得， ， ， ， （负值舍去）， 如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， ， 令，得， ， ， ， 或9（舍去）， 故答案为：2或5． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质， 二、解答题（共30分） 26. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(1)所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(2)所示．(销售额=销售单价×销售量) (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)分别求第10天和第15天的销售额； (3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少元? 【答案】（1）；（2）第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；（3）此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元 【解析】 【分析】（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解： （2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额． （3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值． 【详解】(1)①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x， ∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2． ∴y=2x（0≤x≤15）； ②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b， ∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上， ∴，解得：． ∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）． 综上所述，可知y与x之间的函数关系式为：． （2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间， ∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n， ∵点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上， ∴，解得：． ∴． 当x=10时，，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元）； 当x=15时，，y=2×15=30，销售金额为：9×30=270（元）． 故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元． （3）若日销售量不低于24千克，则y≥24． 当0≤x≤15时，y=2x， 解不等式2x≥24，得x≥12； 当15＜x≤20时，y=﹣6x+120， 解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16． ∴12≤x≤16． ∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）． ∵（10≤x≤20）中＜0，∴p随x的增大而减小． ∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时=9.6（元/千克）． 故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元 27. 如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）探究之间的关系，并证明； （3）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）在上取点G，连接，使，则，证明，即可得出结论； （2）过点作于，于，依次证明，，，进而得出，最后用等量代换即可得出结论； （3）先求出，进而求出，，利用勾股定理求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在上取点G，连接，使，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，， ， ， 由（2）知，， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线定理，勾股定理，三角形内角和定理及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解本题的关键． 28. 如图，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线与直线、分别交于点、，若，求值； （3）将中直线向上平移后经过点，与轴交于点，为线段上一点（含端点），连接，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段运动到，再以每秒个单位的速度沿线段运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1）直线的函数表达式为 （2） （3）当点的坐标是时，点在整个运动过程中用时最少 【解析】 【分析】利用一次函数的解析式求出点、的坐标，再利用三角形面积之间的关系求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； 设的坐标为，根据正比例函数图象关于原点中心对称，可得点的坐标为，根据点在直线上，可得方程，解方程求出的值，从而得到点的坐标为，利用待定系数法求出的值； 作轴，，于，当点是与的交点时，点在整个运动过程中用时最少，根据点运动的速度和路程可以求出点的位置和坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为， 当时，可得， 解得：， 点的坐标为， ，， ， ， ， ， 解得：， 点在轴负半轴上， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、代入可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 设的坐标为，则点的坐标为， 点在直线上， ， 解得， ， 点的坐标为， 把点坐标代入，得， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，作轴，，于， 由可知， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， 设点在整个运动过程中用时为秒， 由题意得：， 当点是与的交点时，点在整个运动过程中用时最少， 此时点的横坐标为， 设把直线向上平移后经过点后的解析式为， 可得：， 直线的表达式为， 当时，， ∴当点的坐标是时，点在整个运动过程中用时最少． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短，解决本题的关键是用垂线段最短找到点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$