专题一 带电粒子在磁场、复合场中的运动-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册创新导学案教用Word（粤教版2019）

物理 选择性必修 第二册(粤教) 专题一　带电粒子在磁场、复合场中的运动 课题任务　带电粒子在有界磁场中的运动 1．带电粒子在几种常见的有界磁场中的运动规律 (1)直线边界磁场：如图所示，粒子进出磁场具有对称性，且粒子以多大的锐角θ射入磁场，就以多大的锐角θ射出磁场；粒子进入磁场时的速度v垂直于边界时，出射点距离入射点最远，且dmax＝2R，如图甲所示；同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，且一个“优弧(所对圆心角大于180°的圆弧)”，一个“劣弧(所对圆心角小于180°的圆弧)”，如图乙、丙所示． (2)平行边界磁场：常见的几何关系和临界情景如图所示． (3)矩形边界磁场：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题． (4)三角形边界磁场：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示． (5)圆形边界磁场 带电粒子在圆形边界磁场区域运动的几个特点： ①若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)，如图甲所示． ②若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示． 2．解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法总结 (1)轨迹圆心的确定 ①圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． ②圆心一定在弦的中垂线上 已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． (2)轨道半径的确定 方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨道半径r＝； 方法二(由几何关系求)：以甲、乙、丙三图为例，一般由数学知识通过计算来确定，解直角三角形是最常用的方法． (3)运动时间的确定 方法一(由圆心角求)：t＝·T； 方法二(由弧长求)：t＝. (4)要正确地识别或作出图像必须注意“4点、6线、3角” 4点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点． 6线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线． 3角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图丙所示)．粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt. (5)应注意的一些结论 ①刚好穿出或刚好不能穿出磁场的临界条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． ②当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长． ③当比荷相同、速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子轨迹所对圆心角越大，运动时间越长． 例1　如图所示，左侧为一装有放射源氡(其原子核符号为Rn)的盒子，Rn中，86表示氡原子核所带电荷量是元电荷的86倍，222表示氡原子核的质量是氢原子核的222倍．一个静止的氡核经过一次α衰变成为钋(Po)，产生的α粒子(氦核He)以v＝3×107 m/s的速度从小孔P射出后，又从M点沿MO方向进入半径为r＝ m的圆形匀强磁场区域，MN为圆形匀强磁场的一条直径，该区域磁感应强度为B＝0.2 T，方向垂直纸面向里，圆形磁场右侧有一竖直荧光屏与之相切于N点，α粒子的重力不计，比荷为＝5×107 C/kg.求： (1)α粒子在磁场中的轨道半径及经过圆形磁场后偏转的角度； (2)α粒子打在荧光屏上的位置． [规范解答]　(1)α粒子以速度v从M点沿MO方向进入磁场区域，在磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R， 由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 代入数据解得R＝3 m α粒子的轨迹如图所示， 由几何知识得tanθ＝＝ 解得θ＝30° 故α粒子偏转的角度为 β＝2θ＝60°. (2)由几何知识得s＝rtanβ＝3 m 即α粒子打在荧光屏上N点上方距离N点3 m处． [答案]　(1)3 m　60° (2)距N点上方3 m处 　处理临界极值问题的常见方法 (1)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射方向所在直线为切线，入射点为切点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件．如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情景． (2)定圆旋转法：当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情景． (3)定圆平移法：速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直直线边界进入匀强磁场，各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图所示)． 注：这三种方法均是极限思维的运用． 　如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计．那么下列说法中正确的是(　　) A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 答案　C 解析　由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①、从bc边射出的临界轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的临界轨迹④.由图可知，该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大于；从bc边射出经历的时间一定不大于；从cd边射出经历的时间一定是；从ad边射出经历的时间一定不大于.故C正确，A、B、D错误． 课题任务　带电粒子在磁场中运动的多解问题 1．带电粒子电性不确定形成多解 如图所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b. 2．磁场方向不确定形成多解 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向．如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b. 3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，如图所示，于是形成了多解． 　许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时一定要抓住此类特定的词语，挖掘出隐藏的信息，找出临界条件． 4．运动的周期性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示． 例2　如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求： (1)磁感应强度B0的大小； (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度v0的可能值． [规范解答]　(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝① 做匀速圆周运动的周期T0＝② 联立①②两式得磁感应强度B0＝. (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，离子到达O′时必须经过整数个周期．如图所示，正离子在两板之间只运动一个周期即运动时间为T0时，有r＝，当正离子在两板之间运动n个周期，即运动时间为nT0时，有r＝(n＝1，2，3…)． 与②式联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝(n＝1，2，3…)． [答案]　(1)　(2)(n＝1，2，3…) 　求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因． (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)． (3)若为周期性重复的多解问题，应寻找通项式；若可能出现几种解，应注意每种解出现的条件． (多选)长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间的距离为L，板不带电．一质量为m、电荷量为q带正电的粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v＞ C．使粒子的速度v＞ D．使粒子的速度＜v＜ 答案　AC 解析　要使粒子不打在极板上，那么粒子可从极板的右边或者左边穿出磁场，依据题意，粒子恰好打在极板上的临界状态如图所示，即打在极板左边B点或者右边A点．当粒子打在B点时，由图可知：2r1＝，可得r1＝；当粒子打在A点时，根据几何关系有：r＝L2＋，得r2＝.根据r＝得：v1＝，v2＝，那么欲使粒子不打在极板上，应有：v＜或v＞，A、C正确． 课题任务　带电粒子在组合场中的运动 1．组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现． 2．两种场力的特点 (1)电场力的方向与电场方向相同或相反，电场力做功与路径无关，电场力做的功等于电势能的减小量． (2)洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关，方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面．无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力始终不做功． 3．运动特点 分阶段运动，带电粒子可能依次通过几个情况不同的场区，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几个不同的运动阶段组成． 4．“电偏转”和“磁偏转”的比较 内容项目 垂直进入匀强磁场(磁偏转) 垂直进入匀强电场(电偏转) 情景图 受力 F洛＝qv0B，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，F洛为变力 F电＝qE，大小、方向不变，为恒力 运动 规律 匀速圆周运动，r＝ ，T＝ 类平抛运动，vx＝v0，vy＝t，L＝v0t，y＝t2 运动 时间 t＝T＝ t＝ 动能 不变 变化 例3　一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条形区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出．不计重力． (1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹； (2)求该粒子从M点射入时速度的大小； (3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间． [规范解答]　(1)粒子运动的轨迹如图a所示．(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称) (2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动．设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ(见图b)，速度沿电场方向的分量为v1，根据牛顿第二定律有qE＝ma① 式中q和m分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有 v1＝at② l′＝v0t③ v1＝vcosθ④ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB＝⑤ 由几何关系得l＝2Rcosθ⑥ 联立①②③④⑤⑥式得v0＝⑦ (3)由运动学公式和题给数据得v1＝v0cot⑧ 联立①②③⑦⑧式得＝⑨ 设粒子由M点运动到N点所用的时间为t′， 则t′＝2t＋T⑩ 式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，T＝⑪ 由③⑦⑨⑩⑪式得t′＝. [答案]　(1)轨迹见规范解答　(2) (3)　 电粒子在组合场中运动的几点注意 (1)基本思路：明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律，然后找出两种场分界线上两种运动的联系(一般是粒子经过分界线时速度不变)，利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理． (2)关键点：画出轨迹示意图． (3)具体解决方案 　“太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图所示．辐射状的加速电场区域Ⅰ边界为两个同心平行扇形弧面，O1为圆心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U0，M为外圆弧的中点．在紧靠O1右侧有一圆形匀强磁场区域Ⅱ，圆心为O2，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且磁感应强度大小为B＝，在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ.已知MO1O2和PNQ为两条平行线，且与O2N连线垂直．假设太空中散布着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面上，经电场从静止开始加速，然后从O1进入磁场，并最终到达PNQ板被收集．忽略一切万有引力和粒子之间的作用力，求： (1)粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小； (2)从M点出发的粒子在磁场中运动的半径R； (3)假设所有粒子从AB弧面同时出发，则最先到达收集板的是从哪一点出发的粒子？求出该粒子从O1至收集板的时间． 答案　(1)　(2)L (3)A点　 解析　(1)带电粒子在电场中加速的过程，根据动能定理有：qU0＝mv2－0 解得：v＝. (2)从M点出发的粒子到达O1点后水平进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：qvB＝ 解得：R＝L. (3)所有从AB弧面同时出发的粒子，同时到达O1点，在磁场中运动的速度大小相等，做匀速圆周运动的半径均为L，则所有粒子在磁场中的入射点、出射点、轨迹圆心与O2的连线均构成菱形，即它们经过磁场偏转后都从磁场边界垂直于PNQ射出，最终到达PNQ板被收集，轨迹如图所示．从各个粒子的运动轨迹可以看出，轨迹1的长度最小，所以从A点出发的粒子运动的时间最短，最先到达收集板；根据图形以及几何知识可知，该粒子在磁场中偏转了30°，所以在磁场中运动的时间为： t1＝T＝·＝ 出磁场后匀速运动的时间为： t2＝＝＝ 该粒子从O1至收集板的时间为： t＝t1＋t2＝. [名师点拨]　本题带电粒子在磁场中的运动是“磁发散”模型和“磁聚焦”模型： (1)“磁发散”模型(点入平出)：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图1所示． (2)“磁聚焦”模型(平入点出)：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图2所示． 课题任务　带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． 2．带电粒子在叠加场中的常见运动 带电粒子在叠加场中运动时，其运动状态是由粒子所受电场力、洛伦兹力和重力的共同作用来决定的，对于有轨道约束的运动，还要考虑弹力、摩擦力对运动的影响．带电粒子在叠加场中的常见运动情况如下： 静止或匀 速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态 匀速圆 周运动 当带电粒子所受的重力与电场力合力为零时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 变速 直线运动 一般是在有轨道约束的情况下，在垂直于速度方向上洛伦兹力与其他力平衡 较复杂的 曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线 例4　空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里，电场的方向沿y轴正方向．一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动．下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　) [规范解答]　在xOy平面内，电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电的粒子在电场力作用下开始向y轴正方向运动；最初带正电的粒子速度方向沿y轴正方向，磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则可知，带正电的粒子所受洛伦兹力沿x轴负方向，则粒子开始向x轴负方向偏转，故该粒子的运动轨迹的初始部分必然在第二象限，A、C错误．开始一段时间内，电场力对该粒子做正功，该粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，不做功，但会一直改变该粒子的速度方向，则开始一段时间粒子的速度增大，且该粒子逆时针偏转；当速度方向变为沿x轴负方向时，该粒子受到的洛伦兹力沿y轴负方向，将向y轴负方向偏转，此过程电场力对该粒子做负功，该粒子速度减小；由于匀强电场方向沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势线，由动能定理可知，该粒子再次回到x轴时的速度刚好为0，即其不会进入第三象限，此后将在第二象限重复上述运动，故B可能正确，D错误． [答案]　B 　带电粒子在叠加场中运动问题的一般分析方法 此外，要注意分析题中的隐含条件，比如带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做圆周运动，则带电粒子所受的重力和电场力的合力为零，该圆周运动为匀速圆周运动，洛伦兹力提供粒子做该匀速圆周运动的向心力． 　如图所示，在xOy坐标系第Ⅰ象限，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为B＝1.0 T；电场方向水平向右，电场强度大小为E＝ N/C.一个质量m＝2.0×10－7 kg、电荷量q＝2.0×10－6 C的带正电粒子从x轴上P点以速度v0射入第Ⅰ象限，恰好在xOy平面中做匀速直线运动.0.10 s后改变电场强度大小和方向，带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，取g＝10 m/s2.求： (1)带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v0的大小和方向； (2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小和方向； (3)若粒子做匀速圆周运动时未离开第Ⅰ象限，x轴上入射点P应满足什么条件？ 答案　(1)2 m/s　方向斜向上与x轴正方向夹角为60° (2)1.0 N/C　方向竖直向上 (3)P点离O点的距离至少为0.27 m 解析　(1)粒子在叠加场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零．根据平衡条件可知粒子所受洛伦兹力的方向如图1所示，则v0垂直于F洛斜向上． 重力mg＝2.0×10－6 N 静电力F电＝qE＝2×10－6 N 故洛伦兹力 F洛＝＝4.0×10－6 N 由F洛＝qv0B 得v0＝2 m/s 设v0与x轴正方向的夹角为θ， 则tanθ＝＝ θ＝60°. (2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时，静电力必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力． 故电场强度E′＝＝1.0 N/C，方向竖直向上． (3)如图2，带电粒子做匀速圆周运动恰好未离开第Ⅰ象限时，圆弧左边与y轴相切于N点； 粒子在PQ段做匀速直线运动， PQ＝v0t＝0.2 m 做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，qv0B＝m 代入数据得R＝0.2 m. 由几何知识得OP＝R＋Rsin60°－PQcos60°＝0.27 m 则x轴上入射点P离O点的距离至少为0.27 m. 1．如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子(重力不计)，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．3∶2∶1 D．1∶∶ 答案　C 解析　根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式T＝可知，三个粒子在磁场中运动的周期相同，三个粒子的速度偏转角分别为90°、60°、30°，偏转角为90°的粒子在磁场中运动的时间为T，偏转角为60°的粒子在磁场中运动的时间为T，偏转角为30°的粒子在磁场中运动的时间为T，所以三个带电粒子在磁场中运动的时间之比为：T∶T∶T＝3∶2∶1，C正确． 2.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　若电子从a点射出，运动轨迹如图中①， 有qvaB＝m，Ra＝ 解得va＝＝＝； 若电子从d点射出，运动轨迹如图中②， 有qvdB＝m，R＝＋l2 解得vd＝＝＝.B正确． 3. 如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　带电粒子在不同磁场中做圆周运动，其速度大小不变，由r＝知，第一象限内的轨迹圆半径是第二象限内的轨迹圆半径的2倍，如图所示，由几何知识可知，粒子在第二象限内轨迹所对圆心角为90°，在第一象限内轨迹所对圆心角为60°.粒子在第二象限内运动的时间t1＝＝＝，粒子在第一象限内运动的时间t2＝＝＝，则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝，B正确． 4. (多选)空间虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出，如图所示．已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　) A．该匀强磁场的方向是垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹相同 C．速率大于v0的电子在磁场中运动的时间较长 D．所有电子的速度方向都改变了2θ 答案　AD 解析　由图知，电子在P点受到的洛伦兹力方向为P→O，根据左手定则判断得知，该匀强磁场的方向是垂直纸面向里，故A正确．电子进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由轨道半径公式r＝知，轨道半径与电子的速率成正比，速率不同，轨道半径不同，则轨迹不同，故B错误．根据圆的对称性可知，所有电子离开磁场时速度方向与PQ线的夹角都是θ，则所有电子的速度方向都改变了2θ，由几何知识得知，所有电子轨迹对应的圆心角都是2θ，由周期公式T＝可知所有电子的周期相同，则所有电子在磁场中运动的时间都相同，故C错误，D正确． 5．如图所示，环型对撞机是研究高能粒子的重要装置．正、负离子由静止经过电压为U的直线加速器加速后，沿圆环切线方向注入对撞机的真空环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.两种带电粒子将被局限在环状空腔内，沿相反方向做半径相等的匀速圆周运动，从而在碰撞区迎面相撞．为维持带电粒子在环状空腔中的匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷越大，磁感应强度B越大 B．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷越大，磁感应强度B越小 C．对于给定的带电粒子，加速电压U越大，粒子运动的周期越大 D．对于给定的带电粒子，不管加速电压U多大，粒子运动的周期都不变 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可知：qvB＝m，解得：R＝，而粒子在电场中被加速，有：mv2＝qU，联立可得：R＝.由于粒子均须沿真空环状空腔运动，故匀速圆周运动的半径相同，则当加速电压一定时，粒子的比荷越大，磁感应强度越小，故A错误，B正确；当粒子的比荷一定时，加速电压越大，磁感应强度越大，根据T＝可得，粒子运动的周期越小，故C、D错误． 6．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为(　　) A.∶2 B.∶1 C.∶1 D．3∶ 答案　C 解析　相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动．粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP′必为垂直该弦入射的粒子运动轨迹所在圆周的直径，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1＝R.其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP′对应的圆弧内．同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示．由几何关系知r2＝Rsin60°＝R，可得r2∶r1＝∶1.因为m、q、B均相同，由公式r＝可得v∝r，所以v2∶v1＝∶1.故选C. 7. (多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是(　　) A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强为 答案　AC 解析　若该微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的静电力qE和斜向右下方的洛伦兹力qvB，可知微粒不能做直线运动，据此可知该微粒一定带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE和斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线从O运动到A，可知微粒应做匀速直线运动，则A正确，B错误；由平衡条件得cosθ＝，tanθ＝，得该磁场的磁感应强度B＝，该电场的场强E＝，故C正确，D错误． 8. 如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　) A．ma>mb>mc B．mb>ma>mc C．mc>ma>mb D．mc>mb>ma 答案　B 解析　设三个微粒的电荷量均为q， a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，即 mag＝qE① b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则 mbg＝qE＋qvB② c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则 mcg＋qvB＝qE③ 比较①②③式得：mb>ma>mc，B正确． 9. (多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示的正方形虚线为其边界，一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场和边界的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是(　　) A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 答案　BD 解析　由于两种粒子比荷相同，由r＝可知入射速度相同的粒子运动半径相同，又两种粒子带同种电荷，故运动轨迹也必相同，B正确；假设粒子带负电，对于入射速度不同的粒子在磁场中可能的运动轨迹如图所示，由图可知，粒子从左边界离开磁场时转过的圆心角都相同，运动时间都为半个周期，而由T＝知，所有粒子在磁场中的运动周期都相同，故从左边界离开的粒子，若入射速度不同，则运动轨迹不同，但在磁场中的运动时间相同，A、C错误；由t＝T＝可知，D正确． 10．(多选)如图所示是选择不同纳米颗粒的一种装置．待选纳米颗粒的密度相同，均带正电且电荷量与其表面积成正比．待选颗粒从小孔O1进入时可认为速度为零，加速电场区域Ⅰ的板间电压为U，颗粒通过小孔O2射入正交的匀强电磁场区域Ⅱ，其中磁场的磁感应强度大小为B，左右两极板间距为d.区域Ⅱ出口小孔O3与O1、O2在同一竖直线上．若半径为r0、质量为m0、电荷量为q0的颗粒刚好能沿直线通过，不计颗粒重力，则(　　) A．区域Ⅱ中电场强度与磁感应强度的比值为 B．区域Ⅱ中电场强度与磁感应强度的比值为 C．若纳米颗粒的半径r>r0，则刚进入区域Ⅱ的粒子将不能沿直线通过 D．若纳米颗粒的半径r>r0，则刚进入区域Ⅱ的粒子仍将沿直线通过 答案　BC 解析　带电颗粒在区域Ⅰ中加速过程，有q0U＝m0v2－0，在区域Ⅱ中刚好能沿直线通过两个小孔，有q0vB＝Eq0，所以区域Ⅱ中电场强度与磁感应强度的比值为＝v＝，A错误，B正确；带电颗粒的比荷为＝＝，若纳米颗粒的半径r>r0，则比荷<，在区域Ⅱ中受力不再平衡，故不能沿直线通过，C正确，D错误． 11. (多选)如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.小球由静止开始下滑直到稳定的过程中(　　) A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝ D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝ 答案　CD 解析　对小球受力分析如图所示，开始时，有mg－μ(qE－qvB)＝ma；随着v的增加，小球加速度先增大，当qE＝qvB时达到最大值，amax＝g；继续运动，有mg－μ(qvB－qE)＝ma，随着v的增大，a逐渐减小，故A错误．因为有摩擦力做功，则小球的机械能与电势能总和减小，故B错误．若在前半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qE－qvB)＝，得v＝；若在后半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qvB－qE)＝，得v＝，故C、D正确． 12.如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a(0，2L)．一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°.下列说法正确的是(　　) A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为 C．磁场区域的圆心坐标为 D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－L) 答案　A 解析　由题意画出电子的轨迹如图，其中O′为电子在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知电子的偏转角为，做圆周运动的半径为r＝4L，故电子在磁场中运动的时间为t＝＝，A正确，B错误；由几何关系知O′的坐标为(0，－2L)，根据几何关系可知，磁场区域的圆心在a、b连线的中点，故其坐标为(L，L)，所以C、D错误． 13.如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴竖直向上．第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场(图中未画出)．一带电微粒以速度v从x轴上的A点经过，恰好从P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q点距O点的距离为d，重力加速度为g.根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．圆周运动的速度是v B．可以求出微粒在第Ⅳ象限运动的时间 C．可以求出磁感应强度大小 D．可以求出电场强度的大小和方向 答案　B 解析　在第Ⅳ象限微粒做圆周运动，故微粒所受重力不可忽略，且静电力与重力平衡．微粒在第Ⅲ象限运动时，洛伦兹力不做功，从A点到P点的过程，由动能定理知：mgd＝mv－mv2，由此可求出微粒做圆周运动的速度vP＝>v，A错误；微粒在第Ⅳ象限运动的时间t＝T＝×＝，B正确；在第Ⅳ象限，微粒做圆周运动，则有mg＝qE，由于m、q未知，不能求出电场强度的大小，由d＝知，不能求出磁感应强度大小，C、D错误． 14. (多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是(　　) A．粒子有可能打到A点 B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出 答案　AD 解析　根据Bqv0＝，可知粒子的运动半径R＝a，因此当θ＝60°时，粒子恰好从A点飞出，故A正确；以θ＝0°飞入的粒子，在磁场中恰好从AC中点飞出，所对弦长为a，以入射点O为定点，从θ＝0°开始旋转轨迹圆，可知轨迹圆对应的弦长从a开始减小，直到弦垂直于AC时达到最小，接着又开始增大，θ＝60°时弦长为a，然后逐渐减小到零，根据弦长越长弧长越长，而弧长正比于在磁场中的运动时间，可知θ从0°到60°粒子在磁场中运动的时间先减小后增大，故B、C错误；由以上分析可知，在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确． 15. (多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC的中点，E是AD边的中点．在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　) A．粒子带正电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2 答案　BCD 解析　速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，粒子带负电，故A错误；由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律有：qvB＝m，则粒子运动的速度大小为v＝，故B正确；由于粒子做匀速圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此在磁场中运动的最长时间为四分之一周期，即最长时间为，故C正确；由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为S＝d2＋πd2＝d2，故D正确． 16.核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)．如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径为R1＝0.5 m，外半径R2＝1.0 m，磁场的磁感强度B＝1.0 T．若被束缚带电粒子的比荷为＝4×107 C/kg，中空区域内的带电粒子具有各个方向的速度．求： (1)沿环状区域半径方向射入磁场的粒子，不能穿越磁场的最大速度； (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度． 答案　(1)1.5×107 m/s　(2)1.0×107 m/s 解析　(1)要使沿环状区域半径方向射入磁场的粒子不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹与外圆相切，轨迹如图甲所示． 由图甲可知 r＋R＝(R2－r1)2 解得r1＝0.375 m 由qv1B＝m 得v1＝＝1.5×107 m/s. (2)粒子沿环状区域的内边界圆的切线方向射入磁场时，若恰好不能穿越磁场，则所有粒子不能穿越磁场，此时的速度为所有粒子不能穿越磁场的最大速度．临界轨迹如图乙所示． 轨迹半径r2＝ 解得r2＝0.25 m 由qv2B＝m 得v2＝＝1.0×107 m/s. 17．如图所示，在矩形ABCD内，对角线BD以上的区域存在平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未标出)，其中AD边长为L，AB边长为L.一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(不计重力)以初速度v0从A点沿AB方向进入电场，经对角线BD上的P点垂直BD进入磁场．求： (1)该粒子进入磁场时速度的大小； (2)电场强度的大小； (3)要使该粒子能从磁场返回电场，磁感应强度应满足什么条件？(结论可用根式来表示) 答案　(1)2v0　(2) (3)若磁场方向向外，B≥；若磁场方向向里，B≥ 解析　(1)如题图所示，由几何关系可得∠BDC＝30°，带电粒子受静电力作用做类平抛运动． 离开电场的速度垂直BD， 可得vx＝v0，vy＝v0 则v＝＝2v0. (2)设BP的长度为x， 则有xsin30°＝t1，L－xcos30°＝v0t1 再根据Eq＝ma，vy＝at1 可解得x＝，t1＝，E＝. (3)若磁场方向向外，临界轨迹与DC相切，轨迹半径为R1，如图甲所示． 有R1＋＝BD－x 解得R1＝ 而B1qv＝m 联立得B1＝ 故磁场方向向外时，要使粒子返回电场， 则B≥. 若磁场方向向里，临界轨迹与BC相切，轨迹半径为R2，如图乙所示． 有R2＋＝x 解得R2＝ 而B2qv＝m 联立得B2＝ 故磁场方向向里时，要使粒子返回电场， 则B≥. 29 学科网（北京）股份有限公司 $$